Zapis dwójkowy z nadmiarem

Załóżmy, iż chcielibyśmy otrzymać kod dwójkowy, w którym zachowany byłby naturalny porządek rosnący kolejnych słów kodowych. Na przykład dla 3 bitowego kodu słowa kodowe kolejnych liczb układałyby się następująco: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111. Słowo kodowe 000 powinno określać liczbę najmniejszą, a słowo kodowe 111 liczbę największą. Dotychczas poznane kody liczb binarnych ze znakiem nie spełniają tego warunku:

Kolejność 3 bitowych słów kodowych
ZM	111 (-3)	110 (-2)	101 (-1)	100 0	000 0	001 1	010 2	011 3
U1	100 (-3)	101 (-2)	110 (-1)	111 0	000 0	001 1	010 2	011 3
U2	100 (-4)	101 (-3)	110 (-2)	111 (-1)	000 0	001 1	010 2	011 3

Umówmy się zatem, iż wartość binarna słowa kodowego jest równa kodowanej liczbie pomniejszonej o pewną stałą zwaną nadmiarem (ang. excess lub bias). W zależności od tej stałej słowa kodowe będą oznaczały różne liczby. W poniższej tabelce zebraliśmy kilka przykładów takich kodów:

Wartości słów kodowych w systemach z nadmiarem
KOD	Wartości nadmiaru - bias
	4	3	2	1	0	(-1)	(-2)	(-3)	(-4)
000	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
001	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5
010	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6
011	-1	0	1	2	3	4	5	6	7
100	0	1	2	3	4	5	6	7	8
101	1	2	3	4	5	6	7	8	9
110	2	3	4	5	6	7	8	9	10
111	3	4	5	6	7	8	9	10	11

Zwróć uwagę, iż w zależności od nadmiaru możemy otrzymywać różne zakresy kodowanych liczb. Przykładowo dla przedstawionego w tabeli 3 bitowego kodu i nadmiaru 4 otrzymujemy zakres od -4 do 3. Nadmiar można tak dobrać, aby zakres w całości zawierał się po stronie liczb ujemnych lub dodatnich. Zatem kod ten jest bardzo elastyczny pod tym względem.

Do jednoznacznej definicji kodu z przesunięciem potrzebne są dwa parametry: n - ilość bitów słowa kodowego oraz bias - wartość nadmiaru. Znając je możemy jednoznacznie obliczyć wartość każdego słowa kodowego:

		Wartość dziesiętna liczby zapisanej w dwójkowym kodzie z nadmiarem bn-1bn-2...b2b1b0 (BIAS) = bn-12n-1 + bn-22n-2 + ... + b222 + b121 + b020 - bias gdzie b - bit, cyfra dwójkowa 0 lub 1 n - liczba bitów w zapisie liczby bias - nadmiar, odchyłka w stosunku do naturalnych wartości słów kodowych

 

Dla kodu z nadmiarem bias = 129₍₁₀₎ oblicz wartość słowa kodowego 11111111_(BIAS=129).

11111111_(BIAS=129) = 2⁷ + 2⁶ + 2⁵ + 2⁴ + 2³ + 2² + 2¹ + 2⁰ - 129
11111111_(BIAS=129) = 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 - 129
11111111_(BIAS=129) = 255 - 129
11111111_(BIAS=129) = 126₍₁₀₎.

 

Dla kodu z nadmiarem bias = 63₍₁₀₎ oblicz wartość słowa kodowego 00011111_(BIAS=63).

00011111_(BIAS=63) = 2⁴ + 2³ + 2² + 2¹ + 2⁰ - 63
00011111_(BIAS=63) = 16 + 8 + 4 + 2 + 1 - 63
00011111_(BIAS=63) = 31 - 63
00011111_(BIAS=63) = (-32)₍₁₀₎.

		Procedura przeliczania liczby dziesiętnej na dwójkowy zapis z nadmiarem Do wartości liczby dziesiętnej dodaj nadmiar bias. Otrzymasz w ten sposób wartość dziesiętną binarnego zapisu liczby w systemie dwójkowym z nadmiarem. Obliczoną wartość słowa kodowego przelicz na system dwójkowy. Wynikowe słowo binarne uzupełnij bitami o wartości 0 do długości formatu.

Przeliczyć liczbę dziesiętną 95₍₁₀₎ na zapis w 8-bitowym kodzie z nadmiarem 129₍₁₀₎.

Obliczamy wartość dziesiętną słowa kodowego:

95 + 129 = 224

Otrzymaną wartość słowa kodowego przeliczamy na system dwójkowy:

224₍₁₀₎ = 11100000₍₂₎

Wyliczone w ten sposób słówko kodowe jest reprezentacją liczby 95 w kodzie dwójkowym z nadmiarem 129:

95₍₁₀₎ = 11100000_(BIAS=129)

 

Przeliczyć liczbę dziesiętną (-24)₍₁₀₎ na zapis w 8-bitowym kodzie z nadmiarem 129₍₁₀₎.

