Login lub e-mail Hasło   

Rozważania o liczbach

Odnośnik do oryginalnej publikacji: http://www.aries.com.pl/grzegorzj/liczby(...)ex.html
Witaj Drogi Czytelniku! Zapraszam do zapoznania się z opowieścią na temat liczb. Muszę cię jednak przestrzec, że poniższy artykuł nie stanowi ani wykładu teorii liczb, ani też n...
Wyświetlenia: 2.578 Zamieszczono 07/10/2008

Witaj Drogi Czytelniku! Zapraszam do zapoznania się z opowieścią na temat liczb. Muszę cię jednak przestrzec, że poniższy artykuł nie stanowi ani wykładu teorii liczb, ani też nie powiela tego, co można znaleźć w podręcznikach. Stanowi natomiast zbiór refleksji związanych z tytułowym zagadnieniem. W niektórych partiach związek ten jest bardzo luźny, a wywód ma charakter raczej filozoficzny niż matematyczny.

Lektura tego tekstu nie wymaga specjalistycznego przygotowania. I choć omawiam tu zagadnienia nieobecne w podręcznikach szkolnych, nie sądzę, aby do ich zrozumienia konieczna była wiedza akademicka. Z drugiej strony, dokładne zapoznanie się z przeprowadzonym tu wywodem prawdopodobnie pomoże w zrozumieniu różnych pojęć, zwłaszcza tych poznawanych w czasie studiów. Wykładowcy akademiccy nie mają często czasu ani możliwości na dokładne tłumaczenie zagadnień, które wprowadzają na swoich wykładach, dlatego teksty naświetlające te zagadnienia z zupełnie innej perspektywy mogą okazać się pomocne dla tych, którzy nie chcą jedynie bezmyślnie wkuwać podanej im wiedzy i woleliby zrozumieć materiał, który mają opanować.

Spodziewam się także, że w tym artykule znajdą coś ciekawego ci, którzy są po prostu ciekawi świata, a więc tacy, którzy wcale nie muszą posiąść podanej tu wiedzy. Kto wie, może jeszcze kiedyś okaże się ona użyteczna? Przecież na przykład problematyka kwaternionów, jedno z najbardziej abstrakcyjnych spośród omawianych tu zagadnień, a zarazem jedno z zagadnień najbardziej odległych tak od życia, jak i od szkolnej wiedzy, przydaje się bardzo programistom komputerowym, także tym, którzy woleliby mieć jak najmniej do czynienia z matematyką.

A zatem: zapraszam do lektury!

Liczenie „porównawcze” i „wielościowe”

Wycieczkę po krainie liczb zaczniemy w odległej przeszłości, gdy nasi przodkowie dopiero uczyli się liczyć. Wtedy to właśnie musiała też powstać koncepcja liczby naturalnej, a przynajmniej zaczęto czynić z niej praktyczny użytek, o czym szczegółowiej powiemy nieco niżej. Niestety, nie wiemy, jak dawno temu miało miejsce opanowanie umiejętności liczenia (a właściwie: zliczania). Przypuszczamy jednak, że musiała ona zostać częściowo opanowana jeszcze w czasach, gdy nasi przodkowie wiedli nadrzewny tryb życia. Wnioskujemy tak, gdyż wiemy, że ograniczone zdolności liczenia ma wiele gatunków ssaków, szczególnie naczelnych.

Na naszej planecie żyją jednak ludzie, którzy nie potrafią liczyć, i to nie z powodu choroby czy innego rodzaju niedoskonałości. Brzmi to trochę niewiarygodnie, a jednak jest prawdziwe. Rzecz dotyczy słynnego południowoamerykańskiego plemienia Pirahã (zob. po polsku – tutaj, po angielsku – tutaj, tutaj i tutaj). Jak wynika z badań, ludzie ci nie tylko nie umieją liczyć, ale także nie potrafią nauczyć się tej sztuki, mimo nadzoru fachowców. Skoro jednak do zliczania przedmiotów zdolne są pewne bliskie nam gatunki zwierząt, umiejętność ta musiała cechować także pierwszych ludzi Homo sapiens. Jednak umiejętności nieprzydatne w konkretnych warunkach środowiska zanikały podczas kulturowej ewolucji społeczeństw ludzkich – tylko tak możemy wytłumaczyć fenomen Pirahã, jak i niektóre inne podobne zjawiska znane antropologom kulturowym.

