JustPaste.it

Krzywe algebraiczne - ewoluta

Na ewolutę możemy popatrzeć w dwojaki sposób:

  1. Krzywa płaska, miejsce geometryczne środków krzywizn danej krzywej.
  2. Ewolwenta jest obwiednią normalnych do danej krzywej [2].

Wystarczy tylko dopisać (p. STYCZNA):

    ...
160 k = -1/k
...

Stosując instrukcję podstawiania nie musimy wprowadzać nowej zmiennej, aby wyznaczyć współczynnik kierunkowy normalnej.

 

Rys. 5.1
135b910455aea2373ace1e007318a2a9.jpg

Ewolutą okręgu jest jego środek.

 

Rys. 5.2
7d0b8a6130ca825d3b99f69bd3d730eb.jpg

Ewolutą hiperboli jest parabola Neile’a.

Rys. 5.3
6b844dfc45cd536de7c5a496d1427cf3.jpg

Ewolutą paraboli jest parabola semikubiczna [1].

Rys. 5.4
04e864221fca41a9ea6127e57f7acbec.jpg

Ewoluta elipsy przypomina astroidę i może być z niej otrzymana przez rozciągniecie wzdłuż osi y (powinowactwo prostokątne, p. także: krzywa Lamé w [2]).

 

Rys. 5.5
2643d66b67192d7c960f46e6892c49ee.jpg

Deltoid (z rodziny hipocykloid, stosunek R/r = 3); ewoluta jest również hipocykloidą, ale o trzykrotnie większych rozmiarach i o osiach obróconych o kąt 45° względem starych osi (osi krzywej wyjściowej) [1].

 

Rys. 5.6
fb38a62aa556c11ef0762ac01232c22c.jpg

Podobnie asteroida (R/r = 4), rozmiary dwukrotnie mniejsze – p. też uwaga obok.

Rys. 5.7
49622c48275d2390b35b5d85ef160765.jpg

Kardioida (z rodziny epicykloid, stosunek promieni R/r = 1, ale także listek Pascala, p. [1]). Ewolutą jest kardioidą o trzykrotnie mniejszych rozmiarach.

 

Analizując ewoluty krzywych z rodziny cykloid bez żadnych rachunków można dostrzec następującą prawidłowość: rozmiary ewolut dowolnej hipocykloidy lub epicykloidy są pewnymi krotnościami krzywych wyjściowych.

 

Pytanie do użytkownika: Czy to nie ma coś wspólnego z jednokładnością?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dokument ten rozpowszechniany jest zgodnie z zasadami licencji GNU Free Documentation License.

 

Źródło: mgr Tadeusz Sypek