Login lub e-mail Hasło   

Zapis dwójkowy z nadmiarem

Odnośnik do oryginalnej publikacji: http://www.i-lo.tarnow.pl/edu/inf/alg/nu(...)ex.html
Załóżmy, iż chcielibyśmy otrzymać kod dwójkowy, w którym zachowany byłby naturalny porządek rosnący kolejnych słów kodowych. Na przykład dla 3 bito...
Wyświetlenia: 3.745 Zamieszczono 01/11/2006

Załóżmy, iż chcielibyśmy otrzymać kod dwójkowy, w którym zachowany byłby naturalny porządek rosnący kolejnych słów kodowych. Na przykład dla 3 bitowego kodu słowa kodowe kolejnych liczb układałyby się następująco: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111. Słowo kodowe 000 powinno określać liczbę najmniejszą, a słowo kodowe 111 liczbę największą. Dotychczas poznane kody liczb binarnych ze znakiem nie spełniają tego warunku:

Kolejność 3 bitowych słów kodowych
ZM 111
(-3)
110
(-2)
101
(-1)
100
0
000
0
001
1
010
2
011
3
U1 100
(-3)
101
(-2)
110
(-1)
111
0
000
0
001
1
010
2
011
3
U2 100
(-4)
101
(-3)
110
(-2)
111
(-1)
000
0
001
1
010
2
011
3

Umówmy się zatem, iż wartość binarna słowa kodowego jest równa kodowanej liczbie pomniejszonej o pewną stałą zwaną nadmiarem (ang. excess lub bias). W zależności od tej stałej słowa kodowe będą oznaczały różne liczby. W poniższej tabelce zebraliśmy kilka przykładów takich kodów:

Wartości słów kodowych w systemach z nadmiarem
KOD Wartości nadmiaru - bias
4 3 2 1 0 (-1) (-2) (-3) (-4)
000 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
001 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
010 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
011 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
100 0 1 2 3 4 5 6 7 8
101 1 2 3 4 5 6 7 8 9
110 2 3 4 5 6 7 8 9 10
111 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Zwróć uwagę, iż w zależności od nadmiaru możemy otrzymywać różne zakresy kodowanych liczb. Przykładowo dla przedstawionego w tabeli 3 bitowego kodu i nadmiaru 4 otrzymujemy zakres od -4 do 3. Nadmiar można tak dobrać, aby zakres w całości zawierał się po stronie liczb ujemnych lub dodatnich. Zatem kod ten jest bardzo elastyczny pod tym względem.

Do jednoznacznej definicji kodu z przesunięciem potrzebne są dwa parametry: n - ilość bitów słowa kodowego oraz bias - wartość nadmiaru. Znając je możemy jednoznacznie obliczyć wartość każdego słowa kodowego:

   
   
    Wartość dziesiętna liczby zapisanej w dwójkowym kodzie z nadmiarem

bn-1bn-2...b2b1b0 (BIAS) = bn-12n-1 + bn-22n-2 + ... + b222 + b121 + b020 - bias

gdzie

b - bit, cyfra dwójkowa 0 lub 1
n - liczba bitów w zapisie liczby
bias - nadmiar, odchyłka w stosunku do naturalnych wartości słów kodowych

 
       

 

Dla kodu z nadmiarem bias = 129(10) oblicz wartość słowa kodowego 11111111(BIAS=129).

11111111(BIAS=129) = 27 + 26 + 25 + 24 + 23 + 22 + 21 + 20 - 129
11111111(BIAS=129) = 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 - 129
11111111(BIAS=129) = 255 - 129
11111111(BIAS=129) = 126(10).

 

Dla kodu z nadmiarem bias = 63(10) oblicz wartość słowa kodowego 00011111(BIAS=63).

00011111(BIAS=63) = 24 + 23 + 22 + 21 + 20 - 63
00011111(BIAS=63) = 16 + 8 + 4 + 2 + 1 - 63
00011111(BIAS=63) = 31 - 63
00011111(BIAS=63) = (-32)(10).