Obliczamy wartość dziesiętną słowa kodowego:

(-24) + 129 = 105

Otrzymaną wartość słowa kodowego przeliczamy na system dwójkowy:

105₍₁₀₎ = 1101001₍₂₎

Wyliczone w ten sposób słówko kodowe uzupełniamy jednym bitem zero do długości 8 bitów otrzymując zapis liczby (-24)₍₁₀₎ w kodzie dwójkowym z nadmiarem 129:

(-24)₍₁₀₎ = 01101001_(BIAS=129)

Słowa kodowe tworzą ciąg rosnący w naturalnym systemie binarnym. Najmniejszym co do wartości słowem kodowym jest 0...0, a największym 1...1. Zakres będzie zatem zawierał się w przedziale liczb całkowitych od wartości dziesiętnej pierwszego słowa kodowego do wartości dziesiętnej ostatniego słowa kodowego.

Zgodnie z podanym na początku wzorem obliczania wartości liczby zapisanej w kodzie dwójkowym z nadmiarem pierwsze słowo kodowe ma wartość:

min_(BIAS) = 0...0_(BIAS) = 0 - bias

Ostatnie słowo kodowe ma wartość:

max_(BIAS) = 1...1_(BIAS) = 2ⁿ - 1 - bias

Zatem:

		Zakres n bitowej liczby dwójkowej w kodzie z nadmiarem bias Z(BIAS) = (-bias, 2n - 1 - bias) Zakres może być dowolnie przesuwany na osi liczbowej poprzez zmianę odchylenia. Dzięki temu zawsze można go dopasować do bieżących potrzeb obliczeniowych.

 

4 bitowe liczby w kodzie z nadmiarem bias = 8 = 2³ posiadają zakres:

od	-bias	=	-8	= 0000(BIAS=8)
do	24 - 1 - bias	=	7	= 1111(BIAS=8)

8 bitowe liczby w kodzie z nadmiarem bias = 128 = 2⁷ posiadają zakres:

od	-bias	=	-128	= 00000000(BIAS=128)
do	28 - 1 - bias	=	127	= 11111111(BIAS=128)

16 bitowe liczby w kodzie z nadmiarem bias = 32768 = 2¹⁵ posiadają zakres:

od	-bias	=	-32768	= 0000000000000000(BIAS=32768)
do	216 - 1 - bias	=	32767	= 1111111111111111(BIAS=32768)

Dodawanie

Aby ustalić reguły dodawania liczb zapisanych w dwójkowym kodzie z nadmiarem dokonajmy prostych wyliczeń. Kod binarny liczby w zapisie z nadmiarem ma wartość:

c_(BIAS) = liczba + bias

Suma dwóch kodów da nam:

c_{1 (BIAS)} = liczba₁ + bias
c_{2 (BIAS)} = liczba₂ + bias

c_{1 (BIAS)} + c_{2 (BIAS)} = (liczba₁ + liczba₂⁾ + 2 ^x bias

Wynika stąd, iż prosta suma dwóch słów kodowych prowadzi do wyniku, który jest za duży o wartość nadmiaru. Aby zatem otrzymać słowo kodowe odpowiadające sumie liczb, należy od wyniku dodawania odjąć nadmiar:

c_{1+2 (BIAS)} = (liczba₁ + liczba₂) + bias = c_{1 (BIAS)} + c_{2 (BIAS)} - bias

 

Wykonać operację 0011_(BIAS=7) + 1010_(BIAS=7).

	0011
+	1010
	1101
-	0111
	0110

0011_(BIAS=7) + 1010_(BIAS=7) = 0110_(BIAS=7).

Sprawdźmy, czy otrzymaliśmy poprawny wynik. W tym celu policzymy wartość wszystkich słówek kodowych:

0011_(BIAS=7) = 3 - 7 = -4
1010_(BIAS=7) = 10 - 7 = 3
0110_(BIAS=7) = 6 - 7 = -1

-4 + 3 = -1 - wynik prawidłowy

Odejmowanie

Przy wyprowadzeniu wzoru na odejmowanie postąpimy podobnie jak dla dodawania:

c_(BIAS) = liczba + bias

Różnica dwóch kodów da nam:

c_{1 (BIAS)} = liczba₁ + bias
c_{2 (BIAS)} = liczba₂ + bias

c_{1 (BIAS)} - c_{2 (BIAS)} = (liczba₁ - liczba₂⁾

Wynika stąd, iż prosta różnica dwóch słów kodowych prowadzi do wyniku, który jest za mały o wartość nadmiaru. Aby zatem otrzymać słowo kodowe odpowiadające różnicy liczb, należy do wyniku odejmowania dodać nadmiar:

c_{1-2 (BIAS)} = (liczba₁ - liczba₂) + bias = c_{1 (BIAS)} - c_{2 (BIAS)} + bias

 

Wykonać operację 1011_(BIAS=7) - 1110_(BIAS=7).

	1011
-	1110
	11101
+	0111
	10100

1011_(BIAS=7) + 1110_(BIAS=7) = 0100_(BIAS=7).

Sprawdźmy, czy otrzymaliśmy poprawny wynik. W tym celu policzymy wartość wszystkich słówek kodowych:

1011_(BIAS=7) = 11 - 7 = 4
1110_(BIAS=7) = 14 - 7 = 7
0100_(BIAS=7) = 4 - 7 = -3

4 - 7 = -3 - wynik prawidłowy 

 

 

Dokument ten rozpowszechniany jest zgodnie z zasadami licencji
GNU Free Documentation License.

Źródło: mgr Jerzy Wałaszek