W roku 1977 trzej profesorowie z MIT w USA opublikowali nowy rodzaj szyfrowania danych, który nazwano od pierwszych liter ich nazwisk systemem RSA.
R.L.Rivest | Adi Shamir | L. Adleman |
Twórcy algorytmu RSA |
---|
W roku 1977 trzej profesorowie z MIT w USA, Ronald L. Rivest, Adi Shamir i Leonard Adleman, opublikowali nowy rodzaj szyfrowania danych, który nazwano od pierwszych liter ich nazwisk systemem RSA. Jest to niesymetryczny algorytm szyfrujący, którego zasadniczą cechą są dwa klucze: publiczny do kodowania informacji oraz prywatny do jej odczytywania. Klucz publiczny (można go udostępniać wszystkim zainteresowanym) umożliwia jedynie zaszyfrowanie danych i w żaden sposób nie ułatwia ich odczytania, nie musi więc być chroniony. Dzięki temu firmy dokonujące transakcji poprzez sieć Internet mogą zapewnić swoim klientom poufność i bezpieczeństwo. Drugi klucz (prywatny, przechowywany pod nadzorem) służy do odczytywania informacji zakodowanych przy pomocy pierwszego klucza. Klucz ten nie jest udostępniany publicznie. System RSA umożliwia bezpieczne przesyłanie danych w środowisku, w którym może dochodzić do różnych nadużyć. Bezpieczeństwo oparte jest na trudności rozkładu dużych liczb na czynniki pierwsze.
Załóżmy, iż dysponujemy superszybkim komputerem, który jest w stanie sprawdzić podzielność miliarda dużych liczb w ciągu jednej sekundy. Aby złamać szyfr RSA należy rozbić klucz publiczny na dwie liczby pierwsze będące jego dzielnikami. Znajomość tych liczb pozwala rozszyfrować każdą informację zakodowaną kluczem prywatnym i publicznym.
Brzmi dosyć prosto. Jednakże nie ma prostej metody rozbijania dużych liczb na czynniki pierwsze. Nie istnieje żaden wzór, do którego podstawiamy daną liczbę i w wyniku otrzymujemy wartości jej czynników pierwszych. Należy je znaleźć testując podzielność kolejnych liczb.
Z rozważań o liczbach pierwszych wynika, iż w przypadku dwóch różnych dzielników pierwszych jeden musi leżeć poniżej wartości pierwiastka z danej liczby, a drugi powyżej (dlaczego?). Zatem, aby go znaleźć musimy wyliczyć pierwiastek z rozkładanej liczby, a następnie testować podzielność przez liczby nieparzyste leżące poniżej tego pierwiastka.
Statystycznie poszukiwany czynnik pierwszy powinien znajdować się w górnej połówce zakresu od 2 do pierwiastka z n. Ile działań musimy wykonać? Policzmy.
Klucz 128 bitowy. Pierwiastek jest liczbą 64 bitową. W zakresie od 2 do 264 co druga liczba jest nieparzysta, zatem jest ich około 264 / 2 = 263. Ponieważ interesuje nas tylko górna połówka, to ilość liczb do sprawdzenia jest dwa razy mniejsza, czyli wynosi 263 / 2 = 262. Ile czasu zajmie naszemu superkomputerowi sprawdzenie podzielności przez około 262 liczb, jeśli w ciągu 1 sekundy wykonuje on miliard sprawdzeń? Odpowiedź brzmi:
zajmie to około 262 / 109 = 4611686018 sekund =
= 76861433 minut = 1281023 godzin = 53375 dni = 146 lat
Czy sądzisz, że ktoś będzie czekał przez prawie dwa życia na złamanie szyfru? Zatem można podać do publicznej wiadomości liczbę będącą iloczynem dwóch dużych liczb pierwszych i mieć prawie pewność, iż nikt jej nie rozbije na czynniki pierwsze w rozsądnym czasie. Ostatecznie zamiast 128 bitów możemy zwiększyć klucz do np. 1024 bitów, a wtedy czas łamania szyfru liczy się miliardami miliardów... miliardów lat.
Algorytm RSA składa się z trzech podstawowych kroków:
Fazy algorytmu RSA I Generacja klucza publicznego i tajnego. Klucz publiczny jest przekazywany wszystkim zainteresowanym i umożliwia zaszyfrowanie danych. Klucz tajny umożliwia rozszyfrowanie danych zakodowanych kluczem publicznym. Jest trzymany w ścisłej tajemnicy.
