Login lub e-mail Hasło   

Krzywe algebraiczne - wstęp

Odnośnik do oryginalnej publikacji: http://www.i-lo.tarnow.pl/edu/fiz/sym/ka(...)ex.html
Chociaż w analizie matematycznej nie określa się funkcji graficznie, ale do graficznej ilustracji funkcji odwołujemy się zawsze. Graficzne przedstawienie przebiegu jej zmienn...
Wyświetlenia: 1.829 Zamieszczono 03/11/2006

Chociaż w analizie matematycznej nie określa się funkcji graficznie, ale do graficznej ilustracji funkcji odwołujemy się zawsze. Graficzne przedstawienie przebiegu jej zmienności, przejrzystość i poglądowość wykresu czynią z niego niezastąpiony środek pomocniczy do badania funkcji. Sposób tworzenia wykresu zależy od sposobu przedstawiania funkcji [1].

W praktyce szkoły średniej jest rozpowszechniony zapis funkcji w postaci: y = f(x) Takie przedstawienie funkcji nosi nazwę analitycznego. Pozostaje do wyjaśnienia:

  • jakie operacje czy działania analityczne mogą wchodzić w skład tych wzorów,
  • w jakich obszarach funkcja jest określona wyrażeniem analitycznym lub wzorem (dziedzina funkcji)?

Wydawałoby się, że w metodach numerycznych są to kwestie mniej istotne. Nic bardziej mylnego. Musimy np. unikać instrukcji, gdzie występuje dzielenie przez zero (OVERFLOW). Krzywe algebraiczne przecinają się czasami same z sobą (punkty osobliwe); bardzo często w tych punktach istnieją np. dwie styczne – wybór jednej z nich będzie związany ze sposobem zmiany argumentu funkcji. itp.

Wykresy budujemy w ten sposób, że dla dostatecznie gęsto wybranych wartości x (krok argumentu) obliczamy wartości funkcji f(x) notując je w tabelce zmienności, albo od razu nanosząc w układzie współrzędnych pary (x,f(x)) [2]. Wymaga to nakładu pracy i czasu w zależności od wybranego kroku zmian argumentu funkcji i formalnej komplikacji zapisu funkcji. Tymczasem metody numeryczne pozwalają dobrać dowolnie małe zmiany argumentu funkcji Δx, tak, aby wykres funkcji na ekranie (wydruk) sprawiał wrażenie ciągłego. 


REM
RYSOWANIE WYKRESÓW FUNKCJI
REM ZADANEJ W POSTACI ANALITYCZNEJ


DEF FN y(x)


10 FOR x = a TO b STEP określ krok
PSET (x, FN y(x)), kolor
NEXT x
KOMENTARZ LISTINGU:

Interesujący nas przedział argumentu funkcji <a,b>, to dolna i górna granica pętli, a zmienna sterująca pętli - to po prostu argument funkcji f(x). Użytkownik sam deklaruje tryb graficzny pracy ekranu, współrzędne logiczne (środek ekranu), instrukcje rysowania osi układu współrzędnych np.:

SCREEN 9
WINDOW (-320, 175)-(319, -174)
LINE (-300, 0)-(300, 0), 1
LINE (0, -175)-(0, 175), 1

Podobnie ze skalowaniem ekranu, samodzielnie dobieramy mnożniki – instrukcja PSET lub dolną i górną granice pętli. Oczywiście sposób redagowania listingu zależy od umiejętności i wiedzy użytkownika.

Do tworzenia poniższych wykresów przyjęliśmy Δx=0,0001 (STEP).

Rys. 1.1

y = log|x|

Rys. 1.2

y = sin3x + cos3x


Rys. 1.3

y = e-x sin x


Rys. 1.4
  x2

y = e

2

Krzywe tej klasy stosujemy w wieku działach fizyki i techniki do opisu układów drgających tłumionych.

Krzywa Gaussa odgrywa ważna rolę w rachunku  prawdopodobieństwa i statystyce matematycznej.

