Login lub e-mail Hasło   

Algorytmy sortujące - sortowanie szybkie

Odnośnik do oryginalnej publikacji: http://www.i-lo.tarnow.pl/edu/inf/alg/al(...)ex.html
Algorytm sortowania szybkiego opiera się na strategii "dziel i zwyciężaj" (ang. divide and conquer) , którą możemy krótko scharakteryzować w trzech pun...
Wyświetlenia: 16.001 Zamieszczono 18/10/2006

Algorytm sortowania szybkiego opiera się na strategii "dziel i zwyciężaj" (ang. divide and conquer), którą możemy krótko scharakteryzować w trzech punktach:

  1. DZIEL - problem główny zostaje podzielony na podproblemy
  2. ZWYCIĘŻAJ - znajdujemy rozwiązanie podproblemów
  3. POŁĄCZ - rozwiązania podproblemów zostają połączone w rozwiązanie problemu głównego

Idea sortowania szybkiego jest następująca:

(DZIEL) : najpierw sortowany zbiór dzielimy na dwie części w taki sposób, aby wszystkie elementy leżące w pierwszej części (zwanej lewą partycją) były mniejsze lub równe od wszystkich elementów drugiej części zbioru (zwanej prawą partycją).
(ZWYCIĘŻAJ) :  każdą z partycji sortujemy rekurencyjnie tym samym algorytmem.
(POŁĄCZ) : połączenie tych dwóch partycji w jeden zbiór daje w wyniku zbiór posortowany.

prof. Tony Hoare

Sortowanie szybkie zostało wynalezione przez angielskiego informatyka, profesora Tony'ego Hoare'a w latach 60-tych ubiegłego wieku. W przypadku typowym algorytm ten jest najszybszym algorytmem sortującym z klasy złożoności obliczeniowej O(n log n) - stąd pochodzi jego popularność w zastosowaniach. Musimy jednak pamiętać, iż w pewnych sytuacjach (zależnych od sposobu wyboru piwotu oraz niekorzystnego ułożenia danych wejściowych) klasa złożoności obliczeniowej tego algorytmu może się degradować do O(n2), co więcej, poziom wywołań rekurencyjnych może spowodować przepełnienie stosu i zablokowanie komputera. Z tych powodów algorytmu sortowania szybkiego nie można stosować bezmyślnie w każdej sytuacji tylko dlatego, iż jest uważany za jeden z najszybszych algorytmów sortujących - zawsze należy przeprowadzić analizę możliwych danych wejściowych właśnie pod kątem przypadku niekorzystnego - czasem lepszym rozwiązaniem może być zastosowanie wcześniej opisanego algorytmu sortowania przez kopcowanie, który nigdy nie degraduje się do klasy O(n2).

Do utworzenia partycji musimy ze zbioru wybrać jeden z elementów, który nazwiemy piwotem. W lewej partycji znajdą się wszystkie elementy niewiększe od piwotu, a w prawej partycji umieścimy wszystkie elementy niemniejsze od piwotu. Położenie elementów równych nie wpływa na proces sortowania, zatem mogą one występować w obu partycjach. Również porządek elementów w każdej z partycji nie jest ustalony.

Jako piwot można wybierać element pierwszy, środkowy, ostatni, medianę lub losowy. Dla naszych potrzeb wybierzemy element środkowy:

piwot d[(lewy + prawy) div 2]  
piwot  - element podziałowy
d[ ] - dzielony zbiór
lewy - indeks pierwszego elementu
prawy  - indeks ostatniego elementu

Dzielenie na partycje polega na umieszczeniu dwóch wskaźników na początku zbioru - i oraz j. Wskaźnik i przebiega przez zbiór poszukując wartości mniejszych od piwotu. Po znalezieniu takiej wartości jest ona wymieniana z elementem na pozycji j. Po tej operacji wskaźnik j jest przesuwany na następną pozycję. Wskaźnik j zapamiętuje pozycję, na którą trafi następny element oraz na końcu wskazuje miejsce, gdzie znajdzie się piwot. W trakcie podziału piwot jest bezpiecznie przechowywany na ostatniej pozycji w zbiorze.

