Login lub e-mail Hasło   

Całkowanie numeryczne - podsumowanie

Odnośnik do oryginalnej publikacji: http://www.i-lo.tarnow.pl/edu/inf/alg/ca(...)ex.html
W opracowaniu opisaliśmy cztery podstawowe metody obliczania całek oznaczonych. Podsumujmy je krótko. Całka przybliżana jest sumą pól prostokątów:...
Wyświetlenia: 10.332 Zamieszczono 03/11/2006

W opracowaniu opisaliśmy cztery podstawowe metody obliczania całek oznaczonych. Podsumujmy je krótko.

Całka przybliżana jest sumą pól prostokątów:

Metoda ta obarczona jest dosyć dużym błędem, ponieważ prostokąty niezbyt dobrze przybliżają pole pod wykresem funkcji. Błąd maleje wraz ze wzrostem n. Zaletą jest prosty wzór wyliczania całki.

Całka przybliżana jest sumą pól trapezów:

Trapezy dużo lepiej przybliżają pole pod wykresem funkcji. Dlatego metoda ta jest dokładniejsza od metody prostokątów. W praktyce oznacza to mniejszą wartość n, czyli mniej obliczeń w celu uzyskania porównywalnej dokładności wyniku.

Całka przybliżana jest sumą pól ograniczonych parabolami:

Parabole przybliżają wykres funkcji z małym błędem. Stąd metoda paraboliczna jest najdokładniejszą metodą wyznaczania wartości całek oznaczonych z tutaj opisanych. W praktyce n może być małe (np. w granicach 100...1000). Dokładność okupiona jest nieco skomplikowanym wzorem obliczeniowym.

Całka przybliżana jest średnią wartością funkcji w przedziale pomnożoną przez szerokość przedziału. Średnia wyznaczana jest w sposób pseudolosowy jako suma n wartości funkcji w przypadkowo wybranych punktach przedziału całkowania.

Jest to najmniej dokładna z opisanych metod. Jej jakość porównywalna jest z metodą prostokątów. Zaletą natomiast będzie prosty wzór obliczeniowy.


Z podsumowania tego wynika, iż preferowanymi metodami całkowania numerycznego powinny być metoda trapezów oraz metoda paraboliczna. Pierwsza ma stosunkowo prosty wzór wyliczeniowy. W metodzie parabolicznej wzór jest bardziej skomplikowany. lecz ze względu na jej dokładność wykonamy mniej obliczeń, zatem szybciej uzyskamy wynik i mniejsze będą błędy zaokrągleń.

Opracowanie nie wyczerpuje metod numerycznego całkowania. Celem było jedynie podanie najprostszych przykładów realizacji. Zainteresowanych odsyłamy do bogatej literatury oraz zasobów sieci Internet.

  • Praca zbiorowa: Encyklopedia szkolna - Matematyka, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1989.
  • M. Dryja, J. Jankowska: Przegląd metod i algorytmów numerycznych. WT, Warszawa 1988
  • Z.Fortuna, B.Macukow, J.Wąsowski - Metody numeryczne, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 1982
 
 
Dokument ten rozpowszechniany jest zgodnie z zasadami licencji
GNU Free Documentation License.

Podobne artykuły


16
komentarze: 5 | wyświetlenia: 9006
9
komentarze: 0 | wyświetlenia: 2784
49
komentarze: 18 | wyświetlenia: 64978
37
komentarze: 9 | wyświetlenia: 28520
11
komentarze: 2 | wyświetlenia: 33152
7
komentarze: 1 | wyświetlenia: 34649
17
komentarze: 4 | wyświetlenia: 14183
15
komentarze: 5 | wyświetlenia: 32761
13
komentarze: 2 | wyświetlenia: 22961
12
komentarze: 2 | wyświetlenia: 18506
12
komentarze: 3 | wyświetlenia: 29779
11
komentarze: 1 | wyświetlenia: 86405
11
komentarze: 1 | wyświetlenia: 10475
10
komentarze: 1 | wyświetlenia: 34971
 
Autor
Artykuł



  nse,  05/02/2011

Fajnie by było , gdyby te metody były jeszcze uwidocznione na wykresach :)

"Z podsumowania tego wynika, iż preferowanymi metodami całkowania numerycznego powinny być metoda trapezów oraz metoda paraboliczna."

Czyli łącząc te metody uzyskujemy największą z możliwych dokładności ?



Dodaj swoją opinię
W trosce o jakość komentarzy wymagamy od użytkowników, aby zalogowali się przed dodaniem komentarza. Jeżeli nie posiadasz jeszcze swojego konta, zarejestruj się. To tylko chwila, a uzyskasz dostęp do dodatkowych możliwości!
 

© 2005-2018 grupa EIOBA. Wrocław, Polska