Login lub e-mail Hasło   

Miejsca zerowe funkcji - Równania liniowe

Odnośnik do oryginalnej publikacji: http://www.i-lo.tarnow.pl/edu/inf/alg/zm(...)ex.html
Funkcja liniowa posiada następujący przepis: f ( x ) = ax + b Nazwa funkcji liniowej pochodzi stąd, iż jej wykres jest linią prostą. Miejsce zerow...
Wyświetlenia: 22.735 Zamieszczono 04/11/2006

Funkcja liniowa posiada następujący przepis:

f(x) = ax + b

Nazwa funkcji liniowej pochodzi stąd, iż jej wykres jest linią prostą.

Miejsce zerowe xo funkcji liniowej obliczamy analitycznie:

f(xo) = axo + b
f(xo) = 0

axo + b = 0  /  + (-b)
axo = - b  /  : a
xo = -   b   ,  a 0
a

Jeśli współczynnik a jest równy 0, to na wartość funkcji nie mają wpływu jej argumenty - mówimy wtedy, iż jest to funkcja stała. Jej wykresem będzie linia prosta równoległa do osi OX. Odległość tej prostej od osi OX jest równa współczynnikowi b. Jeśli współczynnik b jest również równy 0, to funkcja przyjmuje wartość 0 dla wszystkich swoich argumentów - rozwiązaniem jest cały zbiór liczb rzeczywistych, czyli brak jednoznacznego rozwiązania. Jeśli b jest różne od 0, to funkcja nie posiada miejsca zerowego. gdyż dla żadnego swojego argumentu nie przyjmuje wartości 0.

Jeśli współczynnik a jest różny od 0, miejsce zerowe wyznaczamy zgodnie z wyprowadzonym wzorem.

Ponieważ współczynnik a mógł być uzyskany na drodze wcześniejszych obliczeń numerycznych i może zawierać błędy zaokrągleń, to przy porównaniu z zerem musimy zastosować podane we wstępie zasady. Otóż zamiast zwykłego sprawdzania czy:

a = 0

zastosujemy test:

| a | < ε

gdzie ε jest wybraną dokładnością przyrównania do 0. Sądzę, iż ε = 0.0000000001 powinno być w większości typowych przypadków wystarczająco dokładne (jeśli nie, to należy je odpowiednio dostosować).

Dane wejściowe

a,b - współczynniki a,b R

Dane wyjściowe

xo - miejsce zerowe:  xo lub informacja, iż rozwiązanie nie istnieje

Zmienne pomocnicze

ε - dokładność porównania z zerem. ε R,  ε = 0.0000000001
krok 1: Czytaj współczynniki a i b
krok 2: Jeśli | a | < ε , to idź do kroku 6
krok 3:
xo  -   b 
a
krok 4: Pisz xo
krok 5: Zakończ algorytm
krok 6: Pisz "Brak miejsca zerowego"
krok 7: Zakończ algorytm

Wykonanie algorytmu rozpoczynamy od odczytania współczynników a i b wchodzących w skład przepisu funkcji liniowej:

f(x) = ax + b

Następnie sprawdzamy, czy współczynnik a jest równy (dostatecznie bliski) zeru.

Jeśli nie, to wyznaczamy miejsce zerowe xo i wypisujemy je kończąc algorytm.

Jeśli tak, to funkcja f(x) nie posiada jednoznacznego miejsca zerowego (dla b różnego od 0 miejsce takie nie istnieje). Wypisujemy odpowiedni tekst i kończymy algorytm.


   
   
   

Poniższe, przykładowe programy są praktyczną realizacją omawianego w tym rozdziale algorytmu. Zapewne można je napisać bardziej efektywnie. To już twoje zadanie. Dokładny opis stosowanych środowisk programowania znajdziesz we wstępie. Programy przed opublikowaniem w serwisie edukacyjnym zostały dokładnie przetestowane. Jeśli jednak znajdziesz jakąś usterkę (co zawsze może się zdarzyć), to prześlij o niej informację do autora. Pozwoli to ulepszyć nasze artykuły. Będziemy Ci za to wdzięczni.

 
       

W celu uruchomienia przykładów zastosuj projekt aplikacji konsoli (ang. Console Application).