Dla przykładu podzielimy na partycje zbiór:

{ 7 2 4 7 3 1 4 6 5 8 3 9 2 6 7 6 3 }

Lp. Operacja Opis
1.
 7 2 4 7 3 1 4 6 5 8 3 9 2 6 7 6 3 
Wyznaczamy na piwot element środkowy.
2.
 7 2 4 7 3 1 4 6 3 8 3 9 2 6 7 6
Piwot wymieniamy z ostatnim elementem zbioru
3.
 7 2 4 7 3 1 4 6 3 8 3 9 2 6 7 6
i
j
Na początku zbioru ustawiamy dwa wskaźniki. Wskaźnik i będzie przeglądał zbiór do przedostatniej pozycji. Wskaźnik j zapamiętuje miejsce wstawiania elementów mniejszych od piwotu
4.
 7 2 4 7 3 1 4 6 3 8 3 9 2 6 7 6
i
j
Wskaźnikiem i szukamy elementu mniejszego od piwotu
5.
 2 7 4 7 3 1 4 6 3 8 3 9 2 6 7 6
i
j
Znaleziony element wymieniamy z elementem na pozycji j-tej. Po wymianie wskaźnik j przesuwamy o 1 pozycję.
6.
 2 7 4 7 3 1 4 6 3 8 3 9 2 6 7 6
i
j
Szukamy
7.
 2 4 7 7 3 1 4 6 3 8 3 9 2 6 7 6
i
j
Wymieniamy i przesuwamy j.
8.
 2 4 7 7 3 1 4 6 3 8 3 9 2 6 7 6
i
j
Szukamy
9.
 2 4 3 7 7 1 4 6 3 8 3 9 2 6 7 6
i
j
Wymieniamy i przesuwamy j.
10.
 2 4 3 7 7 1 4 6 3 8 3 9 2 6 7 6
i
j
Szukamy
11.
 2 4 3 1 7 7 4 6 3 8 3 9 2 6 7 6
i
j
Wymieniamy i przesuwamy j.
12.
 2 4 3 1 7 7 4 6 3 8 3 9 2 6 7 6
i
j
Szukamy
13.
 2 4 3 1 4 7 7 6 3 8 3 9 2 6 7 6
i
j
Wymieniamy i przesuwamy j.
14.
 2 4 3 1 4 7 7 6 3 8 3 9 2 6 7 6
i
j
Szukamy
15.
 2 4 3 1 4 3 7 6 7 8 3 9 2 6 7 6
i
j
Wymieniamy i przesuwamy j.
16.
 2 4 3 1 4 3 7 6 7 8 3 9 2 6 7 6
i
j
Szukamy
17.
 2 4 3 1 4 3 3 6 7 8 7 9 2 6 7 6
i
j
Wymieniamy i przesuwamy j.
18.
 2 4 3 1 4 3 3 6 7 8 7 9 2 6 7 6
i
j
Szukamy
19.
 2 4 3 1 4 3 3 2 7 8 7 9 6 6 7 6
i
j
Wymieniamy i przesuwamy j.
20.
 2 4 3 1 4 3 3 2 5 8 7 9 6 6 7 6 7 
^ i
Lewa partycja
j Prawa partycja
Brak dalszych elementów do wymiany. Piwot wymieniamy z elementem na pozycji j-tej. Podział na partycje zakończony.

Po zakończeniu podziału na partycje wskaźnik j wyznacza pozycję piwotu. Lewa partycja zawiera elementy mniejsze od piwotu i rozciąga się od początku zbioru do pozycji j - 1. Prawa partycja zawiera elementy większe lub równe piwotowi i rozciąga się od pozycji j + 1 do końca zbioru. Operacja podziału na partycje ma liniową klasę złożoności obliczeniowej - O(n).