Zależności pomiędzy zmienną niezależną x oraz zmienną zależną y wyrażamy za pomocą pomocniczej zmiennej t zwanej parametrem: x = φ(t), y = ψ(t).

Przykład: niech krzywa będzie określona równaniami parametrycznymi:

x(t) = 5 sin t  , t Є <0,2π>. Po podniesieniu stronami do kwadratu i dodaniu;
y(y) = 5 cos t

x2 + y2 = 25(sin2t + cos2t) = 52 - równanie okręgu o środku w początku układu współrzędnych i promieniu r = 5..

Czasami jest to jedyne możliwe przedstawienie funkcji. Rozpatrzmy jedną z krzywych pochodzenia mechanicznego; niech po prostej toczy się bez poślizgu okrąg o promieniu r. Jaką krzywą zakreśla dowolny punk toczącego się okręgu? Krzywa ta zwana cykloidą posiada równania parametryczne:

x(t) = r(t - sin t) , y(t) = r(1 - cos t).

Nie istnieje przekształcenie, które pozwoliłoby wyrugować parametr t czyli doprowadzić do postaci analitycznej y = f(x). Jeżeli natomiast z danych równań parametrycznych x = φ(t), y = ψ(t) uda się wyrugować parametr t, to otrzymamy równanie zwyczajne (analityczne) lub uwikłane danej krzywej, bezpośrednio wiążące współrzędne x i y.

10 DEF FN x(t)
DEF FN y(t)

FOR t = a TO b krok
PSET (FNx (t), FNy (t)), kolor
NEXT t
Rys. 1.5

ELIPSA

x = a sin t, y = b cos t, t Є <0,2π>.

Rys. 1.6

LEMNISKATA BERNOULLIEGO

x =  t + t2  , y =  t - t3  , t Є (-∞,∞)
1 + t4 1 + t4

Rys. 1.7

TRIFOLIUM

x(t) = a cos t(4sin2t - 1)cos(t)  , t Є <0,2π> 
y(t) = a cos t(4sin2t - 1)sin(t)

Rys. 1.8

HIPERBOLA RÓWNOOSIOWA

x(t) = a cosh t = a et - e-t  , t Є (-∞,∞)
2
y(t) = a sinh t = a et + e-t
2

 

 

 

W wielu dziedzinach matematyki wygodne jest przedstawianie funkcji w postaci ogólnej f(x,y) = 0 (np. w geometrii analitycznej), gdzie f(x,y) jest funkcją dwóch zmiennych określoną w pewnym obszarze. Taka postać funkcji nosi nazwę uwikłanej. Czasami jest to jedyne możliwe przedstawienie funkcji, np. słynne równanie Keplera: y ­ x + a sin x = 0 jest nierozwiązywalne analitycznie, tzn. nie można znaleźć rozwiązania poprzez funkcje elementarne.

Poniżej zajmować będziemy się funkcjami postaci f(x,y) = Wn(x,y) = 0, gdzie Wn(x,y) jest wielomianem stopnia całkowitego n względem x i względem y. W takim przypadku funkcja f(x,y) = 0 nosi nazwę funkcji algebraicznej. Inaczej funkcja algebraiczna  to funkcja, która może być wyrażona przez potęgi zmiennych x i y wraz z działaniami dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia. Termin ten wprowadził Gottfried Leibniz.

Reprezentacją graficzną takiej funkcji są krzywe (linie) algebraiczne płaskie.

W najprostszym przypadku, gdy n = 1 mamy jednoparametrową rodzinę krzywych:

Ax + By + C = 0

Jest to po prostu inny zapis funkcji liniowej: y = mx + n. Z narysowaniem tych prostych uczeń szkoły średniej nie będzie miał najmniejszych problemów (Rys. 1.9). Ale sytuacja komplikuje się już przy równaniach algebraicznych stopnia 2-go:

Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0, gdy przynajmniej jedna z liczb A, B, C jest różna od zera.

