Login lub e-mail Hasło   

Związki logiczne

Odnośnik do oryginalnej publikacji: http://www.aries.com.pl/grzegorzj/logika(...)g1.html
Podstawowe związki logiczne Zdanie w logice oznacza zawsze tylko zdanie oznajmujące, którym można przypisać wartość logiczną prawdy lub fałszu. Weźmy jako przykład dwa zd...
Wyświetlenia: 40.040 Zamieszczono 07/10/2008

Podstawowe związki logiczne

Zdanie w logice oznacza zawsze tylko zdanie oznajmujące, którym można przypisać wartość logiczną prawdy lub fałszu. Weźmy jako przykład dwa zdania:

p = Kowalski jest lekarzem
q = Malinowski jest lekarzem

Zdania mogą być połączone spójnikami i mogą dzięki temu tworzyć związki logiczne. Poniżej przedstawiono listę tych związków.

Koniunkcja p i q

Oznaczenie: p q

Przykład: Kowalski jest lekarzem i Malinowski jest lekarzem.

Objaśnienie: Prawda, jeśli obaj są lekarzami. Fałsz, gdy choć jeden z nich nie jest lekarzem.

Koniunkcja jest więc prawdziwa tylko wtedy, gdy oba jej człony są (jednocześnie) prawdziwe. Na określenie koniunkcji używa się także terminów współprawdziwość lub iloczyn logiczny. W języku naturalnym oprócz spójnika i często koniunkcję wyrażają także a, oraz, lecz, ale, chociaż, mimo że, zaś. W informatyce i elektronice koniunkcję wyraża spójnik And. Niekiedy koniunkcję oznacza się p · q.

Binegacja ani p, ani q

Oznaczenie: p ↓ q

Przykład: Ani Kowalski nie jest lekarzem, ani Malinowski nie jest lekarzem.

Objaśnienie: Prawda, jeśli żaden z nich nie jest lekarzem. Fałsz, gdy choć jeden z nich jest lekarzem.

Binegacja jest koniunkcją negacji. Język polski wymaga tu zmiany formy czasownika na przeczącą. Na określenie binegacji używa się także terminów współfałszywość lub negacja łączna. W informatyce i elektronice binegację wyraża spójnik Nor.

Uwaga: systemy logiczne często nie rozpatrują binegacji jako odrębnej relacji i zastępują ją negacją alternatywy.

Alternatywa p lub q

Oznaczenie: p q

Przykład: Kowalski jest lekarzem lub Malinowski jest lekarzem.

Objaśnienie: Prawda, jeśli jeden z nich jest lekarzem lub obaj są lekarzami. Fałsz, gdy żaden nie jest lekarzem.

Dla odróżnienia od następnych związków logicznych alternatywę nazywa się także alternatywą zwykłą, niewyłączającą, niewykluczającą lub nierozłączną. Używa się także terminów niewspółfałszywość, podprzeciwieństwo logiczne lub suma logiczna. W informatyce i elektronice alternatywę wyraża spójnik Or.

Dysjunkcja co najwyżej p albo q

Oznaczenie: p | q

Przykład: Co najwyżej Kowalski jest lekarzem albo Malinowski jest lekarzem.

Objaśnienie: Prawda, gdy najwyżej jeden z nich jest lekarzem, to znaczy albo Kowalski, albo Malinowski, albo żaden z nich. Fałsz, gdy obaj są lekarzami

Odróżnienie dysjunkcji (zwanej też czasem dysjunkcją Scheffera) od alternatywy rozłącznej sprawia trudności autorom chyba wszystkich polskich słowników i encyklopedii. Autorzy ci niesłusznie utożsamiają oba pojęcia. Co gorsza, w źródłach anglojęzycznych (i niekompetentnie tłumaczonych z angielskiego) termin „dysjunkcja” odnosi się nawet do alternatywy zwykłej. Kłopoty leksykografów z dysjunkcją biorą się być może stąd, że trudno ją oddać w języku naturalnym. Niektórzy logicy proponują tu pojedynczy spójnik albo, inni proponują spójnik złożony co najwyżej… albo…, który jest bardziej wyrazisty i łatwiej zrozumiały. W języku prawniczym dysjunkcję wyraża spójnik bądź… bądź… (także pojedyncze bądź).