II Użytkownik po otrzymaniu klucza publicznego, np. poprzez sieć Internet, koduje za jego pomocą swoje dane i przesyła je w postaci szyfru RSA do adresata dysponującego kluczem tajnym, np. do banku, firmy komercyjnej, tajnych służb. Klucz publiczny nie musi być chroniony, ponieważ nie umożliwia on rozszyfrowania informacji - proces szyfrowania nie jest odwracalny przy pomocy tego klucza. Zatem nie ma potrzeby jego ochrony i może on być powierzany wszystkim zainteresowanym bez ryzyka złamania kodu.
III Adresat po otrzymaniu zaszyfrowanej wiadomości odczytuje ją za pomocą klucza tajnego.
Generacja klucza publicznego i tajnego dla algorytmu RSA I Znajdź dwie duże liczby pierwsze (mające np. po 1024 bity). Oznacz je jako p i q. Istnieją specjalne algorytmy generujące duże liczby pierwsze.
II Oblicz:
Ø = (p - 1) (q - 1)
oraz
n = p qWygenerowane liczby pierwsze usuń, aby nie wpadły w niepowołane ręce. Ø to tzw. funkcja Eulera, n jest modułem.
III Wykorzystując odpowiednio algorytm Euklidesa znajdź liczbę e, która jest względnie pierwsza z wyliczoną wartością funkcji Eulera Ø (tzn. NWD(e, Ø) = 1) Liczba ta powinna również spełniać nierówność 1 < e < n . Nie musi ona być pierwsza lecz nieparzysta. IV Oblicz liczbę odwrotną modulo Ø do liczby e, czyli spełniającą równanie d e mod Ø = 1. Można to zrobić przy pomocy rozszerzonego algorytmu Euklidesa, który umieściliśmy w naszym opracowaniu.
V Klucz publiczny jest parą liczb (e, n), gdzie e nazywa się publicznym wykładnikiem. Możesz go przekazywać wszystkim zainteresowanym.
VI Klucz tajny to (d, n), gdzie d nazywa się prywatnym wykładnikiem. Klucz ten należy przechowywać pod ścisłym nadzorem.
p = 13
q = 11Wybieramy dwie dowolne liczby pierwsze. W naszym przykładzie nie będą one duże, aby nie utrudniać obliczeń. W rzeczywistości liczby te powinny być ogromne.
Ø = 120 Obliczamy Ø = (p - 1) (q - 1) , czyli tzw. funkcję Eulera:
Ø = (13 - 1) (11 - 1) = 12 10 = 120n = 143 Obliczamy moduł n:
n = p q = 13 11 = 143e = 7 Wyznaczamy wykładnik publiczny e. Ma on być względnie pierwszy z Ø czyli z liczbą 120. Warunek ten spełnia, np. liczba 7. d = 103 Wyznaczamy następnie wykładnik prywatny, który ma być odwrotnością modulo Ø liczby e, czyli
d 7 mod 120 = 1.
Liczbą spełniającą ten warunek jest 103(7,143) Klucz publiczny (e, n) (103,143) Klucz tajny (d, n)
Szyfrowanie RSA I Otrzymujesz od adresata klucz publiczny w postaci pary liczb (e, n). II Wiadomość do zaszyfrowania zamieniasz na liczby naturalne t, które muszą spełniać nierówność
0 < t < n
Można tutaj skorzystać np. z łączenia kodów znaków. Oczywiście adresat musi znać użyty przez ciebie sposób przekształcenia tekstu w liczbę, aby mógł on później odtworzyć otrzymaną wiadomość. Zwykle nie ma z tym problemu, ponieważ nadawca i odbiorca stosują wspólne oprogramowanie, które troszczy się za ciebie o takie szczegóły techniczne.III Na tak otrzymanych liczbach wykonujesz operację szyfrowania i otrzymujesz liczby
c = t e mod n.IV Liczby c są zaszyfrowaną postacią liczb t i przekazuje się je adresatowi wiadomości. Klucz (e, n) umożliwił ich zaszyfrowanie, lecz nie pozwala ich rozszyfrować.
e = 7
n = 143Otrzymaliśmy klucz publiczny (e, n). Przy jego pomocy możemy zakodować liczby od 0 do 142. Zauważ, iż liczby 0 oraz 1 nie zostaną zakodowane (dlaczego?). c = 7 Załóżmy, iż chcemy przesłać adresatowi zaszyfrowaną liczbę t = 123. W tym celu musimy obliczyć wartość wyrażenia:
c = 1237 mod 143 = 425927596977747 mod 143 = 7
Wynik jest zaszyfrowaną liczbą 123. Przesyłamy go do adresata.
