Algorytmy sortujące - sortowanie bąbelkowe

Algorytm sortowania bąbelkowego jest jednym z najstarszych algorytmów sortujących. Można go potraktować jako ulepszenie opisanego w poprzednim rozdziale algorytmu sortowania naiwnego. Zasada działania opiera się na cyklicznym porównywaniu par sąsiadujących elementów i zamianie ich kolejności w przypadku niespełnienia kryterium porządkowego zbioru. Operację tę wykonujemy dotąd, aż cały zbiór zostanie posortowany.

Algorytm sortowania bąbelkowego przy porządkowaniu zbioru nieposortowanego ma klasę czasowej złożoności obliczeniowej równą O(n²). Sortowanie odbywa się w miejscu.

Jako przykład działania algorytmu sortowania bąbelkowego posortujemy przy jego pomocy 5-cio elementowy zbiór liczb {5 4 3 2 1}, który wstępnie jest posortowany w kierunku odwrotnym, co możemy uznać za przypadek najbardziej niekorzystny, ponieważ wymaga przestawienia wszystkich elementów.

Obieg	Zbiór	Opis operacji
1	5 4 3 2 1	Rozpoczynamy od pierwszej pary, która wymaga wymiany elementów
	4 5 3 2 1	Druga para też wymaga zamiany elementów
	4 3 5 2 1	Wymagana wymiana elementów
	4 3 2 5 1	Ostatnia para również wymaga wymiany elementów
	4 3 2 1 5	Stan po pierwszym obiegu. Zwróć uwagę, iż najstarszy element (5) znalazł się na końcu zbioru, a najmłodszy (1) przesunął się o jedną pozycję w lewo.
2	4 3 2 1 5	Para wymaga wymiany
	3 4 2 1 5	Para wymaga wymiany
	3 2 4 1 5	Para wymaga wymiany
	3 2 1 4 5	Elementy są w dobrej kolejności, zamiana nie jest konieczna.
	3 2 1 4 5	Stan po drugim obiegu. Zwróć uwagę, iż najmniejszy element (1) znów przesunął się o jedną pozycję w lewo. Z obserwacji tych można wywnioskować, iż po każdym obiegu najmniejszy element wędruje o jedną pozycję ku początkowi zbioru. Najstarszy element zajmuje natomiast swe miejsce końcowe.
3	3 2 1 4 5	Para wymaga wymiany
	2 3 1 4 5	Para wymaga wymiany
	2 1 3 4 5	Dobra kolejność
	2 1 3 4 5	Dobra kolejność
	2 1 3 4 5	Stan po trzecim obiegu. Wnioski te same.
4	2 1 3 4 5	Para wymaga wymiany
	1 2 3 4 5	Dobra kolejność
	1 2 3 4 5	Dobra kolejność
	1 2 3 4 5	Dobra kolejność
	1 2 3 4 5	Zbiór jest posortowany. Koniec

Posortowanie naszego zbioru wymaga 4 obiegów. Jest to oczywiste: w przypadku najbardziej niekorzystnym najmniejszy element znajduje się na samym końcu zbioru wejściowego. Każdy obieg przesuwa go o jedną pozycję w kierunku początku zbioru. Takich przesunięć należy wykonać n - 1 (n - ilość elementów w zbiorze).

Algorytm sortowania bąbelkowego, w przeciwieństwie do algorytmu sortowania naiwnego, nie przerywa porównywania par elementów po napotkaniu pary nie spełniającej założonego porządku. Po zamianie kolejności elementów sprawdzana jest kolejna para elementów sortowanego zbioru. Dzięki temu podejściu rośnie efektywność algorytmu oraz zmienia się klasa czasowej złożoności obliczeniowej z O(n³) na O(n²).

		Algorytm sortowania bąbelkowego jest uważany za bardzo zły algorytm sortujący. Można go stosować tylko dla niewielkiej liczby elementów w sortowanym zbiorze (do około 5000). Przy większych zbiorach czas sortowania może być zbyt długi.

Dane wejściowe

n	- liczba elementów w sortowanym zbiorze, n N
d[ ]	- zbiór n-elementowy, który będzie sortowany. Elementy zbioru mają indeksy od 1 do n.

Dane wyjściowe

d[ ]	- posortowany zbiór n-elementowy. Elementy zbioru mają indeksy od 1 do n.

