Login lub e-mail Hasło   

Całkowanie numeryczne - metoda Simpsona

Odnośnik do oryginalnej publikacji: http://www.i-lo.tarnow.pl/edu/inf/alg/ca(...)ex.html
TRUDNE ! Metoda Simpsona jest najdokładniejszą z dotąd poznanych przez nas metod przybliżonego całkowania. W metodzie prostokątów całka oznaczona przybliżan...
Wyświetlenia: 24.563 Zamieszczono 03/11/2006


TRUDNE !

Metoda Simpsona jest najdokładniejszą z dotąd poznanych przez nas metod przybliżonego całkowania. W metodzie prostokątów całka oznaczona przybliżana była funkcjami stałymi - liczyliśmy sumę pól prostokątów. W metodzie trapezów całkę przybliżaliśmy za pomocą funkcji liniowych - obliczaliśmy sumy pól trapezów. W metodzie Simpsona stosujemy jako przybliżenie parabolę - będziemy obliczali sumy wycinków obszarów pod parabolą. Zasada jest następująca:

Przedział całkowania <xp,xk> dzielimy na n + 1 równo odległych punktów xo, x1, x2 ,..., xn:

dla i = 0,1,2,...,n

xi = xp +  i (xk - xp)
n

Dla każdych dwóch sąsiednich punktów wyznaczamy punkt środkowy ti wg wzoru:

dla i = 1,2,...,n

ti =  xi-1 + xi
2

Obliczamy odległość między dwoma sąsiednimi punktami.

dx =  xk - xp
n

Dla każdego wyznaczonego w ten sposób punktu obliczamy wartość funkcji f(x) w tym punkcie:

punkty podziałowe punkty środkowe
dla i = 0,1,2,...,n
fi = f(xi)
dla i = 1,2,...,n
fti = f(ti)

W każdym podprzedziale <xi-1,xi> przybliżamy funkcję za pomocą paraboli g(x) o następującej postaci:

dla i = 1,2,...,n
gi(x) = aix2 + bix + ci,  x <xi-1, xi>

Parabola gi(x) musi przechodzić przez punkty: (xi-1,fi-1), (ti,fti), (xi,fi). Współczynniki ai, bi i ci wyznaczymy zatem z układu trzech równań:

dla i = 1,2,...,n

   
   
   

W metodzie Simpsona chodzi o wyznaczenia pola pod parabolą w danym podprzedziale, a nie jej współczynników. Możemy zatem pójść inną drogą. Załóżmy, iż powyższe współczynniki są znane (ostatecznie możemy je przecież wyliczyć).

 
       

 Pole pod parabolą w przedziale <xi-1,xi> będzie równe całce oznaczonej:

dla i = 1,2,...,n

Funkcja pierwotna jest bardzo prosta w tym przypadku i ma wzór następujący:

dla i = 1,2,...,n

Wartość całki obliczymy zgodnie z definicją Newtona-Leibniza:

dla i = 1,2,...,n

Teraz postaramy się uprościć maksymalnie otrzymane wyrażenie. W tym celu wyciągamy przed nawias wspólny czynnik i całość dzielimy przez 6:

dla i = 1,2,...,n

Zwróćcie uwagę, iż wyrażenia w nawiasach są odpowiednio wartościami funkcji fi-1, fi oraz fti. Natomiast różnica

xi - xi-1

jest odległością dx pomiędzy dwoma sąsiednimi punktami podziałowymi. Zatem po uproszczeniu otrzymujemy ostateczny wzór:

dla i = 1,2,...,n

Wzór ten pozwala wyliczyć pole obszaru pod parabolą aproksymującą funkcję f(x) w przedziale <xi-1,xi>. Wartość całej całki otrzymamy sumując te pola, czyli:

Jest to wzór wyliczania przybliżonej wartości całki oznaczonej za pomocą metody Simpsona. Ponieważ w obliczanych sumach wartości funkcji się powtarzają dwukrotnie (z wyjątkiem pierwszej i ostatniej), do obliczeń komputerowych stosujemy efektywniejszy wzór otrzymywania powyższej sumy:

Dane wejściowe

xp - początek przedziału całkowania,  xp R
xk - koniec przedziału całkowania,  xk R
n - liczba punktów podziałowych,  n N
f(x) - funkcja rzeczywista, której całkę liczymy

Dane wyjściowe

Wartość całki oznaczonej funkcji f(x) w przedziale <xp,xk>. Wynik jest liczbą rzeczywistą.

