Czy OTW dopuszcza powstanie czarnej dziury w czasie skończonym?

Grzegorz Rossa.

Czy OTW^[1] dopuszcza powstanie czarnej dziury w czasie skończonym?

Wprowadzenie

Pytanie postawione w tytule na pierwszy rzut oka może wydać się absurdalne. Jak można wątpić w istnienie czarnych dziur w OTW¹, przecież czarna dziura wynika z OTW¹?

Pozornie rzeczywiście tak może wyglądać. W następnym roku po opublikowaniu OTW¹ Schwarzschild jako przykład jednego z rozwiązań równań Einsteina podał osobliwość pola grawitacyjnego. Einstein nie lubił osobliwości. Twierdził, że nie mają interpretacji fizycznej^[2]. I trudno mu się dziwić. W ciągu całej swojej aktywności naukowej, kiedy tylko natrafiał na osobliwość, starał się ją usunąć. Usunięcie osobliwości traktował jako cel nadrzędny, któremu podporządkowywał nawet zachowywanie poprawności przekształceń matematycznych (m. in. „[…] powinniśmy aproksymować liniowy element jakimś innym wyrażeniem nie mającym osobliwości przy . Odpowiednio do tego wprowadzamy małą stałą […]” [3]). Nie inaczej postąpił z czarną dziurą Schwarzschilda. Usiłował tak zmodyfikować OTW¹, żeby nie mogła dawać jako swojego rozwiązania osobliwości, czyli czarnej dziury. Te usiłowania Einsteina spełzły na niczym. Nie zdołał przekształcić OTW¹ tak, żeby jednym z jej rozwiązań nie była czarna dziura. Tak więc spekulacje Mitchella^[3] i Laplace’a^[4] znalazły solidne teoretyczne podstawy. Jak więc wobec tego, co napisano powyżej, oraz innych nie wzmiankowanych tutaj teoretycznych i obserwacyjnych badań czarnych dziur, można było sformułować tytułowe pytanie?

Zauważmy jednakowoż, że tytułowe pytanie nie dotyczy dopuszczonej przez teorię możliwości istnienia, tylko powstania. Czym innym jest bowiem stan niesprzeczny z teorią, a czym innym proces, nawet jeżeli hipotetycznie ma prowadzić do tego stanu właśnie. I czym innym jest wynik procesu logiczny, a czym innym­ — fizyczny.

Powstanie czarnej dziury

Przeprowadźmy doświadczenie myślowe (gedankeneksperiment). Rozważmy dwa ciała materialne mające masę większą od zera każde, takie, że każda z tych mas jest mniejsza od wartości granicznej potrzebnej do utworzenia czarnej dziury, natomiast ich suma tę granicę przekracza. Liczba ciał może być dowolnie duża, a wybrano tylko dwa dla ułatwienia rozważań. Ciała te oddziałują grawitacyjnie na siebie nawzajem i pod jego wpływem zbliżają się do siebie. Czy utworzą czarną dziurę w czasie skończonym?

Na to pytanie nie ma jednoznacznej odpowiedzi. Odpowiedź zależy od układu odniesienia obserwatora udzielającego odpowiedź. Dla naszych rozważań interesujące są dwie klasy układów odniesienia. Pierwszy układ jest związany z rozważanymi ciałami. Drugi układ znajduje się w odległości od tych ciał tak dużej, że pole grawitacyjne pochodzące od tych ciał możemy uznać za „małe”.

Obserwator związany z pierwszym układem (z ciałami) nie zaobserwuje dylatacji czasu, gdyż żaden obserwator nie obserwuje dylatacji czasu w układzie, z którym jest związany, każdy obserwator postrzega, że czas w jego układzie biegnie jednostajnie. Dla tego obserwatora czarna dziura utworzy się w czasie skończonym.

Co innego obserwator związany z drugim układem (z dala od ciał). W miarę jak ciała zbliżają się do siebie nawzajem, zwiększają tym samym pole grawitacyjne przez nie wytwarzane. Zachodzi zjawisko przewidziane przez OTW¹ dylatacji czasu. Obserwator postrzega, że czas w układzie związanym z rozpatrywanymi ciałami biegnie coraz wolniej. Jeżeli z układu związanego z rozpatrywanymi ciałami wysyłane są do obserwatora sygnały fal elektromagnetycznych w równych odstępach czasu i o tej samej częstotliwości, to do obserwatora docierają w coraz większych odstępach czasu i o coraz mniejszej częstotliwości. Obserwator postrzega, że rozpatrywane ciała zbliżają się do siebie nawzajem z coraz mniejszą szybkością wyznaczoną w czasie układu obserwatora. Obserwator ekstrapolując może stwierdzić, że rozpatrywane ciała utworzą czarną dziurę po czasie nieskończenie długim.

