Kod BCD

Istnieje wiele przykładów urządzeń, w których zastosowanie czystego kodu dwójkowego jest nieekonomiczne z uwagi na ciągłą konieczność przeliczania liczb pomiędzy systemami dziesiętnym i dwójkowym. Są to różnego rodzaju liczniki, kasy sklepowe, kalkulatory, wagi itp. Dla nich opracowano specjalny kod zwany systemem dziesiętnym kodowanym dwójkowo - BCD (ang. Binary Coded Decimal).

Idea kodu jest bardzo prosta - dwójkowo zapisujemy nie wartość liczby lecz jej cyfry dziesiętne. Każda cyfra dziesiętna może być przedstawiona w postaci wartości w naturalnym kodzie binarnym. Do tego celu potrzebne są 4 bity.  Kody poszczególnych cyfr przedstawiliśmy w tabelce obok.

Aby odczytać wartość liczby BCD wystarczy podzielić jej kod na grupy 4 bitowe. Każdą grupę zamieniamy zgodnie z tabelką na cyfrę dziesiętną i otrzymujemy zapis liczby w systemie dziesiętnym:

10000100_(BCD) = 1000 0100 = 84₍₁₀₎

010101110010_(BCD) = 0101 0111 0010 = 572₍₁₀₎

0011011110001001_(BCD) = 0011 0111 1000 1001 = 3789₍₁₀₎

W odwrotną stronę jest również prosto - każdą cyfrę dziesiętną zastępujemy 4 bitami z tabelki i otrzymujemy kod BCD:

72398015₍₁₀₎ = 0111 0010 0011 1001 1000 0000 0001 0101_(BCD)

Jeśli bity liczby BCD zostaną przekonwertowane na system szesnastkowy, to otrzymane cyfry szesnastkowe odpowiadają dokładnie cyfrom dziesiętnym wartości liczby BCD. Z tej własności często korzystają programiści zapisując kod BCD właśnie w systemie szesnastkowym.

Kod BCD nie jest kodem efektywnym, ponieważ nie wykorzystuje wszystkich możliwych kombinacji bitów w słówkach kodowych - sprawdź to w tabelce. Wynika z tego oczywisty wniosek, iż niektóre słowa kodowe nie są dozwolone, gdyż nie reprezentują cyfr dziesiętnych:

 

 

110111111010_(BCD) = 1101 1111 1010 = ???₍₁₀₎

8 bitowa liczba BCD zawiera dwie cyfry dziesiętne, zatem może przyjąć wartości z zakresu od 00 do 99, co daje 100 słów kodowych. Tymczasem 8 bitów można ze sobą połączyć na 256 (2⁸) sposobów. Zatem 156 słów kodowych nie będzie wykorzystanych przez kod BCD - to więcej niż połowa? A jak sprawa ta przedstawia się dla 16 bitów, 24 bitów i 32 bitów?

Cóż, czasami za wygodę w jednej dziedzinie, musimy coś poświęcić w innej dziedzinie. Ostatecznie nadmiarowe słówka kodowe można wykorzystać do kontroli poprawności kodu BCD - jeśli otrzymamy zabronioną kombinację bitów, to od razu wiemy, że coś poszło źle.

Podchodząc do zagadnienia w sposób formalny, możemy wyprowadzić wzór, który na podstawie stanu bitów liczby BCD pozwoli nam obliczyć jej wartość dziesiętną. W tym celu rozważmy wagi pozycji 12-bitowej liczby BCD:

Cyfra dziesiętna	d2				d1				d0
Waga pozycji	800 10223	400 10222	200 10221	100 10220	80 10123	40 10122	20 10121	10 10120	8 10023	4 10022	2 10021	1 10020
Cyfra dwójkowa	b11	b10	b9	b8	b7	b6	b5	b4	b3	b2	b1	b0

Waga i-tej pozycji w kodzie BCD ma wartość 10^[i/4] x 2^{i mod 4}. Wobec tego wzór na wartość n-bitowej liczby BCD jest następujący:

b_n-1...b₁b₀ = b_n-1 x 10^[(n-1)/4] x 2^{(n-1) mod 4} + ... + b₁ x 10⁰ x 2¹ + b₀ x 10⁰ x 2⁰

Wzór do najprostszych nie należy i osobiście wątpię, czy ktokolwiek chciałby go używać. Szybciej znajdziemy wartość liczby grupując bity i zamieniając je na cyfry dziesiętne.