Rozszyfrowywanie RSA I Jesteś adresatem zaszyfrowanych wiadomości. Wcześniej wszystkim korespondentom przesłałeś wygenerowany klucz publiczny (e,n), za pomocą którego mogą oni szyfrować i przesyłać ci swoje dane. Otrzymujesz więc zaszyfrowaną wiadomość w postaci liczb naturalnych c, które muszą spełniać warunek:
0 < c < nII Liczbę c przekształcasz na pierwotną wartość t stosując wzór:
t = c d mod nIII Z otrzymanej liczby t odtwarzasz wg ustalonego systemu znaki tekstu. Teraz możesz odczytać przesłaną wiadomość.
d = 103
n = 143
c = 7Otrzymaliśmy zakodowaną wiadomość o wartości 7. Jesteśmy w posiadaniu klucza prywatnego, który służy do rozszyfrowywania wiadomości zakodowanych kluczem publicznym.
t = 123 Wykonujemy następujące operacje:
t = 7103 mod 143
Potęga jest zbyt duża, aby można ją było w normalny sposób obliczyć (języki programowania mają zwykle ograniczenia co do wielkości liczb całkowitych, np. w Pascalu liczby te nie mogą przekraczać wartości 4294967295). Jednakże nas nie interesuje wartość liczbowa potęgi, a jedynie reszta z dzielenia jej przez 143. Możemy więc rozłożyć potęgę na iloczyn składników o wykładnikach równych kolejnym potęgom liczby dwa:7103 mod 143 = 764 + 32 + 4 + 2 + 1 mod 143 =
(764 mod 143) (732 mod 143) (74 mod 143) (72 mod 143) 7 mod 14371 mod 143 = 7
72 mod 143 = (71 mod 143)2 mod 143 = 49 mod 143 = 49
74 mod 143 = (72 mod 143)2 mod 143 = 492 mod 143 = 113
78 mod 143 = (74 mod 143)2 mod 143 = 1132 mod 143 = 42
716 mod 143 = (78 mod 143)2 mod 143 = 422 mod 143 = 48
732 mod 143 = (716 mod 143)2 mod 143 = 482 mod 143 = 16
764 mod 143 = (732 mod 143)2 mod 143 = 162 mod 143 = 113Do wyliczenia potęgi bierzemy tylko te reszty, które występują w sumie potęg 2: (jeśli byłoby ich bardzo dużo, to każde mnożenie można wykonać z operacją modulo, dzięki czemu wynik nigdy nie wyjdzie poza wartość modułu)
t = 7103 mod 143 = 113 16 113 49 7 mod 143 = 123
Na podstawie podanych informacji napiszemy prostą aplikację, która pełnić będzie rolę kompletnego systemu szyfrowania RSA. Proces szyfrowania i rozszyfrowywania jest identyczny, różni się tylko rodzajem zastosowanego klucza. Dlatego w aplikacji występują jedynie dwie opcje: tworzenie kluczy RSA oraz szyfrowanie RSA. W pierwszym przypadku program generuje dwa klucze, publiczny oraz prywatny. Należy zapamiętać te dane, gdyż będą one potrzebne w drugiej opcji do szyfrowania lub rozszyfrowywania. Proponujemy zastosowanie tej aplikacji do prostej zabawy w klasie. Tworzymy jedną grupę uczniów, która utworzy klucz publiczny oraz prywatny. Klucz publiczny przekaże reszcie klasy, klucz prywatny zachowa dla siebie. Następnie pozostali uczniowie na podstawie otrzymanych kluczy publicznych mogą kodować swoje dane i przekazywać je pierwszej grupie, która za pomocą klucza prywatnego dokona rozszyfrowania wiadomości.
Życzymy dobrej zabawy.
Wydruk z uruchomionego programu | |
---|---|
System szyfrowania danych RSA | Generowanie kluczy RSA |
Kodowanie danych RSA | Kodowanie danych RSA |
Microsoft Visual Basic 2005 Express Edition |
Poniższe, przykładowe programy są praktyczną realizacją omawianego w tym rozdziale algorytmu. Zapewne można je napisać bardziej efektywnie. To już twoje zadanie. Dokładny opis stosowanych środowisk programowania znajdziesz we wstępie. Programy przed opublikowaniem w serwisie edukacyjnym zostały dokładnie przetestowane. Jeśli jednak znajdziesz jakąś usterkę (co zawsze może się zdarzyć), to prześlij o niej informację do autora. Pozwoli to ulepszyć nasze artykuły. Będziemy Ci za to wdzięczni.
Dokument ten rozpowszechniany jest zgodnie z zasadami licencji
GNU Free Documentation License.
Źródło: mgr Jerzy Wałaszek