Zmienne pomocnicze

i, j	- zmienne sterujące pętli, i, j N

krok 1:	Dla j = 1,2,...,n - 1: wykonuj krok 2
krok 2:	Dla i = 1,2,...,n - 1: jeśli d[i] > d[i + 1], to zamień d[i] d[i + 1]
krok 3:	Zakończ algorytm

Sortowanie wykonywane jest w dwóch zagnieżdżonych pętlach. Pętla zewnętrzna nr 1 kontrolowana jest przez zmienną j. Wykonuje się ona n - 1 razy. Wewnątrz pętli nr 1 umieszczona jest pętla nr 2 sterowana przez zmienną i. Wykonuje się również n - 1 razy. W efekcie algorytm wykonuje w sumie:

T₁(n) = (n - 1)² = n² - 2n + 1

obiegów pętli wewnętrznej, po których zakończeniu zbiór zostanie posortowany.

Sortowanie odbywa się wewnątrz pętli nr 2. Kolejno porównywany jest i-ty element z elementem następnym. Jeśli elementy te są w złej kolejności, to zostają zamienione miejscami. W tym miejscu jest najważniejsza różnica pomiędzy algorytmem sortowania bąbelkowego a algorytmem sortowania naiwnego. Ten drugi w momencie napotkania elementów o złej kolejności zamienia je miejscami i rozpoczyna cały proces sortowania od początku. Algorytm sortowania bąbelkowego wymienia miejscami źle ułożone elementy sortowanego zbioru i przechodzi do następnej pary zwiększając indeks i o 1. Dzięki takiemu podejściu rośnie efektywność, co odzwierciedla klasa czasowej złożoności obliczeniowej:
Sortowanie naiwne - O(n³); Sortowanie bąbelkowe - O(n²)

		Poniższe, przykładowe programy są praktyczną realizacją omawianego w tym rozdziale algorytmu. Zapewne można je napisać bardziej efektywnie. To już twoje zadanie. Dokładny opis stosowanych środowisk programowania znajdziesz we wstępie. Programy przed opublikowaniem w serwisie edukacyjnym zostały dokładnie przetestowane. Jeśli jednak znajdziesz jakąś usterkę (co zawsze może się zdarzyć), to prześlij o niej informację do autora. Pozwoli to ulepszyć nasze artykuły. Będziemy Ci za to wdzięczni.

// Sortowanie Bąbelkowe - Wersja nr 1
//-------------------------------------------------
// (C)2005 mgr Jerzy Wałaszek
// I Liceum Ogólnokształcące
// im. K. Brodzińskiego
// w Tarnowie
//-------------------------------------------------

program Bubble_Sort_1;

const N = 20; // Liczebność zbioru.

var
  d : array[1..N] of integer;

// Program główny
//---------------

var
  i,j,x : integer;
begin
  writeln(' Sortowanie babelkowe ');
  writeln('     WERSJA  NR 1     ');
  writeln('----------------------');
  writeln('(C)2005 Jerzy Walaszek');
  writeln;

// Najpierw wypełniamy tablicę d[] liczbami pseudolosowymi
// a następnie wyświetlamy jej zawartość

  randomize;
  for i := 1 to N do d[i] := random(100);
  writeln('Przed sortowaniem:'); writeln;
  for i := 1 to N do write(d[i] : 4);
  writeln;

// Sortujemy

  for j := 1 to N - 1 do
    for i := 1 to N - 1 do
      if d[i] > d[i+1] then // Porządek rosnący
      begin
        x := d[i]; d[i] := d[i+1]; d[i+1] := x;
      end;

// Wyświetlamy wynik sortowania

  writeln('Po sortowaniu:'); writeln;
  for i := 1 to N do write(d[i] : 4);
  writeln;
  writeln('Nacisnij Enter...');
  readln;
end.

// Sortowanie Bąbelkowe - Wersja nr 1
//-------------------------------------------------
// (C)2005 mgr Jerzy Wałaszek
// I Liceum Ogólnokształcące
// im. K. Brodzińskiego
// w Tarnowie
//-------------------------------------------------

#include <cmath>
#include <iostream>
#include <iomanip>

using namespace std;

const int N = 20; // Liczebność zbioru.

