Wprowadzenie
Z pewnością każdy z nas miał do czynienia w szkole na lekcjach matematyki z pojęciem największego wspólnego dzielnika dwóch lub więcej liczb. W skrócie wyrażaliśmy to NWD. Okazuje się, iż istnieje efektywny algorytm liczenia NWD. Jest to jeden z najstarszych algorytmów - został opisany przez Euklidesa ok. roku 300 p.n.e.
Idea
Algorytm Euklidesa jest algorytmem rekurencyjnym, chociaż w bardzo prosty sposób można go przekształcić do formy iteracyjnej. Jego idea jest następująca: mając do policzenia NWD(a,b) sprawdzamy, czy b=0. Jeśli tak jest to NWD(a,b)=a. W przeciwnym wypadku wywołujemy rekurencyjnie algorytm dla liczb b i (a mod b), czyli liczymy NWD(b, (a mod b)). Dla tych którzy nie wiedzą - a mod b to reszta z dzielenia a przez b. Np. 7 mod 2=1, 15 mod 10=5, 8 mod 4=0.
Przykład
Rozważmy obliczenie NWD dla liczb 54 i 69. Ponieważ liczba b, czyli 69 nie jest równe 0 więc wykonujemy algorytm dla b i (a mod b). W tym przypadku będą to liczby 69 i (54 mod 69), czyli 54. Proszę zauważyć, że liczby w tym przypadku zamieniły się miejscami. Tak więc liczby w algorytmie Euklidesa nie muszą być podane w odpowiedniej kolejności - zostaną one automatycznie odwrócone. Dobra, wróćmy do naszego przykładu. Teraz mamy liczby 69 i 54. Ponieważ 54 nie jest równe 0, to wykonujemy rekurencyjnie algorytm dla liczb 54 i (69 mod 54), czyli 15. Znowu druga liczba nie wynosi 0. Wykonujemy dalej rekurencyjnie algorytm i otrzymujemy liczby 15 i (54 mod 15)=9. Liczba 9 nie jest zerem, więc wykonując dalej algorytm otrzymujemy liczby 9 i (15 mod 9), czyli 6. Jak poprzednio 6 nie jest równe 0, tak więc po kolejnym rekurencyjnym wywołaniu otrzymujemy 6 i (9 mod 6)=3. Jak wiadomo 3 to nie zero, więc wykonujemy algorytm dalej i otrzymujemy liczby 3 i (6 mod 3)=0. Ponieważ druga liczba jest równa 0 tak więc szukane NWD jest równe pierwszej liczbie, czyli 3.
Analizując po kolei wszystkie kroki naszego przykładu możemy napisać:
NWD(54,69)=NWD(69,54)=NWD(54,15)=NWD(15,9)=NWD(9,6)=NWD(6,3)=NWD(3,0)=3
Można udowodnić, że algorytm Euklidesa działa najgorzej dla liczb Fibonacciego.
NWD dla więcej niż dwóch liczb
Czasami spotykamy sytuację, gdy mamy policzyć największy wspólny dzielnik dla kilku liczb. Co wtedy robić? Po prostu liczymy NWD dla dwóch pierwszych liczb. Potem liczymy NWD dla otrzymanego wyniku i liczby trzeciej. Następnie NWD dla otrzymanego wyniku i czwartej liczby... itd.
Na przykład - jak policzyć NWD dla 84, 96, 32 i 24. Oto wynik:
NWD(84, 96, 32, 24) = NWD(84, NWD(96, NWD(32, 24))) = NWD(84, NWD(96, 8)) = NWD(84, 8) = 4