Na określenie dysjunkcji używa się również określeń niewspółprawdziwość lub przeciwieństwo logiczne. W informatyce i elektronice dysjunkcję wyraża spójnik Nand. Symbolem tego związku zamiast kreski prostej bywa także ukośnik: p / q.

Uwaga: w wielu systemach logicznych nie rozpatruje się dysjunkcji jako odrębnej relacji i zastępuje negacją koniunkcji.

Alternatywa rozłączna albo p, albo q

Oznaczenie: p q

Przykład: Albo Kowalski jest lekarzem, albo Malinowski jest lekarzem.

Objaśnienie: Prawda, gdy dokładnie jeden z nich jest lekarzem. Fałsz, gdy obaj są lekarzami. Fałsz, gdy żaden nie jest lekarzem.

W logice należy dokładnie rozróżniać spójnik lub od spójnika albo i od złożonego spójnika albo… albo. Każdy z nich ma inne znaczenie, ponadto w pewnych przypadkach specjalnych obowiązują inne konwencje: w języku prawniczym alternatywę rozłączną może wyrazić także pojedyncze albo, za to dysjunkcję pojedyncze lub podwójne bądź. Język naturalny rzadko przestrzega tu jakichkolwiek rozróżnień.

Na określenie alternatywy rozłącznej używa się także terminów alternatywa wykluczająca, niezgodność logiczna, sprzeczność logiczna, kontrawalencja, różnica symetryczna lub ekskluzja. W informatyce i elektronice alternatywę rozłączną wyraża spójnik Xor, rzadziej Eor, czasem także ExOr. Ponieważ alternatywa rozłączna oznacza różną wartość logiczną zdań składowych, zapisuje się ją też czasem p ≠ q.

A oto na czym w istocie polega różnica między alternatywą rozłączną a dysjunkcją. Alternatywa rozłączna Albo Kowalski jest lekarzem, albo Malinowski jest lekarzem jest fałszywa, jeżeli żaden z wymienionych panów nie jest lekarzem. Natomiast dysjunkcja Co najwyżej Kowalski jest lekarzem albo Malinowski jest lekarzem pozostaje wówczas prawdziwe. Warto sięgnąć do dobrych podręczników logiki po szczegóły (np. Z. Kraszewski „Logika”, PWN 1984).

Uwaga: w pewnych systemach logicznych zamiast alternatywy rozłącznej rozpatruje się negację równoważności. Można też użyć zapisu p q lub p q.

Równoważność p wtedy i tylko wtedy, gdy q

Oznaczenie: p q

Przykład: Kowalski jest lekarzem wtedy i tylko wtedy, gdy Malinowski jest lekarzem.

Objaśnienie: Prawda. gdy obaj są lekarzami lub gdy żaden nie jest lekarzem. Fałsz, gdy lekarzem jest tylko jeden z nich.

Równoważność dwóch zdań oznacza, że mają one tę samą wartość logiczną: albo oba są prawdziwe, albo oba są fałszywe. W języku naturalnym dla wyrażenia równoważności używa się form krótszych, np. wtedy, gdy lub wtedy, jeśli. W logice takich skróceń unika się z uwagi na możliwość pomieszania równoważności z implikacją (można jednak powiedzieć wtedy i tylko, gdy lub zawsze i tylko, gdy). Na określenie równoważności używa się także terminów ekwiwalencja, zamienność lub zgodność logiczna. Równoważność wyraża spójnik Iff, w elektronice używa się także ExNor. W źródłach polskojęzycznych używa się czasem form skróconych wtw (= wtedy i tylko wtedy) lub gddy (utworzone od gdy, analogiczne do ang. iff = if and only if). Czasem zapisuje się ją zwykłym znakiem równości p = q lub symbolem równości tożsamościowej p q.

Implikacja jeżeli p, to q

Oznaczenie: p q

Przykład: Jeżeli Kowalski jest lekarzem, to Malinowski jest lekarzem.

Objaśnienie: Prawda, gdy obaj są lekarzami. Prawda, gdy Kowalski nie jest lekarzem, bez względu na to, czy wówczas Malinowski jest lekarzem, czy nie. Fałsz tylko wtedy, gdy Kowalski jest lekarzem, a Malinowski nim nie jest.