   
   
    Procedura przeliczania liczby dziesiętnej na dwójkowy zapis z nadmiarem
  1. Do wartości liczby dziesiętnej dodaj nadmiar bias. Otrzymasz w ten sposób wartość dziesiętną binarnego zapisu liczby w systemie dwójkowym z nadmiarem.
  2. Obliczoną wartość słowa kodowego przelicz na system dwójkowy.
  3. Wynikowe słowo binarne uzupełnij bitami o wartości 0 do długości formatu.
 
       

 

Przeliczyć liczbę dziesiętną 95(10) na zapis w 8-bitowym kodzie z nadmiarem 129(10).

Obliczamy wartość dziesiętną słowa kodowego:

95 + 129 = 224

Otrzymaną wartość słowa kodowego przeliczamy na system dwójkowy:

224(10) = 11100000(2)

Wyliczone w ten sposób słówko kodowe jest reprezentacją liczby 95 w kodzie dwójkowym z nadmiarem 129:

95(10) = 11100000(BIAS=129)

 

Przeliczyć liczbę dziesiętną (-24)(10) na zapis w 8-bitowym kodzie z nadmiarem 129(10).

Obliczamy wartość dziesiętną słowa kodowego:

(-24) + 129 = 105

Otrzymaną wartość słowa kodowego przeliczamy na system dwójkowy:

105(10) = 1101001(2)

Wyliczone w ten sposób słówko kodowe uzupełniamy jednym bitem zero do długości 8 bitów otrzymując zapis liczby (-24)(10) w kodzie dwójkowym z nadmiarem 129:

(-24)(10) = 01101001(BIAS=129)

Słowa kodowe tworzą ciąg rosnący w naturalnym systemie binarnym. Najmniejszym co do wartości słowem kodowym jest 0...0, a największym 1...1. Zakres będzie zatem zawierał się w przedziale liczb całkowitych od wartości dziesiętnej pierwszego słowa kodowego do wartości dziesiętnej ostatniego słowa kodowego.

Zgodnie z podanym na początku wzorem obliczania wartości liczby zapisanej w kodzie dwójkowym z nadmiarem pierwsze słowo kodowe ma wartość:

min(BIAS) = 0...0(BIAS) = 0 - bias

Ostatnie słowo kodowe ma wartość:

max(BIAS) = 1...1(BIAS) = 2n - 1 - bias

Zatem:

   
   
    Zakres n bitowej liczby dwójkowej w kodzie z nadmiarem bias

Z(BIAS) = (-bias, 2n - 1 - bias)

Zakres może być dowolnie przesuwany na osi liczbowej poprzez zmianę odchylenia. Dzięki temu zawsze można go dopasować do bieżących potrzeb obliczeniowych.

 
       

 

4 bitowe liczby w kodzie z nadmiarem bias = 8 = 23 posiadają zakres:

od  -bias  =  -8  = 0000(BIAS=8)
do  24 - 1 - bias  =  7  = 1111(BIAS=8)

8 bitowe liczby w kodzie z nadmiarem bias = 128 = 27 posiadają zakres:

od  -bias  =  -128  = 00000000(BIAS=128)
do  28 - 1 - bias  =  127  = 11111111(BIAS=128)

16 bitowe liczby w kodzie z nadmiarem bias = 32768 = 215 posiadają zakres:

od  -bias  =  -32768  = 0000000000000000(BIAS=32768)
do  216 - 1 - bias  =  32767  = 1111111111111111(BIAS=32768)