Wnioskujemy także, że umiejętność liczenia obiektów nie jest zapisana w naszych genach, a dziedziczone są najwyżej pewne wstępne predyspozycje. Dopiero kontakt z innymi ludźmi i z kulturą ludzką pozwala ukształtować w naszych mózgach pojęcie liczby. Raz zdobyte umiejętności nie muszę być przekazywane z pokolenia na pokolenie, gdy warunki życia nie będą sprzyjać temu przekazywaniu. Spostrzeżenie to, oparte na zbadanym przecież dogłębnie przykładzie ludu Pirahã, godne jest głębszej refleksji w dzisiejszych czasach, gdy książki zastępujemy w coraz większym stopniu filmami i innymi formami przekazów multimedialnych, i gdy dysponujemy komputerami zdolnymi do wykonywania skomplikowanych obliczeń, kontrolującymi w coraz większym stopniu produkcję urządzeń technicznych i nadzorującymi ich funkcjonowanie. Być może rację mają wizjonerzy uważający, że postęp nauki i techniki zostanie wkrótce całkowicie zahamowany, a ludzie zaczną we wszystkim polegać na maszynach, których nie będą już umieli sami naprawić. Niezbędna do tego celu wiedza stanie się jedynie udziałem innych maszyn. Ludziom niepotrzebna stanie się umiejętność czytania i pisania, skoro powszechnie dostępne będą formy komunikacji głosowej i wizualnej. A z czasem zbędna okaże się także być może umiejętność liczenia… i wtedy będziemy niczym dziś to słynne, amazońskie plemię.

Czym tak naprawdę jest liczenie, a właściwie zliczanie obiektów, o którym mowa w tym rozdziale? Wystarczy usiąść i spokojnie się zastanowić, by dojść do wniosku, że nie ma w nim właściwie żadnej magii, i że tak naprawdę zliczanie jest szczególnego rodzaju porównywaniem. Mamy oto przed sobą na biurku 5 ołówków. Skąd właściwie wiemy, że jest ich pięć? Cóż, wystarczy, jeśli jednoznacznie przyporządkujemy każdy z ołówków do palców naszej dłoni: jeden ołówek do jednego palca (używając terminów matematycznych powiemy, że tworzymy bijekcję, która elementom jednego zbioru przypisuje elementy innego zbioru, ale na razie zapomnijmy o ścisłej matematycznej terminologii). Okaże się wówczas, że do każdego palca dłoni został przyporządkowany jeden ołówek, i że każdy z ołówków został przyporządkowany do jakiegoś palca, a w dodatku każdy do innego. A ponieważ wiemy, że palców dłoni jest pięć, wnioskujemy, że liczonych ołówków jest także pięć.

Oczywiście na co dzień nikt nie używa do liczenia „metody palcowej”. Ponieważ z liczbami obcujemy właściwie od urodzenia, umiemy zwykle zliczać przedmioty bez pomocy porównywania ich z liczbą palców. W naszym umyśle istnieją już gotowe wzorce liczb, niekoniecznie realistyczne: „dwa” oznacza na przykład tyle, ile mamy dłoni, albo też oznacza przedmiot po lewej i przedmiot po prawej (a więc parę), „trzy” oznacza jeden przedmiot w środku i dwa po bokach, „cztery” to tyle, ile mamy palców bez kciuka, lub tyle, co para par, itd. W czasie swojego życia używamy tych porównań tak często, że w naszym mózgu kształtują się abstrakcyjne wzorce, idee liczb, i takie „naiwne” porównania, jak te do liczby palców dłoni, przestają być potrzebne. Wystarczy, że po prostu rzucimy okiem, i juz wiemy, z jaką liczbą obiektów mamy do czynienia, zwłaszcza gdy obiekty te są ułożone w sposób ułatwiający ich szybkie policzenie.

Metoda zliczania obiektów przez porównanie do innej grupy obiektów („liczenie porównawcze”), o znanej liczbie, jest dobra i skuteczna, dopóki liczonych obiektów nie jest zbyt dużo. Gdy ich liczba uniemożliwia dokonanie szybkiego porównania z jakąś inną znaną liczbą, często używa się tylko określeń w rodzaju „mało”, „dużo”, „mniej”, „więcej”. Nazwijmy ten rodzaj liczenia „wielościowym”. Wspomniani Indianie Pirahã stosują tylko tę metodę liczenia, gdyż dla nich nie do odróżnienia jest jedna duża ryba od kilku mniejszych ryb (z bardzo praktycznego punktu widzenia to rzeczywiście dokładnie to samo – jedną dużą rybą najemy się przecież tak samo jak kilkoma małymi). W wielu innych społeczeństwach i kulturach liczenie „wielościowe” rozpoczyna się po przekroczeniu pewnej liczby obiektów. Niekiedy liczba ta jest bardzo mała, nawet równa 2.