Sortuj_szybko(lewy, prawy)

Dane wejściowe

d[ ] - Zbiór zawierający elementy do posortowania. Zakres indeksów elementów jest dowolny.
lewy - indeks pierwszego elementu w zbiorze, lewy C
prawy - indeks ostatniego elementu w zbiorze, prawy C

Dane wyjściowe

d[ ] - Zbiór zawierający elementy posortowane rosnąco

Zmienne pomocnicze

piwot - element podziałowy
i, j - indeksy, i, j C

krok 1:
i [ lewy + prawy ]
2
krok 2: piwot d[i];   d[i] d[prawy];   j lewy
krok 3: Dla i = lewy, lewy + 1, ..., prawy - 1: wykonuj kroki 4...5
krok 4:     Jeśli d[i] piwot, to wykonaj kolejny obieg pętli z kroku 3
krok 5:     d[i] d[j];    j j + 1
krok 6: d[prawy] d[j];   d[j] piwot
krok 7: Jeśli lewy < j - 1, to wykonaj rekurencyjnie Sortuj_szybko(lewy, j - 1)
krok 8: Jeśli j + 1 < prawy, to wykonaj rekurencyjnie Sortuj_szybkow(j + 1, prawy)
krok 9: Zakończ algorytm

Algorytm sortowania szybkiego wywołujemy podając za lewy indeks pierwszego elementu zbioru, a za prawy indeks elementu ostatniego (czyli Sortuj_szybko(1,n)). Zakres indeksów jest dowolny - dzięki temu ten sam algorytm może również sortować fragment zbioru, co wykorzystujemy przy sortowaniu wyliczonych partycji.

Na element podziałowy wybieramy element leżący w środku dzielonej partycji. Wyliczamy jego pozycję i zapamiętujemy ją tymczasowo w zmiennej i. Robimy to po to, aby dwukrotnie nie wykonywać tych samych rachunków.

Element d[i] zapamiętujemy w zmiennej piwot, a do d[i] zapisujemy ostatni element partycji. Dzięki tej operacji piwot został usunięty ze zbioru.

Ustawiamy zmienną j na początek partycji. Zmienna ta zapamiętuje pozycję podziału partycji.

W pętli sterowanej zmienną i przeglądamy kolejne elementy od pierwszego do przedostatniego (ostatni został umieszczony na pozycji piwotu, a piwot zapamiętany). Jeśli i-ty element jest mniejszy od piwotu, to trafia on na początek partycji - wymieniamy ze sobą elementy na pozycjach i-tej i j-tej. Po tej operacji przesuwamy punkt podziałowy partycji j.

Po zakończeniu pętli element z pozycji j-tej przenosimy na koniec partycji, aby zwolnić miejsce dla piwotu, po czym wstawiamy tam piwot. Zmienna j wskazuje zatem wynikową pozycję piwotu. Pierwotna partycja została podzielona na dwie partycje:

partycja lewa od pozycji lewy do j - 1 zawiera elementy mniejsze od piwotu
partycja prawa od pozycji j + 1 do pozycji prawy zawiera elementy większe lub równe piwotowi.

Sprawdzamy, czy partycje te obejmują więcej niż jeden element. Jeśli tak, to wywołujemy rekurencyjnie algorytm sortowania szybkiego przekazując mu granice wyznaczonych partycji. Po powrocie z wywołań rekurencyjnych partycja wyjściowa jest posortowana rosnąco. Kończymy algorytm.

   
   
   

Poniższe, przykładowe programy są praktyczną realizacją omawianego w tym rozdziale algorytmu. Zapewne można je napisać bardziej efektywnie. To już twoje zadanie. Dokładny opis stosowanych środowisk programowania znajdziesz we wstępie. Programy przed opublikowaniem w serwisie edukacyjnym zostały dokładnie przetestowane. Jeśli jednak znajdziesz jakąś usterkę (co zawsze może się zdarzyć), to prześlij o niej informację do autora. Pozwoli to ulepszyć nasze artykuły. Będziemy Ci za to wdzięczni.