Implikacja (inaczej wynikanie lub podporządkowanie logiczne) jest jedynym związkiem logicznym spośród omówionych dotąd, w którym istotna jest kolejność zdań. Implikacja jest więc relacją nieprzemienną, podczas gdy pozostałe omówione dotąd relacje są przemienne. W języku potocznym często nie uświadamiamy sobie tej własności implikacji, a słowo jeżeli często jest używane w zupełnie innym znaczeniu.

Zdanie następujące po jeżeli nazywa się poprzednikiem, zdanie następujące po to nazywa się następnikiem (następnik, czyli zdanie q, jest podporządkowany poprzednikowi, czyli zdaniu p; przy pozostałych związkach logicznych zwykle nie używa się tych pojęć). Implikacja nie jest odwracalna: ze zdania jeżeli p, to q nie wynika wcale, że jeżeli q, to p. Nie wolno więc zamieniać poprzednika z następnikiem. A zatem zdanie jeżeli Malinowski jest lekarzem, to Kowalski jest lekarzem nie jest równoważne podanemu przykładowi; jest to oczywiście również implikacja, którą można nazwać implikacją odwrotną względem podanej. Implikację odwrotną q p zapisuje się też p q. Czasami do oznaczania implikacji używa się pojedynczych strzałek (p q, p q).

W sytuacji, gdy poprzednik jest fałszywy, implikacja jest prawdziwa bez względu na to, co orzeka następnik. Na przykład zdanie jeżeli będzie ładna pogoda, to Irena pójdzie na spacer jest prawdziwe w sytuacji, gdy padało, a Irena mimo tego poszła się przejść. Byłoby ono także prawdziwe, gdyby Irena w wypadku ulewy pozostała w domu.

Prawdziwe jest także zdanie Jeżeli Polska leży w Azji, to Berlin jest jej stolicą. Ponieważ poprzednik jest tu fałszywy, całe stwierdzenie pozostaje prawdziwe mimo tego, że przecież Berlin nie jest stolicą Polski. A zatem implikacja jest prawdziwa, gdy następnik jest prawdziwy lub poprzednik fałszywy. Ta właściwość implikacji również bywa nieuświadamiana przez mówiących. Symbolicznie można ją zapisać w następującej postaci: (p q) (~p q).

Implikacja jest bardzo trudnym związkiem logicznym, gdyż często kłóci się z intuicją. W języku naturalnym implikację mogą wyrażać konstrukcje:

  • gdyby p, to q,
  • o ile p, to q,
  • skoro p, to q,
  • z p wynika q,
  • z tego, że p wynika, że q,
  • zawsze gdy p, to q,
  • na pewno gdy p, to q,
  • p, więc q,
  • p, wobec tego q,
  • p, zatem q,
  • p pociąga za sobą q (zauważmy, że kierunek tego „pociągania” jest przeciwny niż kierunek strzałki będącej symbolem implikacji).

Dodanie tylko przed początkowym spójnikiem jeżeli, gdyby, gdy, o ile zmienia kierunek implikacji. Dlatego też tylko jeżeli p, to q oznacza p q. Na przykład zdanie Tylko jeżeli Kowalski jest lekarzem, to Malinowski jest lekarzem jest fałszywe, gdy Kowalski nie jest lekarzem, a Malinowski nim jest. W każdym innym wypadku jest to zdanie prawdziwe. W szczególności niczego nie możemy powiedzieć o Kowalskim, jeżeli wiemy, że Malinowski lekarzem nie jest.

Gdy następnik wpływa w jakiś sposób na zajście poprzednika (o przeciwnych sytuacjach będzie mowa niżej), używa się zdań o postaci:

  • p tylko wtedy, gdy q lub p tylko jeżeli q (implikacja prosta p q; zwróćmy uwagę na położenie słowa tylko względem zdania p),
  • p zawsze wtedy, gdy q lub p zawsze jeżeli q (p na pewno wtedy, gdy q; implikacja odwrotna p q).