Wydaje się, że znacznie podniesienie umownej granicy „liczenia wielościowego” miało miejsce dopiero wtedy, gdy powstały społeczeństwa zorganizowane, których członkowie zostali obciążeni podatkami na rzecz panujących. Precyzyjne liczenie stało się konieczne zarówno do naliczania wysokości tych podatków, jak i też do stwierdzenia, czy uiszczony podatek jest już wystarczająco duży. A może ograniczenie „liczenia wielościowego” do naprawdę dużych liczb miało miejsce nawet znacznie wcześniej, w czasach, gdy ludzie zaczęli zajmować się zaawansowanymi formami rolnictwa i hodowli zwierząt, i związanym z tym handlem produktami rolnymi? Czy na przykład prymitywne plemiona nomadów mogły znać pojęcie „tysiąc” i właściwie używać tak dużej liczby? Nie jest to wykluczone: słowo oznaczające to właśnie pojęcie ukształtowało się prawdopodobnie u schyłku okresu prasemickiej wspólnoty językowej i związane było z bydłem. Wbrew dawniejszym twierdzeniom, wydaje się dziś, że koncepcja tej dużej przecież liczby istniała także w społeczeństwie praindoeuropejskim, gdzieś około roku 3 500 p.n.e.

W jaki jednak sposób doszło do powstania pojęć odpowiadającym liczbom, których nie da się obliczyć przez porównanie z liczbą palców? Tym problemem zajmiemy się w następnym rozdziale.

Liczby naturalne

Przeprowadzenie transakcji handlowej (lub stwierdzenie, czy stado posiadanych przez nas zwierząt jest kompletne) wymaga na ogół nieco innego postępowania niż porównanie liczonych obiektów z ilością posiadanych palców, gdyż mogłoby nam ich po prostu nie wystarczyć. Choć wydaje się to trywialne, musimy przede wszystkim skupić się i ustalić, które obiekty będą podlegać liczeniu, a które nie. Jeżeli chcemy dowiedzieć się, czy w posiadanym przez nas stadzie nie brakuje jednej z owiec, musimy właśnie na owcach skupić swoją uwagę, i nie zwracać uwagi na wałęsające się wśród nich kozy czy psy pasterskie. Z matematycznego punktu widzenia, aby dokonać zliczenia ilości owiec, musimy najpierw utworzyć zbiór tych zwierząt. Zbiór jest bardzo ciekawym pojęciem, bo niby każdy rozumie je intuicyjnie, a jednak nie da się powiedzieć w sposób ścisły, co ono właściwie oznacza (choć można wymienić jego właściwości). Zbiór jest więc pojęciem pierwotnym, a więc pojęciem, którego nie definiujemy. Podobnie pojęciem pierwotnym jest element, który należy do naszego zbioru. Dokładniej o pojęciach pierwotnych i o sztuce budowania definicji będzie jeszcze mowa, tu jedynie zauważymy, że istnieją pojęcia, które każdy z nas rozumie, a których nie da się wytłumaczyć przez odniesienie się do innych pojęć. Zbiór i element to takie właśnie pojęcia.

Jak jednak można komuś przekazać pojęcie, którego natury nie jesteśmy w stanie precyzyjnie opisać? No cóż, bardzo prosto. Wystarczy, jeśli pokażemy model tego pojęcia, lub najlepiej kilka modeli, a następnie zachęcimy naszego ucznia do skonstruowania własnego, podobnego modelu. Jeśli wykona zadanie poprawnie, możemy wywnioskować, że opanował pojęcie, którego znaczenie chcieliśmy mu przekazać. W przypadku owiec modelem zbioru może być zagroda, do której wpędzamy nasze stado, nie wpuszczając psów, kóz i innej posiadanej zwierzyny, a modelem elementu może być każda z owiec. Gdy chcemy policzyć kupowane na targu marchewki, takim modelem zbioru może być worek, w którym umieszczamy tylko owe marchewki (elementy tego zbioru) i nic innego. Choć takie porównania wydają się naiwne, tak przecież pracuje nasz umysł: aby opanować nawet najbardziej abstrakcyjne pojęcie, powinniśmy zacząć od konkretów. Nawiasem mówiąc, wielka szkoda, że zapomnieli o tym dydaktycy matematyki tworzący programy nauczania na wyższych poziomach edukacji (a może w ogóle programów tych nie układali dydaktycy?). W rezultacie, gdy przekazują studentom takie abstrakcyjne pojęcia jak grupa czy mapa (w topologii), posługują się językiem formalnym zamiast podania konkretnych przykładów, które pozwoliłyby opanować dane pojęcie przed poznaniem jego formalnej definicji. Takie właśnie postępowanie, całkowicie niezgodne z zasadami pracy naszego mózgu, powoduje, że wielu młodych ludzi nie rozumie matematyki i pewnie nigdy jej nie zrozumie.