 
       
Efekt uruchomienia programu

// Sortowanie Szybkie
//-------------------------------------------------
// (C)2005 mgr Jerzy Wałaszek
// I Liceum Ogólnokształcące
// im. K. Brodzińskiego
// w Tarnowie
//-------------------------------------------------

program Quick_Sort;

const N = 20; // Liczebność zbioru.

var
d : array[1..N] of integer;

// Procedura sortowania szybkiego
//-------------------------------

procedure Sortuj_szybko(lewy, prawy : integer);
var
i,j,piwot,x : integer;
begin
i := (lewy + prawy) div 2;
piwot := d[i]; d[i] := d[prawy];
j := lewy;
for i := lewy to prawy - 1 do
if
d[i] < piwot then
begin

x := d[i]; d[i] := d[j]; d[j] := x;
inc(j);
end;
d[prawy] := d[j]; d[j] := piwot;
if lewy < j - 1 then Sortuj_szybko(lewy, j - 1);
if j + 1 < prawy then Sortuj_szybko(j + 1, prawy);
end;

// Program główny
//---------------

var
i : integer;
begin
writeln(' Sortowanie szybkie');
writeln('------------------------');
writeln(' (C)2005 Jerzy Walaszek ');
writeln;

// Najpierw wypełniamy tablicę d[] liczbami pseudolosowymi
// a następnie wyświetlamy jej zawartość

randomize;
for i := 1 to N do d[i] := random(100);
writeln('Przed sortowaniem:'); writeln;
for i := 1 to N do write(d[i] : 4);
writeln;

// Sortujemy

Sortuj_szybko(1,N);

// Wyświetlamy wynik sortowania

writeln('Po sortowaniu:'); writeln;
for i := 1 to N do write(d[i] : 4);
writeln;
writeln('Nacisnij Enter...');
readln;
end.

// Sortowanie Szybkie
//-------------------------------------------------
// (C)2005 mgr Jerzy Wałaszek
// I Liceum Ogólnokształcące
// im. K. Brodzińskiego
// w Tarnowie
//-------------------------------------------------

#include <iostream>
#include <iomanip>

using namespace std;

const int N = 20; // Liczebność zbioru.

int d[N];

// Procedura sortowania szybkiego
//-------------------------------

void Sortuj_szybko(int lewy, int prawy)
{
int i,j,piwot;

i = (lewy + prawy) / 2;
piwot = d[i]; d[i] = d[prawy];
for(j = i = lewy; i < prawy; i++)
if(d[i] < piwot)
{
swap(d[i], d[j]);
j++;
}
d[prawy] = d[j]; d[j] = piwot;
if(lewy < j - 1) Sortuj_szybko(lewy, j - 1);
if(j + 1 < prawy) Sortuj_szybko(j + 1, prawy);
}

// Program główny
//---------------

int main(void)
{
int i;

srand((unsigned)time(NULL));
cout << " Sortowanie szybkie\n"
"------------------------\n"
" (C)2005 Jerzy Walaszek \n\n"
"Przed sortowaniem:\n\n"
;

// Najpierw wypełniamy tablicę d[] liczbami pseudolosowymi
// a następnie wyświetlamy jej zawartość

srand((unsigned)time(NULL));
for(i = 0; i < N; i++) d[i] = rand() % 100;
for(i = 0; i < N; i++) cout << setw(4) << d[i];
cout << endl;

// Sortujemy

Sortuj_szybko(0,N - 1);

// Wyświetlamy wynik sortowania

cout << "Po sortowaniu:\n\n";
for(i = 0; i < N; i++) cout << setw(4) << d[i];
cout << endl;
system("PAUSE"); return 0;
}