Obrazowo można powiedzieć, że strzałka implikacji zaczyna się od zdania składowego poprzedzonego słowem zawsze i jest skierowana w stronę zdania poprzedzonego słowem tylko. Dlatego zdanie Irena pójdzie na spacer tylko wtedy, gdy będzie ładna pogoda oznacza, że Irena może pozostać w domu niezależnie od pogody, ale jeśli już pójdzie na spacer, to tylko wtedy, gdy będzie ładna pogoda (p q). To samo wyraża zdanie Tylko jeśli będzie ładna pogoda, Irena pójdzie na spacer. Z kolei zdanie Irena pójdzie na spacer na pewno wtedy, gdy będzie ładna pogoda oznacza, że Irena może pójść na spacer niezależnie od pogody, ale jeśli już będzie ładna pogoda, to na pewno na spacer pójdzie, a zatem implikację odwrotną (p q). To samo wyraża nieco sztuczne zdanie Na pewno jeśli będzie ładna pogoda, to Irena pójdzie na spacer. Jak łatwo zauważyć, jednoczesną prawdziwość obu tych implikacji wyrazi stwierdzenie Irena pójdzie na spacer zawsze wtedy i tylko wtedy, gdy będzie ładna pogoda (równoważność p q), rzadko używane w takiej postaci w języku naturalnym.

Implikacjami są najczęściej obietnice (obiecuję, że jeżeli p, to q), zapewnienia (zapewniam, że jeśli p, to q), jednak wiele innych wypowiedzi typu jeżeli p, to q ma raczej charakter równoważności niż implikacji. W intuicyjnym rozumieniu implikacja oznacza raczej związek przyczynowo-skutkowy, dlatego zdanie z tego, że księżyc jest z sera wynika, że Warszawa jest stolicą Francji jest (prawdziwą!) implikacją w sensie logicznym, ale nie w sensie intuicyjnym. Domagamy się także niekiedy, aby zaistnienie poprzednika następowało przed zaistnieniem następnika (np. jeżeli Maria przyjedzie, pójdę z nią do parku), lub przynajmniej aby trwanie sytuacji opisanej w poprzedniku zaczęło się wcześniej niż zajście następnika (np. jeżeli będzie ładna pogoda, pójdę z Marią do parku). Jednak dla tzw. implikacji materialnej, a więc w sensie używanym w logice, nie stawia się takich warunków. Dlatego np. zdanie jeżeli pójdę z Marią do parku, to ona przyjedzie jest logicznie zupełnie poprawne, choć sprawia wrażenie językowego absurdu. W języku naturalnym powiedzielibyśmy zapewne jeżeli pójdę z Marią do parku, to będzie oznaczało, że ona przyjechała, albo też pójdę z Marią do parku tylko wtedy, gdy przyjedzie.

Uwaga: oprócz implikacji prostej (jeżeli p, to q), zwanej także ekstensywną, oraz implikacji odwrotnej (jeżeli q, to p), zwanej także intensywną, rozpatruje się także implikację przeciwną (jeżeli nie p, to nie q) oraz implikację przeciwstawną (jeżeli nie q, to nie p). Implikacja przeciwna jest równoważna implikacji odwrotnej, zaś implikacja przeciwstawna implikacji prostej. O związkach tych będzie mowa poniżej.

Zebranie wartości związków logicznych

p q p q p ↓ q p q p | q p q p q p q p q p q p q
1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0
1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0
0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1
0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0

(1 – prawda, 0 – fałsz)

Podane w tabeli związki międzyzdaniowe stanowią 10 spośród 16 możliwych zestawień prawdy i fałszu. Układy te można opisać w postaci liczb binarnych 1000, 0001, 1110, 0111, 0110, 1001, 1011, 1101, 0100 i 0010 (por. z zawartością tabeli). W logice nie rozpatruje się związków, których wartość logiczna nie zależy od wartości zdań składowych p i q (a więc związków 1111 i 0000). Nie rozpatruje się także związków o wartości niezależnej od wartości jednego ze zdań składowych (a więc związków 1100, 0011, 1010, 0101). Tym sposobem z możliwych 16 układów pozostaje tylko 10. O zaprzeczeniu implikacji prostej (p q) i odwrotnej (p q) będzie mowa poniżej.