Wydruk z uruchomionego programu
Znajdowanie miejsca zerowego dla f(x) = ax + b
----------------------------------------------
(C)2006 mgr Jerzy Wałaszek I LO w Tarnowie

Podaj współczynniki a i b

a = 12

b = -3

----------------------------------------------
WYNIK

x0 = 0,2500

----------------------------------------------
Koniec. Naciśnij klawisz Enter...
Microsoft Visual Basic 2005 Express Edition

 

Borland
Delphi 7.0
Personal
Edition
// Program oblicza miejsce zerowe dla funkcji liniowej
// f(x) = ax + b
//----------------------------------------------------
// (C)2006 mgr Jerzy Wałaszek
// I Liceum Ogólnokształcące
// im. Kazimierza Brodzińskiego
// w Tarnowie
//----------------------------------------------------

program
mzfl1;

{$APPTYPE CONSOLE}

const
EPS = 0.0000000001; // dokładność porównania z zerem
var
a,b,x0 : real;
begin
writeln('Znajdowanie miejsca zerowego dla f(x) = ax + b');
writeln('----------------------------------------------');
writeln('(C)2006 mgr Jerzy Walaszek I LO w Tarnowie');
writeln;
writeln('Podaj wspolczynniki a i b');
writeln;
write('a = '); readln(a);
writeln;
write('b = '); readln(b);
writeln;
writeln('----------------------------------------------');
writeln('WYNIK');
writeln;
if abs(a) < EPS then
writeln('Brak miejsca zerowego')
else
begin

x0 := - b / a;
writeln('x0 = ',x0:10:4);
end;
writeln;
writeln('----------------------------------------------');
writeln('Koniec. Nacisnij klawisz Enter...');
readln;
end.
Borland
C++ Builder
6.0
Personal
Edition
// Program oblicza miejsce zerowe dla funkcji liniowej
// f(x) = ax + b
//----------------------------------------------------
// (C)2006 mgr Jerzy Wałaszek
// I Liceum Ogólnokształcące
// im. Kazimierza Brodzińskiego
// w Tarnowie
//----------------------------------------------------

#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <math>

using namespace std;

int main(int argc, char* argv[])
{
const double EPS = 0.0000000001;
double a,b,x0;

cout.precision(4); // 4 cyfr po przecinku
cout.setf(ios::fixed); // format stałoprzecinkowy

cout << "Znajdowanie miejsca zerowego dla f(x) = ax + b\n"
"----------------------------------------------\n"
"(C)2006 mgr Jerzy Walaszek I LO w Tarnowie\n\n"
"Podaj wspolczynniki a i b\n\n"
"a = "
;
cin >> a;
cout << "\n\nb = ";
cin >> b;
cout << "\n\n----------------------------------------------\n"
"WYNIK\n\n"
;
if(fabs(a) < EPS)
cout << "Brak miejsca zerowego\n";
else
{
x0 = - b / a;
cout << "x0 = " << x0 << endl;
}
cout << "\n----------------------------------------------\n";
system("pause");
return 0;
}
Microsoft
Visual
Basic 2005
Express
Edition
' Program oblicza miejsce zerowe dla funkcji liniowej
' f(x) = ax + b
'----------------------------------------------------
' (C)2006 mgr Jerzy Wałaszek
' I Liceum Ogólnokształcące
' im. Kazimierza Brodzińskiego
' w Tarnowie
'----------------------------------------------------

Module
Module1

Sub Main()
Const EPS As Double = 0.0000000001
Dim a, b, x0 As Double

Console.WriteLine("Znajdowanie miejsca zerowego dla f(x) = ax + b")
Console.WriteLine("----------------------------------------------")
Console.WriteLine("(C)2006 mgr Jerzy Wałaszek I LO w Tarnowie")
Console.WriteLine()
Console.WriteLine("Podaj współczynniki a i b")
Console.WriteLine()
Console.Write("a = ") : a = Val(Console.ReadLine)
Console.WriteLine()
Console.Write("b = ") : b = Val(Console.ReadLine)
Console.WriteLine()
Console.WriteLine("----------------------------------------------")
Console.WriteLine("WYNIK")
Console.WriteLine()
If Math.Abs(a) < EPS Then
Console.WriteLine("Brak miejsca zerowego")
Else
x0 = -b / a
Console.WriteLine("x0 = " + Format(x0, "####0.0000"))
End If
Console.WriteLine()
Console.WriteLine("----------------------------------------------")
Console.WriteLine("Koniec. Naciśnij klawisz Enter...")
Console.ReadLine()
End Sub

End Module
Python
# -*- coding: cp1250 -*-
# Program oblicza miejsce zerowe dla funkcji liniowej
# f(x) = ax + b
#----------------------------------------------------
# (C)2006 mgr Jerzy Wałaszek
# I Liceum Ogólnokształcące
# im. Kazimierza Brodzińskiego
# w Tarnowie
#----------------------------------------------------