Najmniejszą wartość liczba BCD osiągnie dla wszystkich bitów równych 0. Czyli:

min_(BCD) = 0

W celu wyznaczenia górnej granicy obliczamy liczbę d pełnych cyfr dziesiętnych zakodowanych w czwórkach bitów liczby BCD. Liczbę tę znajdziemy jako część całkowitą z dzielenia n przez 4:

d = [n : 4]

Każda pozycja dziesiętna może przyjąć maksymalnie wartość 9. I tak:

dla d = 1   max_(BCD) = 9 = 10¹ - 1
dla d = 2   max_(BCD) = 99 = 10² - 1
dla d = 3   max_(BCD) = 999 = 10³ - 1
...

Widzimy, że górny kres jest równy:

max_(BCD) = 10^d - 1 = 10^{[n : 4]} - 1

Może się okazać, iż liczba BCD zawiera więcej bitów niż wielokrotność 4. W takim przypadku najstarsze bity (których może być 0,1,2 lub 3) tworzą maksymalnie cyfrę o wartości:

max_{(BCD) Reszta} = (2^{n mod 4} - 1) x 10^{[n : 4]}

Po zsumowaniu otrzymujemy ostatecznie:

max_{(BCD) Całość} = max_(BCD) + max_{(BCD) Reszta}
max_{(BCD) Całość} = 10^{[n : 4]} - 1 + (2^{n mod 4} - 1) x 10^{[n : 4]}
max_{(BCD) Całość} = 10^{[n : 4]} + (2^{n mod 4} - 1) x 10^{[n : 4]} - 1
max_{(BCD) Całość} = 10^{[n : 4]} x (1 + 2^{n mod 4} - 1) - 1
max_{(BCD) Całość} = 10^{[n : 4]} x 2^{n mod 4} - 1

		Zakres n-bitowych liczb w kodzie BCD wynosi Z(BCD) = 0 ... 10[n : 4] x 2n mod 4 - 1

 

Obliczyć zakres 10-bitowych liczb zapisanych w kodzie BCD.

Z_(BCD) = 10^{[10 : 4]} x 2^{10 mod 4} - 1
Z_(BCD) = 10^[2,5] x 2² - 1
Z_(BCD) = 10² x 2² -
Z_(BCD) = 100 x 4 - 1
Z_(BCD) = 400 - 1
Z_(BCD) = 399

Ponieważ liczby w kodzie BCD nie są naturalnymi liczbami dwójkowymi, zatem nie można nad nimi wykonywać normalnych działań arytmetycznych. Sprawdźmy:

15 + 35 0001 0101 +   0011 0101		24 -15 0010 0100 - 0001 0101
0100 1010 Wynik zły!		0000 1111 Wynik zły!

Po wykonaniu standardowej operacji nad liczbami w kodzie BCD należy sprawdzić i w razie potrzeby skorygować wynik. Dla dodawania i odejmowania korekcja będzie potrzebna wtedy, gdy dana grupa bitów reprezentujących cyfrę dziesiętną ma wartość większą od 9 (binarnie 1001). W takiej sytuacji do grupy tej należy dodać (dla odejmowania odjąć) wartość binarną 0110 (dziesiętnie 6). Sprawdźmy ponownie (kolorem czerwonym zaznaczyliśmy korekcję wyniku):

15 + 35 0001 0101 +   0011 0101		24 -15 0010 0100 - 0001 0101
0100 1010 + 0000 0110		0000 1111 - 0000 0110
0101 0000 Wynik = 50		0000 1001 Wynik = 9

Korekcja musi również wystąpić, gdy w trakcie dodawania wystąpiło przeniesienie (przy odejmowaniu pożyczka) do sąsiedniej grupy bitów. Np:

29 + 19 0010 1001 +   0001 1001		31 -18 0011 0001 - 0001 1000
0100 0010 + 0000 0110		0001 1001 - 0000 0110
0100 1000 Wynik = 48		0001 0011 Wynik = 13

		W systemie BCD korekcja przy dodawaniu polega na dodaniu (lub odjęciu przy odejmowaniu) do grupy bitów reprezentujących cyfrę dziesiętną liczby 0110 (6). Korekcję wykonujemy, gdy po operacji arytmetycznej: grupa bitów nie przedstawia cyfry dziesiętnej nastąpiło przeniesienie (pożyczka) do następnej grupy bitów

Dokument ten rozpowszechniany jest zgodnie z zasadami licencji
GNU Free Documentation License.

Źródło: mgr Jerzy Wałaszek