Dość jednak tej (słusznej skądinąd) dygresji, wróćmy do liczenia naszych owiec. Wpędźmy je wszystkie do zagrody, a następnie przepędźmy do innej przez bardzo wąskie przejście, w którym nie zmieszczą się dwie owce obok siebie. Będziemy je teraz zliczać „metodą dodawania i porządkowania”. Weźmy w tym celu pewną ilość patyków, ostry nóż, usiądźmy przy przejściu, a gdy pojawi się w nim owca, wykonajmy nożem nacięcie na patyku, jednocześnie wypowiadając słowo „jeden”. Gdy w przejściu pojawi się następna owca, dodamy kolejne nacięcie, wypowiadając słowo „dwa”, kolejne słowo spośród tych, których uczyliśmy się jako małe dzieci, używając naszych palców jako pomocy naukowej: „jeden, dwa, trzy…”. Gdy policzymy tym sposobem 10 owiec (równie dobrze zrobilibyśmy to metodą porównawczą, wykorzystując jako wzorzec palce obu własnych dłoni), odłóżmy patyk z nacięciami, weźmy kolejny, i to na nim wykonujmy teraz nacięcia, znów licząc „jeden, dwa, trzy…”. Gdy uzbiera nam się tym sposobem 10 patyków, każdy z 10 nacięciami, zwiążmy je w pęczek i odłóżmy osobno, a następnie kontynuujmy liczenie, używając kolejnych patyków.

Jak należy odczytać wynik takiego liczenia „metodą dodawania” (kolejnych nacięć)? No cóż, po przeliczeniu naszego wielkiego stada może się okazać na przykład, że oto leżą obok nas 3 wiązki patyków, 7 pojedynczych patyków z pełną liczbą nacięć i jeszcze jeden patyk z 4 nacięciami. I właściwie to nam wystarczy: 3 wiązki, 7 patyków i 4 nacięcia oznacza liczbę 374 w języku, jakim się posługujemy. Musimy jeszcze tylko wiedzieć, że np. 3 wiązki, 7 patyków i 4 nacięcia znaczy więcej niż 2 wiązki, 9 patyków i 9 nacięć (a więc że liczba wiązek jest zawsze ważniejsza niż liczba patyków), oraz to, że układ wiązek, patyków i nacięć jest jednoznaczny: ponowne przeliczenie naszego stada doprowadzi do takiego samego układu. Jeżeli otrzymaliśmy wynik inny niż przy poprzednim liczeniu, wnioskujemy, że zadziałał drapieżnik, złodziej, lub że jakaś owca zagubiła się.

Dlaczego jednak nie można wykonywać nacięć na patykach np. po 7, po 18 czy po 32? Teoretycznie można, jednak mamy przecież łącznie 10 palców u rąk, nie 7, nie 18 i nie 32, stąd wybór właśnie tej, a nie innej liczby. Liczba 10 nie jest też ani za duża, by spamiętać nazwy kolejnych nacięć („jeden, dwa…”), ani za mała, by być mało wygodną przy obliczaniu dużej ilości przedmiotów. Dziesiątkowy system liczenia, który właśnie opisaliśmy, jest dlatego właśnie najbardziej powszechny na Ziemi. Systemy oparte na liczbie 5 (liczba palców jednej dłoni), 8 (liczba palców dłoni z wyjątkiem kciuków), 4 (liczba palców jednej dłoni bez kciuka) są możliwe, lecz rzadsze. Dość rozpowszechniony sposób liczenia o bazie 20 (łączna liczba palców rąk i nóg) jest najczęściej kombinowany, np. do wyrażenia pojęcia „jedenaście” nie używa się nowego, niezależnego terminu, ale mówi np. „obie ręce plus jeden palec”. Liczenie w systemie dwudziestkowym polega więc raczej na wykonywaniu dziesięciu nacięć na patyku i następnie na łączeniu patyków po dwa niż na wykonywaniu od razu 20 nacięć na jednym patyku.