' Sortowanie szybkie
'-------------------------------------------------
' (C)2005 mgr Jerzy Wałaszek
' I Liceum Ogólnokształcące
' im. K. Brodzińskiego
' w Tarnowie
'-------------------------------------------------

DECLARE SUB Sortuj_szybko(lewy AS INTEGER, prawy AS INTEGER)

CONST N = 20 ' liczebność zbioru
DIM SHARED d(N) AS INTEGER
DIM
i AS INTEGER

PRINT
" Sortowanie szybkie"
PRINT "-----------------------"
PRINT "(C)2005 Jerzy Walaszek"
PRINT
PRINT
"Przed sortowaniem:": PRINT

' Wypełniamy tablicę liczbami pseudolosowymi i wyświetlamy je

RANDOMIZE
FOR
i = 1 TO N
d(i) = INT(RND * 100): PRINT USING "####";d(i);
NEXT
PRINT


' Sortujemy

Sortuj_szybko(1,N)

' Wyświetlamy wynik sortowania

PRINT "Po sortowaniu:": PRINT
FOR
i = 1 TO N: PRINT USING "####";d(i);: NEXT
PRINT
PRINT
"Nacisnij Enter..."
SLEEP
END

' Procedura sortowania szybkiego
'-------------------------------

SUB Sortuj_szybko(lewy AS INTEGER, prawy AS INTEGER)

DIM AS INTEGER i, j, piwot

i = (lewy + prawy) \ 2
piwot = d(i): d(i) = d(prawy)
j
= lewy
FOR i = lewy TO prawy - 1
IF d(i) < piwot THEN
SWAP d(i), d(j)
j += 1
END IF
NEXT

d(prawy) = d(j): d(j) = piwot
IF lewy < j - 1 THEN Sortuj_szybko(lewy, j - 1)
IF j + 1 < prawy THEN Sortuj_szybko(j + 1, prawy)

END SUB

<html>
<head>
</head>
<body>
<form style=
"BORDER-RIGHT: #ff9933 1px outset;
PADDING-RIGHT: 4px; BORDER-TOP: #ff9933 1px outset;
PADDING-LEFT: 4px; PADDING-BOTTOM: 1px;
BORDER-LEFT: #ff9933 1px outset; PADDING-TOP: 1px;
BORDER-BOTTOM: #ff9933 1px outset;
BACKGROUND-COLOR: #ffcc66"
name="frmquicksort">
<h3 style=
"text-align: center">Sortowanie Szybkie</h3>
<p style=
"TEXT-ALIGN: center">
(C)2005 mgr Jerzy Wałaszek - I LO w Tarnowie
</p>
<hr>
<p style=
"TEXT-ALIGN: center">
<input onclick=
"main()" type="button" value="Sortuj" name="B1">
</p>
<p id=
"t_out" style="TEXT-ALIGN: center">...</p>
</form>

<script language=
javascript>

// Sortowanie Szybkie
//-------------------------------------------------
// (C)2005 mgr Jerzy Wałaszek
// I Liceum Ogólnokształcące
// im. K. Brodzińskiego
// w Tarnowie
//-------------------------------------------------

var N = 20; // Liczebność zbioru.
var d = new Array(N)

// Procedura sortowania szybkiego
//-------------------------------

function Sortuj_szybko(lewy, prawy)
{
var i,j,piwot,x;

i = Math.floor((lewy + prawy) / 2);
piwot = d[i]; d[i] = d[prawy];
for(j = i = lewy; i < prawy; i++)
if(d[i] < piwot)
{
x = d[i]; d[i] = d[j]; d[j] = x;
j++;
}
d[prawy] = d[j]; d[j] = piwot;
if(lewy < j - 1) Sortuj_szybko(lewy, j - 1);
if(j + 1 < prawy) Sortuj_szybko(j + 1, prawy);
}

// Program główny
//---------------

function main()
{
var i,t;

