Liczba jest podzielna przez 11, jeśli różnica pomiędzy sumą cyfr stojących na nieparzystych miejscach (licząc od prawej strony) i sumą cyfr stojących na parzystych miejscach równa się 0 albo wielokrotności 11.
Np. dla liczby 345796 jest 6 + 7 + 4 = 17, 9 + 1 + 5 + 3 = 17, 17 - 17 = = 0, a więc liczba 345796 dzieli się przez 11.
Liczba jest podzielna przez 99, przez 33 lub przez 11, jeżeli suma jej odcinków dwucyfrowych, licząc od prawej strony, jest podzielna przez 99, 33 lub 11.
Np. dla liczby 2037354 mamy 54 + 73 + 03 + 2 = 132, a ponieważ 132 dzieli się przez 1 1 i przez 33, więc 2037354 dzieli się przez 11 i przez 33. Podobnie dla liczby 6918021 jest 21 + 80 + 91 + 6 = 198, a ponieważ liczba 198 dzieli się przez 11 , 33 i 99, więc 6918021 dzieli się przez 1 1, 33 i 99.
Liczba jest podzielna przez 101, jeśli różnica pomiędzy sumą odcinków dwucyfrowych stojących na nieparzystych miejscach od prawej strony i sumą takichże odcinków stojących na parzystych miejscach równa się 0 albo wielokrotności 101.
(Na przykład dla 268405783: 83 + 40 + 2 = 125, 57 + 68 = 125, 125 - 125 = 0).
Liczba jest podzielna przez 999, 333, 111, 37 lub 27, jeśli suma jej odcinków trzycyfrowych od strony prawej jest wielokrotnością 999, 333, 111, 37 lub 27.
Na przykład dla liczby 776223 mamy 223 + 776 = 999, 999 = 3 * 333 = 9 * 111 = 27 * 37, a więc dana liczba dzieli się przez 999, 333, 1 11, 37 i 27.
Liczba jest podzielna przez 1001, jeśli różnica pomiędzy sumą jej odcinków trzycyfrowych stojących na miejscach nieparzystych i sumą takichże odcinków stojących na miejscach parzystych równa się 0 albo wielokrotności 1001.
Na przykład dla liczby 1 569 802 234 mamy 234 + 569 = 803, 802 + 1 = 803, 803 - 803 = 0, a więc dana liczba dzieli się przez 1001.
Te same będą cechy podzielności przez 7, 13, 77, 91 i 143, gdyż 1001=7*11*13=77*13=91*11=143*7.
Przez 7. Chcemy na przykład przekonać się, czy liczba 1691578 jest podzielna przez 7. W tym celu oddzielamy końcowy odcinek dwucyfrowy 78 i resztę z podziału 78 : 7 zapisujemy na boku: 1. Liczbę pozostałą podwajamy i z otrzymanym iloczynem 2 * 16915 = 33830 postępujemy jak wyżej; dzielenie 30 : 7 daje resztę 2. Znów podwajamy pozostałą liczbę: 2*338 = 676, odcinamy 76, które dzielimy przez 7 i zapisujemy trzecią resztę: 6. Wreszcie postępując analogicznie otrzymujemy: 2 * 6 = 12 i dzielenie 12 : 7, które daje resztę 5. Jeśli suma owych reszt 1 + 2 + 6 + 5 = 14 jest podzielna przez 7, to i cała liczba pierwotna również jest wielokrotnością liczby 7.
Przez 9 lub 11. O danej liczbie 598752 chcemy się przekonać, czy jest podzielna przez 9 i 11 (a co za tym idzie - również przez 33 lub 99). Do końcowego odcinka dwucyfrowego dodajemy liczbę setek: 52 + 7 = 59. W otrzymanej sumie przestawiamy cyfry: 95 i dodajemy liczbę tysięcy: 95 + 8 = 103. Znowu przestawiamy cyfry, lecz tym razem - wobec tego, że liczba osiągnięta z sumowania jest trzycyfrowa - czynimy przestawienie to nieco inaczej, mianowicie: 3 * 10 + 10 = 40; do tej liczby dodajemy liczbę dziesiątek tysięcy: 40 + 9 = 49. Tak postępujemy do końca: 94 + 5 = 99. Jeśli ostatnia liczba dwucyfrowa w ten sposób osiągnięta dzieli się przez 9 lub przez 11, to i cała liczba pierwotna jest wielokrotnością 9 lub 11. W naszym przypadku jest ona też wielokrotnością liczby 99.
Przez 37. Aby zbadać podzielność liczby 16697619 przez 37, postępujemy z nią bardzo dziwnie. Odnajdujemy sumę liczb utworzonych z dwu pierwszych cyfr, następnie z cyfr czwartej i piątej, wreszcie siódmej i ósmej (jeśli na końcu wypadnie jedna cyfra, to dopiszemy do niej 0 z prawej strony); w naszym przykładzie mamy 16 + 97 + 19 = 132. Sumę pozostałych cyfr 6 + 6 = 12 mnożymy przez 11 i odejmujemy od pierwszej sumy: 132 - 11 * 12 = 0. Jeśli różnica równa się 0 lub wielokrotności liczby 37, to i cała liczba pierwotna jest wielokrotnością 37.
Inny, dziwniejszy bodaj sposób sprawdzenia podzielności danej liczby przez 37 polega na następujących manipulacjach: Od danej liczby, na przykład 15096, odejmujemy trzycyfrową liczbę złożoną z trzykrotnie powtórzonej cyfry jedności, więc 666: 15096 - 666 = 14430.W otrzymanej w ten sposób różnicy skreślamy zero i znów z liczbą 1443 postępujemy jak wyżej 1443 - 333 = 1110; jeszcze raz wykonujemy taką operację i otrzymujemy: 111 - 111 = 0. Jeżeli w ostatecznym rezultacie otrzymamy 0 lub wielokrotność liczby 37, to i cała liczba pierwotna jest wielokrotnością 37.
Licencja: Creative Commons - bez utworów zależnych