// Program główny
//---------------

int main()
{
  int d[N],i,j;
  
  cout << " Sortowanie babelkowe\n"
          "     WERSJA NR 1\n"
          "----------------------\n"
          "(C)2005 Jerzy Walaszek\n\n"
          "Przed sortowaniem:\n\n";

// Najpierw wypełniamy tablicę d[] liczbami pseudolosowymi
// a następnie wyświetlamy jej zawartość

  srand((unsigned)time(NULL));
  for(i = 0; i < N; i++) d[i] = rand() % 100;
  for(i = 0; i < N; i++) cout << setw(4) << d[i];
  cout << endl;

// Sortujemy

  for(j = 0; j < N - 1; j++)
    for(i = 0; i < N - 1; i++)
      if(d[i] > d[i + 1]) swap(d[i], d[i + 1]);

// Wyświetlamy wynik sortowania

  cout << "Po sortowaniu:\n\n";
  for(i = 0; i < N; i++) cout << setw(4) << d[i];
  cout << endl;
  system("PAUSE"); return 0;
}

' Sortowanie Bąbelkowe - Wersja nr 1
'-------------------------------------------------
' (C)2005 mgr Jerzy Wałaszek
' I Liceum Ogólnokształcące
' im. K. Brodzińskiego
' w Tarnowie
'-------------------------------------------------

  OPTION EXPLICIT

  CONST N = 20 ' Liczebność zbioru.

  DIM d(1 TO N) AS INTEGER, i AS INTEGER, j AS INTEGER

  PRINT " Sortowanie babelkowe "
  PRINT "     WERSJA  NR 1     "
  PRINT "----------------------"
  PRINT "(C)2005 Jerzy Walaszek"
  PRINT

' Najpierw wypełniamy tablicę d[] liczbami pseudolosowymi
' a następnie wyświetlamy jej zawartość

  RANDOMIZE TIMER
  FOR i = 1 TO N: d(i) = INT(RND * 100): NEXT
  PRINT "Przed sortowaniem:"
  PRINT
  FOR i = 1 TO N: PRINT USING "####"; d(i);: NEXT
  PRINT

' Sortujemy

  FOR j = 1 TO N - 1
    FOR i = 1 TO N - 1
      IF d(i) > d(i+1) THEN SWAP d(i), d(i+1)
    NEXT
  NEXT

' Wyświetlamy wynik sortowania

  PRINT "Po sortowaniu:"
  PRINT
  FOR i = 1 TO N: PRINT USING "####"; d(i);: NEXT
  PRINT
  PRINT "Nacisnij Enter..."
  SLEEP
  END

<html>
  <head>
  </head>
  <body>
    <form style="BORDER-RIGHT: #ff9933 1px outset;
                 PADDING-RIGHT: 4px; BORDER-TOP: #ff9933 1px outset;
                 PADDING-LEFT: 4px; PADDING-BOTTOM: 1px;
                 BORDER-LEFT: #ff9933 1px outset; PADDING-TOP: 1px;
                 BORDER-BOTTOM: #ff9933 1px outset;
                 BACKGROUND-COLOR: #ffcc66" name="frmbubblesort">
      <h3 style="text-align: center">Sortowanie Bąbelkowe - wersja nr 1</h3>
      <p style="TEXT-ALIGN: center">
        (C)2005 mgr Jerzy Wałaszek - I LO w Tarnowie
      </p>
      <hr>
      <p style="TEXT-ALIGN: center">
        <input onclick="main()" type="button" value="Sortuj" name="B1">
      </p>
      <p id="t_out" style="TEXT-ALIGN: center">...</p>
    </form>

<script language=javascript>

// Sortowanie Bąbelkowe - wersja nr 1
//-------------------------------------------------
// (C)2005 mgr Jerzy Wałaszek
// I Liceum Ogólnokształcące
// im. K. Brodzińskiego
// w Tarnowie
//-------------------------------------------------

var N = 20; // Liczebność zbioru.

function main()
{
  var d = new Array(N);
  var i,j,x,t;

  // Najpierw wypełniamy tablicę d[] liczbami pseudolosowymi

  for(i = 0; i < N; i++) d[i] = Math.floor(Math.random() * 100);
  t = "Przed sortowaniem:<BR><BR>";
  for(i = 0; i < N; i++) t += d[i] + " ";
  t += "<BR><BR>";