// Najpierw wypełniamy tablicę d[] liczbami pseudolosowymi
// a następnie wyświetlamy jej zawartość

for(i = 0; i < N; i++) d[i] = Math.floor(Math.random() * 100);
t = "Przed sortowaniem:<BR><BR>";
for(i = 0; i < N; i++) t += d[i] + " ";

// Sortujemy

Sortuj_szybko(0, N - 1);

// Wyświetlamy wynik sortowania

t += "<BR><BR>Po sortowaniu:<BR><BR>";
for(i = 0; i < N; i++) t += d[i] + " ";
document.getElementById("t_out").innerHTML = t
}

</script>

</body></html>
 

W celach badawczych testujemy czas wykonania algorytmu sortowania szybkiego w środowisku opisanym we wstępie. Program testujący jest następujący:

// Program testujący czas sortowania dla
// danego algorytmu sortującego
//--------------------------------------
// (C)2005 mgr Jerzy Wałaszek
// I Liceum Ogólnokształcące
// w Tarnowie
//--------------------------------------

program TestCzasuSortowania;

uses Windows;

const
NAZWA = 'Sortowanie szybkie';
K1 = '----------------------------------------------------';
K2 = '(C)2005 mgr J.Wałaszek I LO w Tarnowie';
K3 = '------n---------tpo---------tod---------tpp---------tpk---------tnp';
K4 = '-------------------------------------------------------------------';
MAX_LN = 8; // określa ostatnie LN
LN : array[1..8] of integer = (1000,2000,4000,8000,16000,32000,64000,128000);

var
d : array[1..128000] of real; // sortowana tablica
n : integer; // liczba elementów
qpf,tqpc : int64; // dane dla pomiaru czasu
qpc1,qpc2 : int64;

// Tutaj umieszczamy procedurę sortującą tablicę d
//------------------------------------------------

procedure Sortuj_szybko(lewy, prawy : integer);
var
i,j : integer;
piwot,x : real;
begin
i := (lewy + prawy) div 2;
piwot := d[i]; d[i] := d[prawy];
j := lewy;
for i := lewy to prawy - 1 do
if
d[i] < piwot then
begin

x := d[i]; d[i] := d[j]; d[j] := x;
inc(j);
end;
d[prawy] := d[j]; d[j] := piwot;
if lewy < j - 1 then Sortuj_szybko(lewy, j - 1);
if j + 1 < prawy then Sortuj_szybko(j + 1, prawy);
end;

function Sort : extended;
begin
QueryPerformanceCounter(addr(qpc1));
Sortuj_szybko(1,n);
QueryPerformanceCounter(addr(qpc2));
Sort := (qpc2 - qpc1 - tqpc) / qpf;
end;

// Program główny
//---------------
var
i,j,k : integer;
tpo,tod,tpp,tpk,tnp : extended;
f : Text;
begin
if
QueryPerformanceFrequency(addr(qpf)) then
begin

QueryPerformanceCounter(addr(qpc1));
QueryPerformanceCounter(addr(qpc2));
tqpc := qpc2 - qpc1;

assignfile(f,'wyniki.txt'); rewrite(f);

// Wydruk na ekran

writeln('Nazwa: ',NAZWA);
writeln(K1);
writeln(K2);
writeln;
writeln(K3);

// Wydruk do pliku

writeln(f,'Nazwa: ',NAZWA);
writeln(f,K1);
writeln(f,K2);
writeln(f,'');
writeln(f,K3);
for i := 1 to MAX_LN do
begin

n := LN[i];

// Czas sortowania zbioru posortowanego

for j := 1 to n do d[j] := j;
tpo := Sort;

// Czas sortowania zbioru posortowanego odwrotnie

for j := 1 to n do d[j] := n - j;
tod := Sort;

// Czas sortowania zbioru posortowanego
// z przypadkowym elementem na początku - średnia z 10 obiegów

tpp := 0;
for j := 1 to 10 do
begin
for
k := 1 to n do d[k] := k;
d[1] := random * n + 1;
tpp += Sort;
end;
tpp /= 10;