O przygodach pani Marii

Pani Maria jest osobą niezwykle prawdomówną, ponadto wypowiada zdania, ściśle przestrzegając znaczenia spójników. Właśnie wracała do domu, gdy została zagadnięta przez swojego sąsiada, pana Jana. Pan Jan zadał jej pytanie, skąd wraca. Czego dowiedział się pan Jan w sytuacji, gdy pani Maria odpowiedziała:

  • Odwiedziłam Marka i Pawła – Z tego jednoznacznego zdania wynika, że pani Maria była u obu tych panów. Zauważmy, że w języku naturalnym wypowiedź taka sugeruje, że pani Maria najpierw odwiedziła Marka, potem Pawła. W logice takie następstwo jest niekonieczne: pani Maria mogła w rzeczywistości najpierw odwiedzić Pawła, a nawet odwiedzić obu panów jednocześnie (mogła zastać ich razem).
  • Nie odwiedziłam ani Marka, ani Pawła – Taka wypowiedź pani Marii również jest jednoznaczna. Wynika z niej, że nie odwiedziła Marka, ale też i nie odwiedziła Pawła.
  • Odwiedziłam Marka lub Pawła – Ze zdania tego wynika tylko tyle, że pani Maria wraca od któregoś z tych panów. Pan Jan jednak nie wie, czy od Marka, czy od Pawła, czy też może pani Maria odwiedziła obu tych panów. Spójnik lub w logice wskazuje, że mogły zajść obie możliwości. W języku naturalnym czasem nie jest to wcale oczywiste.
  • Odwiedziłam co najwyżej Marka albo Pawła – Pan Jan dowiedział się tylko tego, że pani Maria nie była u obu tych panów. Nie wie jednak, u którego z nich była, nie wie nawet, czy w ogóle była u któregokolwiek.
  • Odwiedziłam albo Marka, albo Pawła – Tym razem pan Jan dowiedział się, że pani Maria odwiedziła jednego z tych panów. Dowiedział się również, że tylko jednego z nich, choć nie wie, którego. W języku naturalnym czasem miesza się tę sytuację z poprzednią.
  • Odwiedziłam Marka wtedy i tylko wtedy, jeśli odwiedziłam Pawła – Zdanie to brzmi raczej nienaturalnie, ale pan Jan zna panią Marię, więc nie jest zdziwiony jej odpowiedzią. Tym razem dowiaduje się, że pani Maria była u obu wymienionych panów, ale mogła też nie być u żadnego z nich. Nie było więc tak, że odwiedziła tylko jednego.
  • Jeżeli odwiedziłam Marka, to odwiedziłam Pawła – Tym razem pan Jan dowiedział się jedynie tego, że nie było tak, że pani Maria była tylko u Marka. Jej odpowiedź nie informuje w ogóle, czy była u Marka. Ponadto, pani Maria mogła być tylko u Pawła, mogła też nie być u żadnego z tych panów.

Analiza wypowiedzi w języku naturalnym

Częstym zjawiskiem w języku naturalnym jest elipsa – pominięcie powtarzających się lub domyślnych fragmentów wypowiedzi. Przykłady widzieliśmy w wypowiedziach pani Marii. Na przykład jej stwierdzenie odwiedziłam albo Marka, albo Pawła znaczy tyle, co albo odwiedziłam Marka, albo odwiedziłam Pawła.

W języku naturalnym spory problem stwarzają implikacje i równoważności, które często miesza się ze sobą, co oczywiście nie jest dopuszczalne w logice. Zwróćmy w szczególności uwagę, że umieszczenie zdania warunkowego na drugim miejscu nadaje całości inne znaczenie: wypowiedź odwiedziłam Pawła, jeżeli odwiedziłam Marka byłaby zapewne zrozumiana tak, że albo pani Maria była u obu tych panów, albo u żadnego z nich (czyli jako równoważność, a nie implikacja). W rzeczywistości różnica między oboma związkami jest zachowana: na implikację wskazuje konstrukcja jeżeli… to…, natomiast na równoważność sam spójnik jeżeli. Dla logika różnica ta jest za mała i grozi omyłką. Dlatego oba człony równoważności łączy się przy pomocy nienaturalnego wtedy i tylko wtedy, gdy. Język naturalny jest bardziej zwięzły, ale też możliwość nieporozumienia jest większa.