Dylatacja czasu nie jest jedynym zjawiskiem istotnym dla określenia czasu i możliwości powstania czarnej dziury. Ciała podejrzane o potencjalną możliwość przekształcenia się w czarną dziurę przekazują sobie nawzajem oddziaływanie grawitacyjne w czasie skończonym. Równania Einsteina dla silnych pół, a przy tworzeniu się czarnej dziury występują takie, nie mają rozwiązań analitycznych, a i z rozwiązaniami numerycznymi są trudności. Można powiedzieć tylko tyle, że dla obserwatora zewnętrznego zjawiska te wpływają raczej też opóźniająco, niż przyspieszająco na tworzenie się czarnej dziury.

Z naszego punktu widzenia interesująca jest obserwacja drugiego obserwatora, ponieważ jego układ odniesienia jest naszym układem odniesienia i to my właśnie jesteśmy tym drugim obserwatorem. Nie mamy możliwości zaobserwowania utworzenia się czarnej dziury w czasie skończonym.

Wnioski

1.   W OTW¹ czarna dziura może istnieć jako teoretyczne rozwiązanie podane przez Schwarzschilda równań Einsteina z osobliwością

2.   We Wszechświecie^[5] mogą istnieć te czarne dziury, które istniały w chwili, a właściwie lepiej napisać, w momencie rozpoczęcia obowiązywania OTW¹

3.   Obserwator w czasie skończonym nie zaobserwuje przemiany w czarną dziurę materii nie będącej czarną dziurą, jeżeli nie jest w układzie związanym z tą materią.

O niektórych właściwościach czarnej dziury wynikających z OTW

Przeprowadźmy doświadczenie myślowe. Mamy czarną dziurę. W pewnej odległości od czarnej dziury umieszczamy nad nią obserwatora. Obserwator jest nieruchomy względem czarnej dziury. Technicznie może to być rozwiązane przez umieszczenie obserwatora na sztywnym pierścieniu okalającym czarną dziurę. Obserwator nie może wykryć pola grawitacyjnego czarnej dziury. W pewnej chwili od obserwatora odłączają się dwa ciała masywne. Jedno z ciał zostaje upuszczone i opada swobodnie na czarną dziurę. Drugie z ciał oddala się od obserwatora w przestrzeń kosmiczną wzdłuż półprostej wychodzącej z czarnej dziury i przechodzącej przez obserwatora ze zwrotem od czarnej dziury. Ciało to przyspiesza z przyspieszeniem rosnącym równym co do wartości bezwzględnej przyspieszeniu ciała spadającego na czarną dziurę. Obserwator może wymieniać z tymi ciałami sygnały, np. na ciałach umieszczone są zwierciadła, obserwator wysyła do ciał impulsy świetlne, rejestruje powrót do niego światła odbitego, wyznacza czas przejścia światła i dopplerowskie przesunięcie ku czerwieni. Tylko na podstawie informacji uzyskanych z wymiany sygnałów obserwator nie umie odróżnić ciał­ — które z nich wpadło do czarnej dziury, a które oddala się w nieskończoność. W OTW¹ czarna dziura jest przenicowaną nieskończonością.

Zapamiętajmy rozważania z tego rozdziału, gdyż przydadzą się nam one w rozdziale „Szczypta fantazji” (s. 5, niżej).

Szczypta fantazji

Przypomnijmy sobie nasze rozważania z rozdziału „O niektórych właściwościach czarnej dziury wynikających z OTW” (s. 4, wyżej). Była w nich mowa m. in. o ciele, które, aby wprowadzić obserwatora w błąd tak, żeby nie mógł go odróżnić od ciała wpadającego do czarnej dziury, jest rozpędzane ze stale rosnącym przyspieszeniem.

W pierwszym odruchu nabieramy przekonania, że jest to czyste doświadczenie myślowe. Obecne i przyszłe, dające przewidzieć się wyobraźnią, możliwości techniczne nie pozwolą na zrealizowanie tego doświadczenia w rzeczywistości.

Zanim jednak zrezygnujemy, zastanówmy się, czy już zostaliśmy wyręczeni.

Przyjrzyjmy się Wszechświatowi⁵. Zauważmy, że znajdujące się we Wszechświecie⁵ obiekty związane grawitacyjnie, galaktyki i grupy galaktyk, zgodnie z odkryciem Edwina Hubble’a^[6] (Vesto Sliphera^[7]) oddalają się od nas po torach ruchu będących półprostymi wychodzącymi z nas, ze stale zwiększającą się szybkością względem nas, czyli zachowują się jak drugie ciało z poprzedniego rozdziału (s. 4, wyżej).