// Czas sortowania zbioru posortowanego
// z przypadkowym elementem na końcu - średnia z 10 obiegów

tpk := 0;
for j := 1 to 10 do
begin
for
k := 1 to n do d[k] := k;
d[n] := random * n + 1;
tpk += Sort;
end;
tpk /= 10;

// Czas sortowania zbioru nieuporządkowanego - średnia z 10 obiegów

tnp := 0;
for j := 1 to 10 do
begin
for
k := 1 to n do d[k] := random;
tnp += Sort;
end;
tnp /= 10;

writeln(n:7,tpo:12:6,tod:12:6,tpp:12:6,tpk:12:6,tnp:12:6);
writeln(f,n:7,tpo:12:6,tod:12:6,tpp:12:6,tpk:12:6,tnp:12:6);
end;
writeln(K4);
writeln(f,K4);
writeln(f,'Koniec');
closefile(f);
writeln;
writeln('Koniec. Wyniki w pliku WYNIKI.TXT');
end
else writeln('Na tym komputerze program testowy nie pracuje !');
writeln;
write('Nacisnij klawisz ENTER...'); readln;
end.

Otrzymane wyniki są następujące (dla komputera o innych parametrach wyniki mogą się różnić co do wartości czasów wykonania, dlatego w celach porównawczych proponuję uruchomić podany program na komputerze czytelnika):

Zawartość pliku wygenerowanego przez program
Nazwa: Sortowanie szybkie
----------------------------------------------------
(C)2005 mgr J.Wałaszek I LO w Tarnowie

------n---------tpo---------tod---------tpp---------tpk---------tnp
1000 0.000115 0.000118 0.000132 0.000136 0.000292
2000 0.000222 0.000227 0.000270 0.000284 0.000616
4000 0.000464 0.000479 0.000556 0.000569 0.001330
8000 0.001058 0.001079 0.001216 0.001225 0.002825
16000 0.002124 0.002185 0.002472 0.002549 0.006088
32000 0.004593 0.004465 0.005211 0.005104 0.012763
64000 0.009873 0.010195 0.010849 0.011224 0.027306
128000 0.020037 0.021543 0.022796 0.022578 0.057542
-------------------------------------------------------------------
Koniec

Objaśnienia oznaczeń (wszystkie czasy podano w sekundach):

n -  ilość elementów w sortowanym zbiorze
tpo -  czas sortowania zbioru posortowanego
tod -  czas sortowania zbioru posortowanego malejąco
tpp -  czas sortowania zbioru posortowanego z losowym elementem na początku
tpk -  czas sortowania zbioru posortowanego z losowym elementem na końcu
tnp -  czas sortowania zbioru z losowym rozkładem elementów

(Arkusz kalkulacyjny Excel do wyznaczania klasy czasowej złożoności obliczeniowej)

(Arkusz kalkulacyjny Excel do wyznaczania wzrostu prędkości sortowania)

Analizując wyniki obliczeń w arkuszu kalkulacyjnym otrzymanych czasów sortowania dla algorytmu sortowania szybkiego wyciągamy następujące wnioski:

Cechy Algorytmu Sortowania Szybkiego
klasa złożoności obliczeniowej optymistyczna O(n log n)
klasa złożoności obliczeniowej typowa
klasa złożoności obliczeniowej pesymistyczna O(n2)
Sortowanie w miejscu TAK
Stabilność NIE

Klasy złożoności obliczeniowej szacujemy następująco:

  • optymistyczna - dla zbiorów uporządkowanych (z niewielką liczbą elementów nie na swoich miejscach) - na podstawie czasów tpo, tpp, tpk
  • typowa - dla zbiorów o losowym rozkładzie elementów - na podstawie czasu tnp
  • pesymistyczna - dla zbiorów posortowanych odwrotnie - na podstawie czasu tod. W przypadku tego algorytmu sortowania nie jest to przypadek pesymistyczny.
Własności algorytmu
Algorytm tpo tod tpp tpk tnp
Sortowanie szybkie O(n log n) O(n log n) O(n log n) O(n log n) O(n log n)
tpo tod tpp tpk
tnp   8 tod
3
  1. Wszystkie otrzymane czasy sortowania są proporcjonalne do iloczynu n log2 n, wnioskujemy zatem, iż klasa złożoności obliczeniowej algorytmu sortowania szybkiego jest równa O(n log n).
  2. Czasy sortowania dla poszczególnych przypadków są mniej więcej tego samego rzędu, zatem nie wystąpił tutaj przypadek pesymistyczny (zwróć uwagę na istotny fakt - to, co dla jednego algorytmu jest przypadkiem pesymistycznym, dla innego wcale nie musi takie być).
  3. Czas sortowania zbiorów nieuporządkowanych jest wyraźnie dłuższy od czasów sortowania zbiorów uporządkowanych częściowo.
  4. Czas sortowania zbioru uporządkowanego oraz uporządkowanego odwrotnie jest praktycznie taki sam.
Wzrost prędkości sortowania
Algorytmy tpo tod tpp tpk tnp
Sortowanie przez scalanie
Sortowanie szybkie
 3
  8
3
  5
2
  5
2
 1
dobrze dobrze dobrze dobrze brak
  1. Otrzymane wyniki potwierdzają, iż algorytm sortowania szybkiego jest najszybszym algorytmem sortującym. Jednakże w przypadku ogólnym notujemy jedynie bardzo nieznaczny wzrost prędkości sortowania w stosunku do algorytmu sortowania przez scalanie.

  2. Ponieważ jak dotąd algorytm sortowania szybkiego jest najszybszym algorytmem sortującym, do dalszych porównań czasów sortowania zastosujemy czasy uzyskane w tym algorytmie.

  1. Spróbuj znaleźć przypadek pesymistyczny dla algorytmu sortowania szybkiego opisanego w tym rozdziale.

  2. Przebadaj algorytmy sortowania szybkiego, w których piwot wybierany jest:

    1. Na początku partycji

    2. Na końcu partycji

    3. W miejscu losowym wewnątrz partycji

  3. Dlaczego czasy sortowania zbioru uporządkowanego i uporządkowanego odwrotnie są prawie równe?

  4. Uzasadnij, iż algorytm sortowania szybkiego nie posiada cechy stabilności.

  5. Wyszukaj w Internecie informację na temat algorytmu Introsort.

 

Dokument ten rozpowszechniany jest zgodnie z zasadami licencji

GNU Free Documentation License.

Podobne artykuły


16
komentarze: 5 | wyświetlenia: 9006
9
komentarze: 0 | wyświetlenia: 2784
49
komentarze: 18 | wyświetlenia: 64976
37
komentarze: 9 | wyświetlenia: 28519
11
komentarze: 2 | wyświetlenia: 33152
7
komentarze: 1 | wyświetlenia: 34648
17
komentarze: 4 | wyświetlenia: 14181
15
komentarze: 5 | wyświetlenia: 32761
13
komentarze: 2 | wyświetlenia: 22961
12
komentarze: 2 | wyświetlenia: 18506
12
komentarze: 3 | wyświetlenia: 29779
11
komentarze: 1 | wyświetlenia: 86405
11
komentarze: 1 | wyświetlenia: 10475
10
komentarze: 1 | wyświetlenia: 34971
 
Autor
Artykuł




Brak wiadomości


Dodaj swoją opinię
W trosce o jakość komentarzy wymagamy od użytkowników, aby zalogowali się przed dodaniem komentarza. Jeżeli nie posiadasz jeszcze swojego konta, zarejestruj się. To tylko chwila, a uzyskasz dostęp do dodatkowych możliwości!
 

© 2005-2018 grupa EIOBA. Wrocław, Polska