DLA
GENIUSZA

Dodawanie

Aby ustalić reguły dodawania liczb zapisanych w dwójkowym kodzie z nadmiarem dokonajmy prostych wyliczeń. Kod binarny liczby w zapisie z nadmiarem ma wartość:

c(BIAS) = liczba + bias

Suma dwóch kodów da nam:

c1 (BIAS) = liczba1 + bias
c2 (BIAS) = liczba2 + bias

c1 (BIAS) + c2 (BIAS) = (liczba1 + liczba2) + 2 x bias

Wynika stąd, iż prosta suma dwóch słów kodowych prowadzi do wyniku, który jest za duży o wartość nadmiaru. Aby zatem otrzymać słowo kodowe odpowiadające sumie liczb, należy od wyniku dodawania odjąć nadmiar:

c1+2 (BIAS) = (liczba1 + liczba2) + bias = c1 (BIAS) + c2 (BIAS) - bias

 

Wykonać operację 0011(BIAS=7) + 1010(BIAS=7).

  0011
+  1010
  1101
- 0111
  0110

0011(BIAS=7) + 1010(BIAS=7) = 0110(BIAS=7).

Sprawdźmy, czy otrzymaliśmy poprawny wynik. W tym celu policzymy wartość wszystkich słówek kodowych:

0011(BIAS=7) = 3 - 7 = -4
1010(BIAS=7) = 10 - 7 = 3
0110(BIAS=7) = 6 - 7 = -1

-4 + 3 = -1 - wynik prawidłowy

Odejmowanie

Przy wyprowadzeniu wzoru na odejmowanie postąpimy podobnie jak dla dodawania:

c(BIAS) = liczba + bias

Różnica dwóch kodów da nam:

c1 (BIAS) = liczba1 + bias
c2 (BIAS) = liczba2 + bias

c1 (BIAS) - c2 (BIAS) = (liczba1 - liczba2)

Wynika stąd, iż prosta różnica dwóch słów kodowych prowadzi do wyniku, który jest za mały o wartość nadmiaru. Aby zatem otrzymać słowo kodowe odpowiadające różnicy liczb, należy do wyniku odejmowania dodać nadmiar:

c1-2 (BIAS) = (liczba1 - liczba2) + bias = c1 (BIAS) - c2 (BIAS) + bias

 

Wykonać operację 1011(BIAS=7) - 1110(BIAS=7).

  1011
-  1110
  11101
+ 0111
  10100

1011(BIAS=7) + 1110(BIAS=7) = 0100(BIAS=7).

Sprawdźmy, czy otrzymaliśmy poprawny wynik. W tym celu policzymy wartość wszystkich słówek kodowych:

1011(BIAS=7) = 11 - 7 = 4
1110(BIAS=7) = 14 - 7 = 7
0100(BIAS=7) = 4 - 7 = -3

4 - 7 = -3 - wynik prawidłowy 

 

 

Dokument ten rozpowszechniany jest zgodnie z zasadami licencji
GNU Free Documentation License.

Podobne artykuły


8
komentarze: 79 | wyświetlenia: 1149
111
komentarze: 32 | wyświetlenia: 60716
54
komentarze: 56 | wyświetlenia: 32585
54
komentarze: 68 | wyświetlenia: 31288
50
komentarze: 27 | wyświetlenia: 63518
49
komentarze: 18 | wyświetlenia: 64971
39
komentarze: 50 | wyświetlenia: 23272
39
komentarze: 30 | wyświetlenia: 28839
37
komentarze: 9 | wyświetlenia: 28513
36
komentarze: 37 | wyświetlenia: 23494
34
komentarze: 21 | wyświetlenia: 26315
32
komentarze: 12 | wyświetlenia: 26673
 
Autor
Artykuł

Powiązane tematy






Brak wiadomości


Dodaj swoją opinię
W trosce o jakość komentarzy wymagamy od użytkowników, aby zalogowali się przed dodaniem komentarza. Jeżeli nie posiadasz jeszcze swojego konta, zarejestruj się. To tylko chwila, a uzyskasz dostęp do dodatkowych możliwości!
 

© 2005-2018 grupa EIOBA. Wrocław, Polska