Zmienne pomocnicze

s - suma wartości funkcji w punktach podziałowych,  s R
st - suma wartości funkcji w punktach środkowych,  st R
dx - odległość między dwoma sąsiednimi punktami podziałowymi,  dx R
x - pozycja punktu podziałowego,  x R
i - licznik punktów podziałowych,  i N

krok 1: Czytaj xp  xk
krok 2: s 0;  st 0
krok 3:
dx   xk - xp
n
krok 4: Dla i = 1,2,...,n,  wykonuj kroki 5...7
krok 5:     x xp + i dx
krok 6:
    st st + f(x - dx  ) 
2
krok 7:    Jeśli i < n, to s s + f(x)
krok 8:
s   dx   (f(xp) + f(xk) + 2 s + 4 st )
6
krok 9: Pisz s i zakończ algorytm

Odczytujemy krańce przedziału całkowania <xp,xk>. Do obliczenia całki metodą Simpsona musimy zliczyć dwie sumy - wartości funkcji w punktach podziałowych xi oraz wartości funkcji w punktach środkowych przedziałów ti. Pierwszą sumę będziemy obliczać w zmiennej s, drugą w st. Obie na początku przyjmują wartość 0. Wyznaczamy dalej odległość pomiędzy dwoma sąsiednimi punktami podziałowymi dx i rozpoczynamy pętlę, w której zmienna i pełni rolę numeru punktu podziałowego i środkowego. Pętla ta wykonuje się n-razy od i=1 do i=n włącznie, czyli jest to zwykła pętla iteracyjna typu FOR.

W pętli wyznaczamy wartość punktu podziałowego xi i umieszczamy ją w zmiennej x. Następnie obliczamy wartość funkcji w punkcie środkowym ti, który jest odległy o połowę dx od wyznaczonego wcześniej punktu xi. Wartość tę dodajemy do sumy st.

Drugą sumę tworzymy w zmiennej s. Jednakże powinna ona zawierać jedynie wartości funkcji dla punktów podziałowych od x1 do xn-1. Dlatego przed sumowaniem sprawdzamy, czy indeks i jest w odpowiednim zakresie.

Po zakończeniu pętli wyznaczamy wartość całki w zmiennej s zgodnie z podanym wzorem, wyprowadzamy ten wynik dla użytkownika i kończymy wykonywanie algorytmu.


   
   
   

Poniższe, przykładowe programy są praktyczną realizacją omawianego w tym rozdziale algorytmu. Zapewne można je napisać bardziej efektywnie. To już twoje zadanie. Dokładny opis stosowanych środowisk programowania znajdziesz we wstępie. Programy przed opublikowaniem w serwisie edukacyjnym zostały dokładnie przetestowane. Jeśli jednak znajdziesz jakąś usterkę (co zawsze może się zdarzyć), to prześlij o niej informację do autora. Pozwoli to ulepszyć nasze artykuły. Będziemy Ci za to wdzięczni.

 
       

W celu zobrazowania dokładności metody Simpsona zmniejszyliśmy w naszych przykładach liczbę punktów podziałowych do n=10. Wynik obliczenia całki jest niezmieniony w stosunku do metod prostokątów i trapezów. Zachęcamy do eksperymentów z liczbą N.

Wydruk z uruchomionego programu
Obliczanie  całki oznaczonej
za pomocą metody Simpsona
----------------------------
(C)2006 mgr J.Wałaszek I LO

f(x) = x * x + 2 * x

Podaj początek przedziału całkowania

xp = 0

Podaj koniec przedziału całkowania

xk = 1

Wartość całki wynosi : 1,333

KONIEC. Naciśnij dowolny klawisz...
Microsoft Visual Basic 2005 Express Edition

 

Borland
Delphi 7.0
Personal
Edition
//*************************************************
//** Obliczanie całki oznaczonej metodą Simpsona **
//** ------------------------------------------- **
//** (C)2004 mgr Jerzy Wałaszek I LO w Tarnowie **
//*************************************************

program int_simpson;

{$APPTYPE CONSOLE}

//*******************************
//** Tutaj definiujemy funkcję **
//*******************************

function f(x : real) : real;
begin
f := x * x + 2 * x;
end;