  // Sortujemy

  for(j = 0; j < N - 1; j++)
    for(i = 0; i < N - 1; i++)
      if(d[i] > d[i + 1])
      {
        x = d[i]; d[i] = d[i + 1]; d[i + 1] = x;
      };

  // Wyświetlamy wynik sortowania

  t += "Po sortowaniu:<BR><BR>";
  for(i = 0; i < N; i++) t += d[i] + " ";
  document.getElementById("t_out").innerHTML = t;
}

</script> 

  </body>
</html>

W celach badawczych testujemy czas wykonania algorytmu sortowania bąbelkowego 1 w środowisku opisanym we wstępie. Program testujący jest następujący:

 

// Program testujący czas sortowania dla
// danego algorytmu sortującego
//--------------------------------------
// (C)2005 mgr Jerzy Wałaszek
// I Liceum Ogólnokształcące
// w Tarnowie
//--------------------------------------

program TestCzasuSortowania;

uses Windows;

const
  NAZWA = 'Sortowanie bąbelkowe - Bubble Sort 1';
  K1    = '-------------------------------------------';
  K2    = '(C)2005 mgr J.Wałaszek      I LO w Tarnowie';
  K3    = '------n---------tpo---------tod---------tpp---------tpk---------tnp';
  K4    = '-------------------------------------------------------------------';
  MAX_LN = 5; // określa ostatnie LN
  LN : array[1..8] of integer = (1000,2000,4000,8000,16000,32000,64000,128000);

var
  d         : array[1..128000] of real; // sortowana tablica
  n         : integer;                  // liczba elementów
  qpf,tqpc  : int64;                    // dane dla pomiaru czasu
  qpc1,qpc2 : int64;

// Tutaj umieszczamy procedurę sortującą tablicę d
//------------------------------------------------
function Sort : extended;
var
  i,j : integer;
  x   : real;
begin
  QueryPerformanceCounter(addr(qpc1));
  for j := 1 to n - 1 do
    for i := 1 to n - 1 do
      if d[i] > d[i+1] then // Porządek rosnący
      begin
        x := d[i]; d[i] := d[i+1]; d[i+1] := x;
      end;
  QueryPerformanceCounter(addr(qpc2));
  Sort := (qpc2 - qpc1 - tqpc) / qpf;
end;

// Program główny
//---------------
var
  i,j,k               : integer;
  tpo,tod,tpp,tpk,tnp : extended;
  f                   : Text;
begin
  if QueryPerformanceFrequency(addr(qpf)) then
  begin
    QueryPerformanceCounter(addr(qpc1));
    QueryPerformanceCounter(addr(qpc2));
    tqpc := qpc2 - qpc1;

    assignfile(f,'wyniki.txt'); rewrite(f);

// Wydruk na ekran

    writeln('Nazwa: ',NAZWA);
    writeln(K1);
    writeln(K2);
    writeln;
    writeln(K3);

// Wydruk do pliku

    writeln(f,'Nazwa: ',NAZWA);
    writeln(f,K1);
    writeln(f,K2);
    writeln(f,'');
    writeln(f,K3);
    for i := 1 to MAX_LN do
    begin
      n := LN[i];

// Czas sortowania zbioru posortowanego

      for j := 1 to n do d[j] := j;
      tpo := Sort;

// Czas sortowania zbioru posortowanego odwrotnie

      for j := 1 to n do d[j] := n - j;
      tod := Sort;

// Czas sortowania zbioru posortowanego
// z przypadkowym elementem na początku - średnia z 10 obiegów

      tpp := 0;
      for j := 1 to 10 do
      begin
        for k := 1 to n do d[k] := k;
        d[1] := random * n + 1;
        tpp += Sort;
      end;
      tpp /= 10;

// Czas sortowania zbioru posortowanego
// z przypadkowym elementem na końcu - średnia z 10 obiegów

      tpk := 0;
      for j := 1 to 10 do
      begin
        for k := 1 to n do d[k] := k;
        d[n] := random * n + 1;
        tpk += Sort;
      end;
      tpk /= 10;

// Czas sortowania zbioru nieuporządkowanego - średnia z 10 obiegów

      tnp := 0;
      for j := 1 to 10 do
      begin
        for k := 1 to n do d[k] := random;
        tnp += Sort;
      end;
      tnp /= 10;

      writeln(n:7,tpo:12:6,tod:12:6,tpp:12:6,tpk:12:6,tnp:12:6);
      writeln(f,n:7,tpo:12:6,tod:12:6,tpp:12:6,tpk:12:6,tnp:12:6);
    end;
    writeln(K4);
    writeln(f,K4);
    writeln(f,'Koniec');
    closefile(f);
    writeln;
    writeln('Koniec. Wyniki w pliku WYNIKI.TXT');
  end
  else writeln('Na tym komputerze program testowy nie pracuje !');
  writeln;
  write('Nacisnij klawisz ENTER...'); readln;
end.

