Login lub e-mail Hasło   

Całkowanie numeryczne - wstęp

Odnośnik do oryginalnej publikacji: http://www.i-lo.tarnow.pl/edu/inf/alg/ca(...)ex.html
Całka jest jednym z najważniejszych pojęć współczesnej analizy matematycznej. Zastosowania ma tak liczne, iż trudno je wymienić. Stosuje się ją w matematyce, fizyce, te...
Wyświetlenia: 7.086 Zamieszczono 03/11/2006

Całka jest jednym z najważniejszych pojęć współczesnej analizy matematycznej. Zastosowania ma tak liczne, iż trudno je wymienić. Stosuje się ją w matematyce, fizyce, technice i wielu innych dziedzinach nauki. W matematyce badaniem własności i obliczaniem wartości całek zajmuje się dział zwany rachunkiem całkowym. Za twórców tego rachunku uważa się dwóch wielkich matematyków Newtona oraz Leibniza, którzy opracowali teorię i metody związane z pojęciem całki i wprowadzili terminologię i oznaczenia zbliżone do stosowanych współcześnie, ukazujące związek rachunku całkowego z rachunkiem różniczkowym.

Nie wgłębiając się zbytnio w teorię matematyczną można powiedzieć, iż całką funkcji f(x) będzie każda funkcja F(x), której pochodna jest równa f(x), czyli

F '(x) = f(x)

Funkcję F(x) nazywamy funkcją pierwotną danej funkcji f(x). Funkcja pierwotna może być znaleziona z dokładnością do stałej, ponieważ stała znika w trakcie wyznaczania pochodnej. Funkcje pierwotne danej funkcji f(x) tworzą klasę funkcji różniących się stałymi:

F(x) + C

 

Znajdźmy funkcję pierwotną od f(x) = 2x. Korzystamy ze znanego wzoru na pochodną funkcji:

F '(x) = 2x
ponieważ (axn)' = anxn-1
zatem F '(x) = (x2 + C)' = 2x
stąd F(x) = x2 + C

Funkcję pierwotną F(x) nazywamy całką nieoznaczoną funkcji f(x) i przedstawiamy symbolem wprowadzonym w 1689 roku przez matematyka niemieckiego G. W. Leibniza:

 f(x)dx = F(x) + C

Zagadnienie obliczania całek nieoznaczonych sprowadza się do znajdowania postaci funkcji pierwotnej. Jest to dosyć skomplikowane i nie stanowi celu naszego opracowania. W całkowaniu numerycznym głównie zajmujemy się całkami oznaczonymi.

Całka oznaczona funkcji f(x) w przedziale <xp,xk> jest liczbą przedstawianą symbolem:
xk

xp
 f(x)dx

i obliczaną na różne sposoby. Przedział <xp,xk> nazywa się przedziałem całkowania. Krańce tego przedziału nazywa się granicami całkowania. xp jest dolną granicą całkowania, a xk górną granicą.

Jeśli znamy przepis na funkcję pierwotną F(x) funkcji podcałkowej f(x), to wartość całki oznaczonej funkcji f(x) w przedziale <xp,xk> możemy obliczyć w prosty sposób wg definicji Newtona-Leibniza:
xk

xp
 f(x)dx = F(xk) - F(xp)

Z punktu widzenia obliczeń komputerowych sposób ten nie jest najlepszy, ponieważ wymaga wyznaczenia funkcji pierwotnej F(x), co jest zadaniem numerycznie bardzo skomplikowanym - dopiero w ostatnich latach rozwiązano problem numerycznego wyznaczania wzoru całki dowolnej, całkowalnej funkcji w postaci analitycznej. Z metody tej korzystają zaawansowane pakiety matematyczne w stylu MathCAD.

Dużo większe zastosowanie w obliczeniach numerycznych ma definicja Riemanna, w której całka oznaczona jest interpretowana jako suma pól obszarów ograniczonych wykresem funkcji f(x) oraz osią OX. Obszary leżące pod osią mają w tej interpretacji pola ujemne.

Przedział całkowania <xp,xk> dzielimy na rozłączne podprzedziały wyznaczając n+1 punktów podziałowych:

xp = xo < x1 < ... < xn-1 < xn = xk

Punkty podziałowe muszą być tak dobrane, aby przy wzroście n do nieskończoności maksymalna odległość między sąsiednimi punktami malała do zera, czyli:

dla  i = 1, 2, ..., n

Pomiędzy parami sąsiednich punktów xi-1 i xi wybieramy dowolne punkty ti spełniające nierówność:

dla  i = 1, 2, ..., n
xi-1 < ti < xi

Całka oznaczona Riemanna jest wtedy granicą sum n prostokątów o podstawie równej (xi - xi-1) i wysokości f(ti), czyli

Jeśli f(ti) jest mniejsze od zera, to pole tego prostokąta zostanie zsumowane ze znakiem minus. Gdy odległości pomiędzy punktami podziałowymi zbliżają się do zera, suma pól prostokątów dąży do pola obszaru ograniczonego wykresem funkcji.

Różnicę pomiędzy wartością pola pod wykresem funkcji a polem otrzymanym jako suma skończonej ilości prostokątów nazywamy błędem całkowania. Wraz ze wzrostem liczby prostokątów w całce Riemanna błąd całkowania dąży do zera.

 

Dokument ten rozpowszechniany jest zgodnie z zasadami licencji
GNU Free Documentation License.

Podobne artykuły


16
komentarze: 5 | wyświetlenia: 9006
9
komentarze: 0 | wyświetlenia: 2784
49
komentarze: 18 | wyświetlenia: 64976
37
komentarze: 9 | wyświetlenia: 28519
11
komentarze: 2 | wyświetlenia: 33152
7
komentarze: 1 | wyświetlenia: 34648
17
komentarze: 4 | wyświetlenia: 14181
15
komentarze: 5 | wyświetlenia: 32761
13
komentarze: 2 | wyświetlenia: 22961
12
komentarze: 2 | wyświetlenia: 18506
12
komentarze: 3 | wyświetlenia: 29779
11
komentarze: 1 | wyświetlenia: 86405
11
komentarze: 1 | wyświetlenia: 10475
10
komentarze: 1 | wyświetlenia: 34971
 
Autor
Artykuł




Brak wiadomości


Dodaj swoją opinię
W trosce o jakość komentarzy wymagamy od użytkowników, aby zalogowali się przed dodaniem komentarza. Jeżeli nie posiadasz jeszcze swojego konta, zarejestruj się. To tylko chwila, a uzyskasz dostęp do dodatkowych możliwości!
 

© 2005-2018 grupa EIOBA. Wrocław, Polska