//********************
//** Program główny **
//********************

const N = 10; //liczba punktów podziałowych

var
xp,xk,s,st,dx,x : real;
i : integer;

begin
writeln('Obliczanie calki oznaczonej');
writeln(' za pomoca metody Simpsona');
writeln('---------------------------');
writeln('(C)2004 mgr J.Walaszek I LO');
writeln;
writeln('f(x) = x * x + 2 * x');
writeln;
writeln('Podaj poczatek przedzialu calkowania');
writeln;
write('xp = '); readln(xp);
writeln;
writeln('Podaj koniec przedzialu calkowania');
writeln;
write('xk = '); readln(xk);
writeln;
s := 0; st := 0;
dx := (xk - xp) / N;
for i := 1 to N do
begin

x := xp + i * dx;
st := st + f(x - dx / 2);
if i < N then s := s + f(x);
end;
s := dx / 6 * (f(xp) + f(xk) + 2 * s + 4 * st);
writeln('Wartosc calki wynosi : ',s:8:3);
writeln;
writeln('Nacisnij klawisz Enter...');
readln;
end.
Borland
C++ Builder
6.0
Personal
Edition
//*************************************************
//** Obliczanie całki oznaczonej metodą Simpsona **
//** ------------------------------------------- **
//** (C)2004 mgr Jerzy Wałaszek I LO w Tarnowie **
//*************************************************

#include <iomanip>
#include <iostream>

using namespace std;

//*******************************
//** Tutaj definiujemy funkcję **
//*******************************

double f(double x)
{
return(x * x + 2 * x);
}

//********************
//** Program główny **
//********************

main()
{
const int N = 10; //liczba punktów podziałowych
double xp,xk,s,st,dx,x;
int i;
char c[1];

cout.precision(3); // 3 cyfry po przecinku
cout.setf(ios::fixed); // format stałoprzecinkowy

cout << "Obliczanie calki oznaczonej\n"
" za pomoca metody Simpsona\n"
"---------------------------\n"
"(C)2004 mgr J.Walaszek I LO\n\n"
"f(x) = x * x + 2 * x\n\n"
"Podaj poczatek przedzialu calkowania\n\n"
"xp = "
;
cin >> xp;
cout << "\nPodaj koniec przedzialu calkowania\n\n"
"xk = "
;
cin >> xk;
cout << endl;
s = 0; st = 0;
dx = (xk - xp) / N;
for(i = 1; i <= N; i++)
{
x = xp + i * dx;
st += f(x - dx / 2);
if(i < N) s += f(x);
}
s = dx / 6 * (f(xp) + f(xk) + 2 * s + 4 * st);
cout << "Wartosc calki wynosi : " << setw(8) << s
<< "\n\nNacisnij klawisz Enter";
cin.getline(c, 1);
cin.getline(c, 1);
}
Microsoft
Visual
Basic 2005
Express
Edition
'*************************************************
'** Obliczanie całki oznaczonej metodą Simpsona **
'** ------------------------------------------- **
'** (C)2006 mgr Jerzy Wałaszek I LO w Tarnowie **
'*************************************************

Module Module1

'*******************************
'** Tutaj definiujemy funkcję **
'*******************************

Public Function f(ByVal x As Double) As Double
Return x * x + 2 * x
End Function

'********************
'** Program główny **
'********************

Sub Main()

Const N = 10 'liczba punktów podziałowych

Dim xp, xk, s, st, dx, x As Double
Dim
i As Integer

Console.WriteLine("Obliczanie całki oznaczonej")
Console.WriteLine(" za pomocą metody Simpsona")
Console.WriteLine("----------------------------")
Console.WriteLine("(C)2006 mgr J.Wałaszek I LO")
Console.WriteLine()
Console.WriteLine("f(x) = x * x + 2 * x")
Console.WriteLine()
Console.WriteLine("Podaj początek przedziału całkowania")
Console.WriteLine()
Console.Write("xp = ") : xp = Val(Console.ReadLine())
Console.WriteLine()
Console.WriteLine("Podaj koniec przedziału całkowania")
Console.WriteLine()
Console.Write("xk = ") : xk = Val(Console.ReadLine())
Console.WriteLine()
s = 0 : st = 0
dx = (xk - xp) / N
For i = 1 To N
x = xp + i * dx
st += f(x - dx / 2)
If i < N Then s += f(x)
Next
s = dx / 6 * (f(xp) + f(xk) + 2 * s + 4 * st)
Console.WriteLine("Wartość całki wynosi : {0,8:F3}", s)

' Gotowe

Console.WriteLine()
Console.WriteLine("KONIEC. Naciśnij dowolny klawisz...")
Console.ReadLine()

End Sub

End Module
Python
# -*- coding: cp1250 -*-
#*************************************************
#** Obliczanie całki oznaczonej metodą Simpsona **
#** ------------------------------------------- **
#** (C)2005 mgr Jerzy Wałaszek I LO w Tarnowie **
#*************************************************

#*******************************
#** Tutaj definiujemy funkcję **
#*******************************

def f(x):
return x * x + 2 * x;