Z tego punktu widzenia nasz Wszechświat⁵ jest jak przenicowana czarna dziura­ — zewnętrze jest wewnątrz, a wnętrze na zewnątrz. Wnętrze, tak samo, jak w czarnej dziurze nie przenicowanej, znajduje się poza horyzontem i nie jest obserwowalne. Horyzont zdarzeń czarnej dziury jest horyzontem zdarzeń Wszechświata⁵. Ucieczka galaktyk jest odpowiednikiem swobodnego spadku na czarną dziurę.

Dwie szczypty fantazji

Jednym z podstawowych założeń, z którego została wyprowadzona STW^[8] jest zasada równoważności układów inercjalnych. Zagadnieniem bardzo do niej podobnym jest dynamika bryły sztywnej. Jeżeli obracająca się bryła sztywna nie traci energii kinetycznej obrotu, może kontynuować swój ruch obrotowy nieskończenie długo. Wykazujemy skłonność do przeprowadzania analogii pomiędzy obracającą się bryłą sztywną i układem inercjalnym. Jesteśmy skłonni zapominać, że obracająca się bryła sztywna jest układem przyspieszanym. Że to zagadnienie jest nietrywialne, najlepiej świadczy fakt rywalizacji pomiędzy układem geocentrycznym, ptolemejskim i heliocentrycznym, kopernikańskim.

Podział na układy inercjalne i nieinercjalne występuje tylko w dynamice, a nie w kinematyce, z tym że kinematyka jest rodzajem ćwiczenia, mającym fizykowi dać biegłość, a nie dokładnym opisem rzeczywistości. Niektóre rzeczywiste układy fizyczne mają takie właściwości, że z dobrym przybliżeniem możemy wobec nich stosować opis kinematyczny. Daje to pokusę rozciągnięcia opisu kinematycznego na więcej przypadków.

Jeżeli z zasady równoważności układów inercjalnych wynika, że jeżeli jakiś układ inercjalny porusza się względem wszystkich innych układów inercjalnych, to równie dobrze ten układ inercjalny może spoczywać, a wszystkie inne układy inercjalne poruszają się względem niego, to czy tak samo jest wszystko jedno, gdy bryła sztywna się obraca, a cały Wszechświat spoczywa, czy gdy bryła sztywna spoczywa, a cały Wszechświat obraca się wokół tej bryły sztywnej?

Rozwiązanie tego zagadnienia podał Ernest Mach[5] proponując przeprowadzenie doświadczenia z kubłem z wodą.

Popadnijmy jednak w przesadny formalizm i spróbujmy rozwiązać to zagadnienie „porządnie”. Rozpatrzmy wszystkie przypadki. W szczególności zadajmy sobie pytanie, czy umiemy rozpoznać przypadek, w którym kubeł z wodą spoczywa, a cały Wszechświat obraca się wokół niego, czyli, czy wiemy, jak wygląda obracający się Wszechświat.

Gdyby kubeł z wodą spoczywał, a cały Wszechświat obracał się wokół niego, obiekty związane grawitacyjnie zachowywałyby się, jak groch na obracającej się płycie gramofonowej, oddalałyby się od kubła wzdłuż półprostych wychodzących z kubła z prędkością o wartości zwiększającej się wraz ze zwiększaniem się odległości od kubła daną poniższym równaniem

gdzie: ­ — prędkość (liniowa) obiektu związanego grawitacyjnie względem kubła, ­ — prędkość obrotowa Wszechświata wokół kubła (), ­ — promień wodzący obiektu związanego grawitacyjnie poprowadzony od kubła.

Warszawa, 12 kwietnia 2006r.

Grzegorz Rossa.

Literatura

[1]    A. Einstein, Feldgleichtungen der Gravitation, Sitzungsberichte der Preussische Akademie der Wiessenschaften, 1915, 2. Teil, s. 844‑847

[2]    A. Einstein, Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie, Annalen der Phy­sic, 49, 1916, s. 769‑822

[3]    A. Einstein with N. Rosen, The Particle Problem in The General Theory of Relativity, Phys. Rev., 1935, 48, 73‑77

[4]    A. Einstein, „Zur Elektrodynamik bewegter Körper”, Annalen der Physik, 1905, 17, 891‑921

[5]    Ernst Mach, Die Mechanik in ihrer Entwicklung historisch‑kritisch dargestellt (1883)