Zbierzmy to wszystko, co ustaliliśmy dotąd. Pojęcie „liczba” oznaczało pierwotnie ilość elementów jakiegoś zbioru, którą można ustalić w sposób niedokładny („dużo”, „mniej” itd.), albo w sposób dokładny, zwłaszcza, gdy liczba ta nie jest bardzo duża. W tym celu można porównać dany zbiór z innym, o znanej liczebności, np. zbiór leżących na stole ołówków z liczbą palców. Można też zliczać poszczególne elementy dodając po jednym te niepoliczone do już policzonych. W praktyce ten drugi sposób wymaga od razu pewnego porządkowania, zwłaszcza gdy liczba liczonych obiektów przekracza liczbę elementów zbioru wzorcowego (którym najczęściej jest zbiór palców obu rąk). Wynik takiego zliczania przez dodawanie lub porównywanie nazywamy liczbą naturalną. Takie liczby jak 5, 7, 18, 32 czy 374 to właśnie liczby naturalne.

Kolejnym etapem rozwoju wiedzy o liczbach było powstanie arytmetyki. Opowiemy o tym w następnej części.

Arytmetyka

Przy liczeniu „wielościowym” wyodrębnianie liczonych jednostek (elementów liczonego zbioru) nie jest potrzebne: właśnie dlatego Indianie Pirahã nie potrafią odróżnić jednej dużej ryby od kilku małych. Jednak gdy liczenie ma charakter porównawczy, a zwłaszcza gdy odbywa się „metodą dodawania”, poszczególne elementy stają się istotne, gdyż je właśnie przypisujemy np. poszczególnym palcom czy robionym na patyku nacięciom. W umysłach ludzi, którzy po raz pierwszy zaczęli liczyć tą metodą, pojawiło się w końcu spostrzeżenie, że niezależnie od tego, co tak naprawdę liczyli, używali tych samych palców lub takich samych nacięć na patyku. Umysł ludzki wykazuje wrodzoną zdolność generalizacji w takich sytuacjach, zdolność wyszukiwania podobieństw różniących się z pozoru obiektów i zjawisk. Zwiemy ją zdolnością myślenia abstrakcyjnego. Właśnie ta zdolność, oraz spostrzeżenie, że policzenie np. siedmiu owiec, siedmiu słoni, siedmiu ludzi czy siedmiu fig wymaga użycia dokładnie takiej samej procedury, doprowadziły do pojawienia się koncepcji liczby (dziś mówimy: liczby naturalnej), która okazała się wkrótce niezwykle przydatna.

Zgodnie z tą koncepcją, liczony obiekt staje się jednostką, która występuje tyle razy, ile wynosi liczba. A zatem siedem owiec, siedem słoni, siedmiu ludzi czy siedem fig to 7u (gdzie u oznacza właśnie ową liczoną jednostkę). W podobny sposób można liczyć nie tylko osobne obiekty występujące w rzeczywistości, ale na przykład odległość czy pojemność: zamiast materialnego obiektu występuje tu wówczas umowna wielkość zwana jednostką miary. Warto zauważyć, że przeprowadzana operacja ma charakter mnożenia jednostki przez liczbę naturalną. Zdumiewające może nam się wydawać, że mnożenie okazało się bardziej elementarną operacją arytmetyczną niż dodawanie, nie należy jednak zapominać, że mowa tu o mnożeniu bardzo szczególnego typu.

Koncepcja liczenia przy pomocy jednostek została niekiedy rozwinięta i objęła także te obiekty, które teoretycznie da się policzyć bezpośrednio, dlatego na przykład obok 7 książek możemy także powiedzieć 7 egzemplarzy książki, a obok 3 jaja możemy powiedzieć również 3 sztuki jaj. W wielu językach wschodniej Azji możliwe jest liczenie tylko w ten sposób. Ewolucja języka szła tu prawdopodobnie równolegle do ewolucji liczenia jako mnożenia jednostki przez liczbę naturalną.