Otrzymane wyniki są następujące (dla komputera o innych parametrach wyniki mogą się różnić co do wartości czasów wykonania, dlatego w celach porównawczych proponuję uruchomić podany program na komputerze czytelnika):

Nazwa: Sortowanie bąbelkowe - Bubble Sort 1
-------------------------------------------
(C)2005 mgr J.Wałaszek      I LO w Tarnowie

------n---------tpo---------tod---------tpp---------tpk---------tnp
   1000    0.007080    0.033954    0.008131    0.009170    0.021347
   2000    0.025329    0.145372    0.025706    0.027021    0.086866
   4000    0.096382    0.541764    0.102081    0.102371    0.347644
   8000    0.414819    2.194081    0.418721    0.414379    1.401096
  16000    1.672559    8.789338    1.679220    1.675513    5.628816
-------------------------------------------------------------------
Koniec

(Arkusz kalkulacyjny Excel do wyznaczania klasy czasowej złożoności obliczeniowej)

(Arkusz kalkulacyjny Excel do wyznaczania wzrostu prędkości sortowania)

Analizując wyniki obliczeń w arkuszu kalkulacyjnym otrzymanych czasów sortowania dla algorytmu sortowania bąbelkowego 1 wyciągamy następujące wnioski:

Klasy złożoności obliczeniowej szacujemy następująco:

• optymistyczna - dla zbiorów uporządkowanych (z niewielką liczbą elementów nie na swoich miejscach) - na podstawie czasów t_po, t_pp, t_pk
• typowa - dla zbiorów o losowym rozkładzie elementów - na podstawie czasu t_np
• pesymistyczna - dla zbiorów posortowanych odwrotnie - na podstawie czasu t_od.

Własności algorytmu
Algorytm	tpo	tod	tpp	tpk	tnp
Sortowanie bąbelkowe wersja nr 1	O(n2)	O(n2)	O(n2)	O(n2)	O(n2)
	tpo   1 tod 5		tpo=tpp=tpk		tnp   2 tod 3

1. Wszystkie badane przez nas czasy sortowania są proporcjonalne do kwadratu liczby elementów zbioru. Klasa czasowej złożoności obliczeniowej wynosi O(n²).
2. Czasy sortowania t_po, t_pp oraz t_pk są praktycznie takie same.
3. Czas sortowania zbioru nieuporządkowanego jest krótszy od czasu sortowania zbioru uporządkowanego odwrotnie.

Wzrost prędkości sortowania
Algorytmy	tpo	tod	tpp	tpk	tnp
Sortowanie naiwne Sortowanie bąbelkowe 1	1 n źle	n 33 dobrze	1 6 źle	1 4 źle	n 33 dobrze

1. Porównując wzrost prędkości algorytmu sortowania bąbelkowego w stosunku do algorytmu sortowania naiwnego zauważamy, iż korzyść następuje w przypadku sortowania zbioru uporządkowanego odwrotnie oraz zbioru nieuporządkowanego. Wzrost prędkości jest proporcjonalny liniowo do liczby elementów w sortowanym zbiorze. W pozostałych przypadkach algorytm naiwny jest dużo szybszy od tej wersji algorytmu sortującego.

1. Uzasadnij, iż wszystkie czasy dla tej wersji algorytmu są proporcjonalne do kwadratu liczby sortowanych elementów.

2. Dlaczego czasy t_po, t_pp oraz t_pk są takie same?

3. Uzasadnij wyniki otrzymane przy badaniu wzrostu prędkości algorytmu sortowania bąbelkowego w stosunku do algorytmu sortowania naiwnego.

Dokument ten rozpowszechniany jest zgodnie z zasadami licencji
GNU Free Documentation License.

Źródło: mgr Jerzy Wałaszek