Na przykład, zdanie jeżeli będzie padać, to zostanę w domu informuje tylko, co się stanie w razie niepogody. Nie wiadomo natomiast, co się wydarzy, jeśli będzie ładna pogoda. Zdanie to jest zatem implikacją, choć w praktyce okazuje się, że wielu ludzi i tak nada mu znaczenie równoważności. Za to zdanie zostanę w domu, jeżeli będzie padać jest już powszechnie rozumiane jako równoważność: ładna pogoda oznaczać będzie pójście na spacer, a deszcz – pozostanie w domu.

Często jest też tak, że równoważność logiczna pozbawiona jest w języku naturalnym jakiegokolwiek spójnika. Dzieje się tak często w tzw. stwierdzeniach ogólnych, także jeśli dotyczą one obszaru nauki. Na przykład zdanie ciało, na które działa stała siła, porusza się ruchem jednostajnie przyśpieszonym rozumiane jest jako równoważność, choć nie ma tu ani ścisłego „wtedy i tylko wtedy”, ani nawet potocznego „jeżeli”.

Związek przyczynowo-skutkowy a związki logiczne

wystarczający ⇒ konieczny

Zależność między związkiem przyczynowo-skutkowym a związkiem warunkowym może być rozmaita. Czasami bywa tak, że zaistnienie faktu p powoduje automatycznie zaistnienie faktu q. Zdarzenie, które miało miejsce wcześniej, lub też stwierdzony wcześniej fakt, jest warunkiem wystarczającym albo dostatecznym zdarzenia późniejszego, albo faktu dotąd wprost niestwierdzonego. Używając terminów logicznych powiemy w tym wypadku, że poprzednik p jest warunkiem wystarczającym następnika q: p q (implikacja prosta czyli implikacja ekstensywna). Zauważmy też, że z faktu niezajścia zdarzenia q możemy wnioskować o niezajściu zdarzenia będącego jego warunkiem wystarczającym: ~p ~q (implikacja przeciwstawna). Związek zawierający warunek wystarczający (krótko: związek wystarczający) jest więc szczególnym przypadkiem implikacji. Przykłady warunków wystarczających:

  • obecność funkcjonującego portu rzecznego w mieście X jest warunkiem wystarczającym, by uznać rzekę w tym mieście za spławną,
  • zniszczenie samolotu bojowego na lotnisku jest warunkiem wystarczającym, by nie wykonał on swojej misji,
  • ciało pokryte włosami jest warunkiem wystarczającym zaliczenia współcześnie żyjącego zwierzęcia do ssaków,
  • brak występowania środka, osi lub płaszczyzny symetrii danego obiektu jest warunkiem wystarczającym jego chiralności,
  • podzielność danej liczby przez 10 jest warunkiem wystarczającym, aby liczba ta była również podzielna przez 5,
  • zerowa wartość pierwszej pochodnej i ujemna drugiej pochodnej to warunek wystarczający istnienia maksimum funkcji w badanym punkcie.

Zauważmy, że warunek wystarczający p nie zawsze musi być spełniony, a mimo to zdarzenie q i tak zajdzie. Rzeka może być spławna mimo braku portu rzecznego. Samolot może nie wykonać swojej misji także wskutek wielu innych zdarzeń, choćby złych warunków pogodowych. Walenie są ssakami, a mimo to są bezwłose. Istnieją chiralne obiekty, posiadające dwukrotną oś symetrii (zob. tutaj). Liczba 15 jest podzielna przez 5, ale nie przez 10. Istnienie maksimum funkcji w danym punkcie nie oznacza jeszcze, że funkcja w ogóle ma w tym punkcie pierwszą i drugą pochodną.

konieczny ⇐ wystarczający

Czasami bywa jednak tak, że zaistnienie faktu p nie powoduje wcale automatycznego zaistnienia faktu q, jednak fakt p jest warunkiem koniecznym albo niezbędnym (warunkiem sine qua non) faktu q. Gdyby bowiem fakt p nie zaszedł, fakt q również na pewno nie zajdzie: ~p ~q (implikacja przeciwna). To samo możemy także zapisać w innej postaci: p q (implikacja odwrotna czyli implikacja intensywna). Zwróćmy uwagę, że warunek konieczny p poprzedzający w czasie zajście zdarzenia q jest następnikiem implikacji. Przykłady warunków koniecznych:

  • obecność danego drobnoustroju w organizmie jest warunkiem koniecznym wystąpienia choroby zakaźnej przezeń wywoływanej,
  • współczucie jest warunkiem koniecznym miłosierdzia,
  • zdanie matury jest koniecznym warunkiem przystąpienia do wyższych studiów,
  • dostępność kodu źródłowego jest warunkiem koniecznym uznania oprogramowania za wolne,
  • występowanie kręgosłupa jest warunkiem koniecznym zaliczenia danego zwierzęcia do ssaków,
  • 0 lub 5 będące ostatnią cyfrą danej liczby to warunek koniecznym, aby liczba ta była podzielna przez 15,
  • zerowa wartość pierwszej pochodnej jest warunkiem koniecznym istnienia ekstremum różniczkowalnej funkcji w badanym punkcie.

Zauważmy, że zajście warunku koniecznego p nie musi powodować zajścia zdarzenia q. Sama obecność drobnoustroju nie zawsze musi powodować rozwój choroby. Współczucie wcale nie musi zrodzić miłosierdzia. Pomimo zdania matury można przecież nie pójść na studia. Bywa czasem, że pomimo udostępnienia kodu źródłowego autor zabrania rozpowszechniania napisanego przez siebie programu bez ograniczeń – takiego oprogramowania nie uważa się za wolne. Kręgosłup występuje nie tylko u ssaków, ale również u ptaków, gadów, płazów czy ryb. Liczba 20 ma cyfrę 0 na ostatniej pozycji, a mimo to nie jest podzielna przez 15. Zerowa wartość pochodnej może wystąpić także w punkcie przegięcia.

konieczny i wystarczający ⇔ konieczny i wystarczający

Wreszcie trzecia i ostatnia możliwość jest wówczas, gdy zaistnienie faktu p jest warunkiem koniecznym i wystarczającym faktu q. Na przykład cecha krytyczna stanowi warunek konieczny i wystarczający do zaliczenia jakiegoś pojęcia do danej kategorii. O warunku wystarczającym i koniecznym mówimy także, gdy zajście zdarzenia p pociągnie za sobą zajście zdarzenia q, a zajście zdarzenia q musiało być spowodowane uprzednim zajściem zdarzenia p. Używając terminów logicznych powiemy, że zachodzi równoważność p q.

  • to, że Elżbieta jest siostrą Michała, jest warunkiem koniecznym i wystarczającym, aby Michał był bratem Elżbiety,
  • akceptowanie siebie i bycie akceptowanym przez innych to warunek konieczny i wystarczający szczęśliwego życia,
  • niewiara w boga lub w bogów to warunek niezbędny i dostateczny, aby nazwać kogoś ateistą,
  • ciało pokryte piórami jest warunkiem wystarczającym i niezbędnym, aby badane współcześnie żyjące zwierzę zaliczyć do ptaków,
  • nieposiadanie przez obiekt ani inwersyjnej osi symetrii, ani płaszczyzny symetrii jest warunkiem wystarczającym i koniecznym chiralności,
  • Księżyc znajdujący się na prostej łączącej naziemnego obserwatora ze Słońcem to warunek wystarczający i konieczny zaćmienia Słońca,
  • posiadanie 4 równych boków i 4 równych kątów to warunek konieczny i dostateczny, aby uznać czworokąt za kwadrat.

Podobne artykuły


10
komentarze: 14 | wyświetlenia: 1367
10
komentarze: 2 | wyświetlenia: 899
7
komentarze: 172 | wyświetlenia: 146
6
komentarze: 55 | wyświetlenia: 1705
6
komentarze: 48 | wyświetlenia: 423
5
komentarze: 62 | wyświetlenia: 775
124
komentarze: 52 | wyświetlenia: 141528
118
komentarze: 23 | wyświetlenia: 238338
91
komentarze: 20 | wyświetlenia: 110320
90
komentarze: 29 | wyświetlenia: 121947
 
Autor
Artykuł

Powiązane tematy






Brak wiadomości


Dodaj swoją opinię
W trosce o jakość komentarzy wymagamy od użytkowników, aby zalogowali się przed dodaniem komentarza. Jeżeli nie posiadasz jeszcze swojego konta, zarejestruj się. To tylko chwila, a uzyskasz dostęp do dodatkowych możliwości!
 

© 2005-2018 grupa EIOBA. Wrocław, Polska