EPS = 0.0000000001 # dokładność porównania z zerem

print "Znajdowanie miejsca zerowego dla f(x) = ax + b"
print "----------------------------------------------"
print "(C)2006 mgr Jerzy Walaszek I LO w Tarnowie"
print
print
"Podaj wspolczynniki a i b"
print
a = float(raw_input("a = "))
print
b = float(raw_input("b = "))
print
print
"----------------------------------------------"
print "WYNIK"
print
if abs
(a) < EPS:
print "Brak miejsca zerowego"
else:
x0 = -b / a
print "x0 = %10.4f" % x0
print
print
"----------------------------------------------"
raw_input("Koniec. Nacisnij klawisz Enter...")
JavaScript
<html>
<head>
</head>
<body>
<div align=
"center">
<form style=
"BORDER-RIGHT: #ff9933 1px outset;
PADDING-RIGHT: 4px;
BORDER-TOP: #ff9933 1px outset;
PADDING-LEFT: 4px;
PADDING-BOTTOM: 1px;
BORDER-LEFT: #ff9933 1px outset;
PADDING-TOP: 1px;
BORDER-BOTTOM: #ff9933 1px outset;
BACKGROUND-COLOR: #ffcc66"
name="frmprg">
<h3 id=
"out_t" style="TEXT-ALIGN: center">
Znajdowanie miejsca zerowego dla <i>f(x) = ax + b</i>
</h3>
<p style=
"TEXT-ALIGN: center">
(C)2006 mgr Jerzy Wałaszek&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; I LO w Tarnowie
</p>
<hr>
<p style=
"TEXT-ALIGN: center">
Podaj wartości współczynników <i>a</i> i <i>b</i>:
</p>
<p style=
"TEXT-ALIGN: center">
<i>
a</i> =
<input type="text" name="inp_a" size="20" value="25" style="text-align: right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
<i>b</i> =
<input type="text" name="inp_b" size="20" value="-5" style="text-align: right">
</p>
<p style=
"TEXT-ALIGN: center">
<input type=
"button" value="Oblicz miejsce zerowe" name="B1" onclick="main()">
</p>
<hr>
<p style=
"TEXT-ALIGN: center">
<b>
WYNIK:</b>
</p>
<p style=
"TEXT-ALIGN: center" id="t_out">.</p>
</form>

<script language=
javascript>

// Program oblicza miejsce zerowe dla funkcji liniowej
// f(x) = ax + b
//----------------------------------------------------
// (C)2006 mgr Jerzy Wałaszek
// I Liceum Ogólnokształcące
// im. Kazimierza Brodzińskiego
// w Tarnowie
//----------------------------------------------------

function
main()
{
var EPS = 0.0000000001;
var a,b,x0,t;

a = parseFloat(document.frmprg.inp_a.value);
b = parseFloat(document.frmprg.inp_b.value);

if(isNaN(a) || isNaN(b))
t = "<b><font color=red>Złe współczynniki</font></b>";
else
{
if(Math.abs(a) < EPS)
t = "<b><font color=red>Brak miejsca zerowego</font></b>";
else
{
x0 = - b / a;
t = "x<sub>o</sub> = " + x0;
}
}
document.getElementById("t_out").innerHTML = t;
}

</script>
</div>
</body></html>
 
Dokument ten rozpowszechniany jest zgodnie z zasadami licencji
GNU Free Documentation License.
   document.frmadminemail.adminemail_tytul.value = parent.document.title + " : " + document.title;   

Podobne artykuły


16
komentarze: 5 | wyświetlenia: 9003
9
komentarze: 0 | wyświetlenia: 2782
49
komentarze: 18 | wyświetlenia: 64971
37
komentarze: 9 | wyświetlenia: 28513
17
komentarze: 4 | wyświetlenia: 14162
15
komentarze: 5 | wyświetlenia: 32758
13
komentarze: 2 | wyświetlenia: 22958
12
komentarze: 3 | wyświetlenia: 29778
12
komentarze: 2 | wyświetlenia: 18504
11
komentarze: 2 | wyświetlenia: 33148
11
komentarze: 1 | wyświetlenia: 86396
11
komentarze: 1 | wyświetlenia: 10469
10
komentarze: 1 | wyświetlenia: 34968
10
komentarze: 5 | wyświetlenia: 20412
 
Autor
Artykuł

Powiązane tematy






Brak wiadomości


Dodaj swoją opinię
W trosce o jakość komentarzy wymagamy od użytkowników, aby zalogowali się przed dodaniem komentarza. Jeżeli nie posiadasz jeszcze swojego konta, zarejestruj się. To tylko chwila, a uzyskasz dostęp do dodatkowych możliwości!
 

© 2005-2018 grupa EIOBA. Wrocław, Polska