Koncepcja ta pomogła też prawdopodobnie oddzielić liczbę, rozumianą całkowicie abstrakcyjnie, od liczonego obiektu. To oderwanie mogło też pomóc w rozwoju pierwotnej arytmetyki, w której kolejno pojawiały się dodawanie, odejmowanie, (dowolne) mnożenie i wreszcie dzielenie.

Pierwotny pasterz, liczący na konkretach, a do tego metodą „porównawczą”, mógł mieć duży problem, gdy do jego stadka 5 kóz dołączyły jeszcze 3 kozy, które dostał od sąsiada w zamian za córkę. Aby odpowiedzieć, ile kóz ma teraz, musiał je policzyć od nowa, tj. porównać ich liczbę z odpowiednią liczbą palców. Problem miał nawet jego młodszy kolega, potrafiący liczyć metodą dodawania kolejnych obiektów: zrobił co prawda trzy nowe kreski na swoim patyku, nie potrafił jednak powiedzieć od razu, ile teraz jest kresek (a zatem i kóz), nie wymieniwszy ich nazw po kolei: „sześć, siedem, osiem” (czyli nie dodawszy trzech nowych jednostek metodą iteratywną). Umiejętność dodawania od razu więcej niż jednego obiektu do zliczonej już liczby, choć dla nas może oczywista, wymagała sporego wysiłku umysłowego, zapamiętania reguł, które moglibyśmy nazwać „tabelką dodawania”, a poza tym prawdopodobnie także ostatecznego oderwania liczby od liczonego przedmiotu.

Skąd przypuszczenie o przejściu na wyższy stopień abstrakcji? Otóż wcześniej zauważenie związku między sześcioma kozami, sześcioma drzewami i sześcioma słoniami mogło być trudne, a nazwy liczb mogły być raczej kojarzone z nazwami palców (do dziś liczebniki w wielu kulturach prymitywnych to po prostu nazwy części ciała, przy pomocy których dokonuje się liczenia). Jednak znacznie łatwiejsze było z pewnością zauważenie zależności między faktem, że trzy kozy dodane do sześciu kóz dają razem dziewięć kóz, że 3 słonie i 6 słoni to 9 słoni, wreszcie że 3 figi i 6 fig to 9 fig. Za każdym razem bowiem powtarzają się tu liczby 3, 6 i 9 w odpowiednim porządku, a to już powoduje spore podobieństwo między tymi trzema sytuacjami, nawet jeśli same słonie do fig raczej nie są podobne.

Długo jednak istniało przeświadczenie o różnicy między dodanie jednego elementu a dodaniem od razu kilku elementów. Dodanie jednego obiektu polegało bowiem jednie na wymienieniu nazwy kolejnej liczby, dodanie dwóch lub więcej obiektów oznaczało natomiast stosunkowo skomplikowaną operację arytmetyczną. Do problemu tego wrócimy w następnym rozdziale.

Jeszcze trudniej było odpowiedzieć na pytanie, ile kóz liczy obecnie stado, jeśli wcześniej liczyło 14 sztuk, a 3 sztuki zostały zarżnięte na zbliżającą się uroczystość. Jak to sprawdzić? Nie da się przecież w łatwy sposób zniszczyć karbów wykonanych na patykach do liczenia. Najlepiej po prostu przeliczyć całe stado od nowa… albo wykorzystać do tego celu palce, które przecież można łatwo zginać i prostować. Gorzej, jeżeli, jak w tym przypadku, liczonych obiektów jest więcej niż 10. Poza tym nawet odjęcie jednego obiektu oznacza przecież odliczanie wstecz, co wcale nie jest czynnością prostą do wykonania, jeżeli zazwyczaj liczymy w normalnym, rosnącym kierunku. Sztuka odejmowania okazała się więc trudniejsza od dodawania, a i dziś odjęcie 7 od 13 może sprawić problemy, zwłaszcza gdy nie mamy pod ręką nie tylko kalkulatora, ale nawet ołówka i kartki papieru. Można jedynie wyobrazić sobie, jakie problemy musiały tego typu działania arytmetyczne sprawiać naszym bezpiśmiennym przodkom.

Zauważmy też, że odejmowanie jest działaniem ograniczonym, gdyż nie każde dwie liczby naturalne można odjąć od siebie tak, aby otrzymać naturalny wynik. Pierwotnie nie stanowiło to żadnego problemu: jeśli miałem 7 kóz, nie było możliwe, by zdechło 9 z nich. Działanie zapisywane dziś jako 7 – 9 uznano by po prostu za nonsensowne, bo przecież w naturze nie zachodzą zjawiska, które można by opisać w taki sposób. Z czasem matematycy złamali to naturalne ograniczenie, ale o tym opowiemy dopiero w dalszych rozdziałach.

