JustPaste.it

Całkowanie numeryczne - podsumowanie

W opracowaniu opisaliśmy cztery podstawowe metody obliczania całek oznaczonych. Podsumujmy je krótko.

8cf56fb265c78e041bb5ac66dc9e9880.gif

Całka przybliżana jest sumą pól prostokątów:

9f6ba218bf4d0cab0638a4ce07ce74d5.gif

Metoda ta obarczona jest dosyć dużym błędem, ponieważ prostokąty niezbyt dobrze przybliżają pole pod wykresem funkcji. Błąd maleje wraz ze wzrostem n. Zaletą jest prosty wzór wyliczania całki.

5d9fbcef6e010168f42bc7052e4545af.gif

Całka przybliżana jest sumą pól trapezów:

fc62641f849f3d92fce56cda739b2308.gif

Trapezy dużo lepiej przybliżają pole pod wykresem funkcji. Dlatego metoda ta jest dokładniejsza od metody prostokątów. W praktyce oznacza to mniejszą wartość n, czyli mniej obliczeń w celu uzyskania porównywalnej dokładności wyniku.

7a61d7ae016c628eb1337ada2675fe81.gif

Całka przybliżana jest sumą pól ograniczonych parabolami:

4f2dfe811d43062ded09953cc2eea48f.gif

Parabole przybliżają wykres funkcji z małym błędem. Stąd metoda paraboliczna jest najdokładniejszą metodą wyznaczania wartości całek oznaczonych z tutaj opisanych. W praktyce n może być małe (np. w granicach 100...1000). Dokładność okupiona jest nieco skomplikowanym wzorem obliczeniowym.

6e324618a8d7c5ae1cf5445f10c2cabd.gif

Całka przybliżana jest średnią wartością funkcji w przedziale pomnożoną przez szerokość przedziału. Średnia wyznaczana jest w sposób pseudolosowy jako suma n wartości funkcji w przypadkowo wybranych punktach przedziału całkowania.

0458ab09b3547d4baf7a8f0c3d13e6f9.gif

Jest to najmniej dokładna z opisanych metod. Jej jakość porównywalna jest z metodą prostokątów. Zaletą natomiast będzie prosty wzór obliczeniowy.


Z podsumowania tego wynika, iż preferowanymi metodami całkowania numerycznego powinny być metoda trapezów oraz metoda paraboliczna. Pierwsza ma stosunkowo prosty wzór wyliczeniowy. W metodzie parabolicznej wzór jest bardziej skomplikowany. lecz ze względu na jej dokładność wykonamy mniej obliczeń, zatem szybciej uzyskamy wynik i mniejsze będą błędy zaokrągleń.

Opracowanie nie wyczerpuje metod numerycznego całkowania. Celem było jedynie podanie najprostszych przykładów realizacji. Zainteresowanych odsyłamy do bogatej literatury oraz zasobów sieci Internet.

8be249775f29210519840e72e71b223e.gif

  • Praca zbiorowa: Encyklopedia szkolna - Matematyka, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1989.
  • M. Dryja, J. Jankowska: Przegląd metod i algorytmów numerycznych. WT, Warszawa 1988
  • Z.Fortuna, B.Macukow, J.Wąsowski - Metody numeryczne, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 1982
 
 
Dokument ten rozpowszechniany jest zgodnie z zasadami licencji
GNU Free Documentation License.

 

Źródło: mgr Jerzy Wałaszek