Oczywiście, gdy B = 0 i C = 0, to mamy do czynienia z klasycznym trójmianem kwadratowym i tutaj uczeń również dysponuje wystarczającym aparatem matematycznym i pojęciowym. Ale w innych przypadkach?, np. Ax2 + By2 + C = 0, lub gdy pojawi się iloczyn niewiadomych xy, nie wspominając o najbardziej ogólnym przypadku (forma kwadratowa).

REM RYSOWANIE WYKRESÓW FUNKCJI ZADANEJ
REM W POSTACI UWIKŁANEJ

DEF FNf (x, y, C)

FOR C = a TO b krok
FOR x = a TO b krok
FOR y = a TO b krok
IF ABS(FNf(x,y,C))<.001 THEN
PSET (x,y),kolor
ENDIF
NEXT y
NEXT x
NEXT C


Granice dolne i górne zmiennych sterujących wszystkich trzech pętli oznaczono tymi samymi symbolami, aby nie mnożyć oznaczeń.



Instrukcja warunkowa, która w przybliżeniu realizuje warunek f(x,y,C) = 0.

Wyjdźmy od najprostszych przykładów:

Rys. 1.9

JEDNOPARAMETROWA RODZINA PROSTYCH

x + y + C = 0

Rys. 1.10

JEDNOPARAMETROWA RODZINA OKRĘGÓW

x2 + y2 + C = 0

Oczywiście, do narysowania tej rodziny prostych użycie powyższego programu jest zbędne. Po prostu wykorzystujemy ten rysunek do testowania poprawności działania naszego programu.

Jest to rozwiązanie równania różniczkowego jednorodnego względem zmiennych x i y:

(x2 - y2) dy  - 2xy = 0
dx

Pytanie do czytelnika: jak będą wyglądać rodziny okręgów: x2 + y2 = Cx, x2 + y2 = Cx + Cy ?

Rys. 1.11

KRZYWA STOPNIA 4-go

(x2 + y2)2 - Cxy = 0; gdy C = 0 krzywa degeneruje się do punktu – początek układu współrzędnych (0.0).

Rys. 1.12

OWALE CASSINIEGO

0,25(x2 + y2)2 - 2(x2 - y2) + C = 0, gdy C = 0 uzyskujemy lemniskatę Bernoulliego (p. Rys. 1.6)

* Jest to rodzina krzywych ortogonalnych do rodziny lemniskat

(x2 + y2)2 = a2(x2 - y2), a ≠ 0.

* Jest to rozwiązanie równania różniczkowego zupełnego

y[(x2 + y2) + 4] dy  + x(x2 + y2) = 0
dx

* oznacza, że tekst jest przeznaczony dla czytelnika znającego wyższy kurs analizy matematycznej. Wszystkie wspomniane tutaj równania różniczkowe zostały zaczerpnięte z [3].

 

Dokument ten rozpowszechniany jest zgodnie z zasadami licencji
GNU Free Documentation License.

Podobne artykuły


16
komentarze: 5 | wyświetlenia: 9006
9
komentarze: 0 | wyświetlenia: 2784
49
komentarze: 18 | wyświetlenia: 64976
37
komentarze: 9 | wyświetlenia: 28520
17
komentarze: 4 | wyświetlenia: 14181
15
komentarze: 5 | wyświetlenia: 32761
13
komentarze: 2 | wyświetlenia: 22961
12
komentarze: 3 | wyświetlenia: 29779
12
komentarze: 2 | wyświetlenia: 18506
11
komentarze: 2 | wyświetlenia: 33152
11
komentarze: 1 | wyświetlenia: 86405
11
komentarze: 1 | wyświetlenia: 10475
10
komentarze: 1 | wyświetlenia: 34971
10
komentarze: 5 | wyświetlenia: 20414
 
Autor
Artykuł

Powiązane tematy






Brak wiadomości


Dodaj swoją opinię
W trosce o jakość komentarzy wymagamy od użytkowników, aby zalogowali się przed dodaniem komentarza. Jeżeli nie posiadasz jeszcze swojego konta, zarejestruj się. To tylko chwila, a uzyskasz dostęp do dodatkowych możliwości!
 

© 2005-2018 grupa EIOBA. Wrocław, Polska