#********************
#** Program główny **
#********************

N = 10 #liczba punktów podziałowych

print "Obliczanie calki oznaczonej"
print " za pomoca metody Simpsona"
print "---------------------------"
print "(C)2005 mgr J.Walaszek I LO"
print
print
"f(x) = x * x + 2 * x"
print
print
"Podaj poczatek przedzialu calkowania"
print
xp = float(raw_input("xp = "))
print
print
"Podaj koniec przedzialu calkowania"
print
xk = float(raw_input("xk = "))
print
s = st = 0.
dx = (xk - xp) / N
for i in range(1, N + 1):
x = xp + i * dx
st += f(x - dx / 2)
if i < N:
s += f(x)
s = dx / 6 * (f(xp) + f(xk) + 2 * s + 4 * st)
print "Wartosc calki wynosi : %8.3f" % s
print
raw_input
("Koniec - nacisnij klawisz Enter...")
JavaScript
<html>
<head>
<title>
Całkowanie numeryczne metodą Simpsona</title>
</head>
<body>
<script language=
"JavaScript">

//*************************************************
//** Obliczanie całki oznaczonej metodą Simpsona **
//** ------------------------------------------- **
//** (C)2004 mgr Jerzy Wałaszek I LO w Tarnowie **
//*************************************************

//*******************************
//** Tutaj definiujemy funkcję **
//*******************************

function f(x)
{
return(x * x + 2 * x);
}

function js_simpson()
{
var N = 10; //liczba punktów podziałowych
var xp,xk,s,st,dx,x,i,t;

xp = parseFloat(document.frm_simpson.xp_inp.value);
xk = parseFloat(document.frm_simpson.xk_inp.value);
if(isNaN(xp) || isNaN(xk))
t = "<font color=red><b>Popraw dane wejściowe!</b></font>";
else
{
s = 0; st = 0;
dx = (xk - xp) / N;
for(i = 1; i <= N; i++)
{
x = xp + i * dx;
st += f(x - dx / 2);
if(i < N) s += f(x);
};
s = dx / 6 * (f(xp) + f(xk) + 2 * s + 4 * st);
t = Math.floor(s * 1000) / 1000;
};
document.getElementById("t_out").innerHTML = t;
}

</script>

<form method=
"POST"
name="frm_simpson"
style="border: 2px solid #FF9900;
padding-left: 4px;
padding-right: 4px;
padding-top: 1px;
padding-bottom: 1px;
background-color: #FFFFCC"
>
<h2 style=
"text-align: center">
Obliczanie całki oznaczonej<br>
za pomocą metody Simpsona
</h2>
<hr>
<h4 style=
"text-align: center">
(C)2004 mgr Jerzy Wałaszek I LO w Tarnowie
</h4>
<h3 style=
"text-align: center">
Całkowana funkcja:
</h3>
<h4 style=
"text-align: center">
<i>
f(x) = x<sup>2</sup> + 2x</i>
</h4>
<p style=
"text-align: center">
Tutaj określ przedział całkowania
</p>

<p style="text-align: center">
Początek <i>x<sub>p</sub></i> =
<input type="text" name="xp_inp" size="20" value="0">
i koniec <i>x<sub>k</sub> </i>=
<input type="text" name="xk_inp" size="20" value="1">
</p>
<p style=
"text-align: center">
<input onclick=
"js_simpson();" type="button"
value="Oblicz całkę" name="B1">
</p>
<h4 style=
"text-align: center">
Wartość całki wynosi
</h4>
<p id=
"t_out" style="text-align: center">...</p>
</form>
</body>
</html>
 

Dokument ten rozpowszechniany jest zgodnie z zasadami licencji
GNU Free Documentation License.

Podobne artykuły


8
komentarze: 79 | wyświetlenia: 1149
111
komentarze: 32 | wyświetlenia: 60716
54
komentarze: 56 | wyświetlenia: 32585
54
komentarze: 68 | wyświetlenia: 31288
50
komentarze: 27 | wyświetlenia: 63517
49
komentarze: 18 | wyświetlenia: 64971
39
komentarze: 50 | wyświetlenia: 23271
39
komentarze: 30 | wyświetlenia: 28837
37
komentarze: 9 | wyświetlenia: 28513
36
komentarze: 37 | wyświetlenia: 23494
34
komentarze: 21 | wyświetlenia: 26315
32
komentarze: 12 | wyświetlenia: 26673
 
Autor
Artykuł




Brak wiadomości


Dodaj swoją opinię
W trosce o jakość komentarzy wymagamy od użytkowników, aby zalogowali się przed dodaniem komentarza. Jeżeli nie posiadasz jeszcze swojego konta, zarejestruj się. To tylko chwila, a uzyskasz dostęp do dodatkowych możliwości!
 

© 2005-2018 grupa EIOBA. Wrocław, Polska