Mnożenie jest działaniem iteratywnym: oznacza wielokrotne dodawanie takiej samej liczby jednostek. Zamiast dodawać kolejno 4 piątki: 5 + 5 + 5 + 5, wystarczy pomnożyć liczbę 4 przez liczbę 5: 4 × 5. W obu przypadkach otrzymamy 20. Dla każdego, kto skończył kilka pierwszych klas szkoły podstawowej, to wynik oczywisty. Nie zawsze jednak tak było, a poza tym i tak mnożenie jest rachunkiem mało intuicyjnym: znalezienie wyniku polega na przypomnieniu sobie odpowiedniej pozycji z tabelki, którą każdy z nas starał się opanować pamięciowo (z różnym skutkiem).

Pojawienie się mnożenia miało zapewne związek z wyższymi formami cywilizacji, z handlem, podatkami czy sztuką wojenną. Oto przykłady konkretnych problemów, w rozwiązaniu których mnożenie okazało się bardzo pomocne. Jeśli jedną krowę możemy wymienić na 3 kozy, to ile kóz otrzymamy za 4 krowy? Podatek płacony w naturze od każdego rolnika mieszkającego w wiosce, której nadzorcą jesteśmy, wynosi 2 worki zboża rocznie. Jak dużo worków wyślemy władcy, jeśli w wiosce mieszka 19 rolników? Jeżeli w ciągu dnia nasze wojsko przejdzie 15 mil, jaką odległość pokona w ciągu tygodnia?

Wreszcie ostatnim „naturalnym” działaniem arytmetycznym jest dzielenie, mające niestety dość duże ograniczenia. Pięknie, jeżeli nasze wojsko ma do przebycie 45 mil, a dziennie przechodzi 15 – nietrudno policzyć (tj. nam nietrudno jest policzyć, nasi przodkowie musieli mieć z tym na początku olbrzymie problemy), że marszruta zajmie 3 dni. Pół biedy, jeśli do przebycia jest 50 mil: wiadomo, że do celu dojdziemy w czasie 4 dnia. Jeśli jednak mamy tylko dwie kozy, a trzech synów, nie można ich obdarować po równo, bo kóz po prostu nie starczy. Jeżeli znów kóz jest pięć, powstaje problem innego rodzaju: każdy z synów otrzyma po jednej kozie, co jednak zrobić z dwiema pozostałymi?

Dzielenie okazało się więc działaniem niezwykle kapryśnym. Nie dość, że dzielony zbiór (dzielna) musiał zawierać więcej obiektów niż ilość części (dzielnik), to jeszcze wynikiem dzielenia okazywały się często dwie liczby: oprócz „właściwego” wyniku zjawiała się reszta, z którą nie za bardzo wiadomo było, co robić. Dzięki tym własnościom dzielenie pchnęło jednak do przodu całą matematykę, a przede wszystkim naukę o liczbach, którą się tutaj zajmujemy. Zanim jednak omówimy dalszy rozwój tej nauki, wróćmy jeszcze do problemu, jakie dokładnie liczby można uznać za naturalne, a jakich nie można.

Podobne artykuły


10
komentarze: 14 | wyświetlenia: 1367
10
komentarze: 2 | wyświetlenia: 898
7
komentarze: 170 | wyświetlenia: 132
6
komentarze: 55 | wyświetlenia: 1699
6
komentarze: 48 | wyświetlenia: 421
5
komentarze: 62 | wyświetlenia: 773
124
komentarze: 52 | wyświetlenia: 141526
118
komentarze: 23 | wyświetlenia: 238329
91
komentarze: 20 | wyświetlenia: 110314
90
komentarze: 29 | wyświetlenia: 121943
 
Autor
Artykuł

Powiązane tematy






Brak wiadomości


Dodaj swoją opinię
W trosce o jakość komentarzy wymagamy od użytkowników, aby zalogowali się przed dodaniem komentarza. Jeżeli nie posiadasz jeszcze swojego konta, zarejestruj się. To tylko chwila, a uzyskasz dostęp do dodatkowych możliwości!
 

© 2005-2018 grupa EIOBA. Wrocław, Polska