Login lub e-mail Hasło   

Liczby Fibonacciego

Liczby Fibonacciego to matematyczny ciąg liczbowy, którego wartości i stosunki odpowiadają zadziwiająco licznym i różnorodnym zjawiskom przyrodniczym i artystycznym.
Wyświetlenia: 16.220 Zamieszczono 06/11/2008

fibonLiczby Fibonacciego to matematyczny ciąg liczbowy, którego wartości i stosunki odpowiadają zadziwiająco licznym i różnorodnym zjawiskom przyrodniczym i artystycznym. Ciąg ten wziął swą nazwę od trzynastowiecznego uczonego i wynalazcy, Leonarda z Pizy, zwanego Fibonaccim. W jednym z rozdziałów swego słynnego traktatu Liber Abaci postawił on problem matematyczny: jeśli izolujemy parę królików, to "ile królików urodzi się w ciągu jednego roku, jeżeli założymy, że co miesiąc para królików produkuje następną parę, a króliki zaczynają rodzić młode w wieku dwóch miesięcy?". Aby dojść do rozwiązania zadania, powinniśmy przygotować trzy listy: na jednej umieścimy całkowitą liczbę par królików pod koniec każdego miesiąca, na drugiej liczbę par dojrzałych, na trzeciej - par niedojrzałych. Okaże się, że wszystkie trzy są identyczne (poza tym, że lista par niedojrzałych zaczyna się zerem, lista par dojrzałych - dwiema jedynkami, a lista wszystkich par - jedynką). Lista wszystkich par pod koniec każdego miesiąca wygląda następująco: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 i wreszcie 377. Ostatnia liczba na tej liście to rozwiązanie zadania Fibonacciego - w ciągu dwunastu miesięcy urodziło się 376 par królików (musimy odjąć parę początkową, która urodziła się już wcześniej). Pełna sekwencja Fibonacciego to lista par dojrzałych: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 itd. Ciąg liczbowy ma tę własność matematyczną, że każda wartość (od drugiej włącznie równa jest sumie dwóch poprzednich. Przy użyciu tej metody możemy wydłużać ciąg w nieskończoność. Ciąg Fibonacciego ma jeszcze jedną ciekawą własność matematyczną. Można ją przedstawić, tworząc listę ilorazów każdej wartości do poprzedzającej ją (n/n). Dla x x-l pierwszych dwóch wartości stosunek ten wynosi 1/1, czyli po prostu 1. Dalej mamy 2/1, czyli 2. Trzeci iloraz wynosi 3/2=1,5. Czwarty to 5/3, czyli około 1,67. Piąty - 8/5=1,6. Kilka następnych ilorazów to 1,625; około 1,616; około 1,619; wreszcie około 1,618. W osiemnastym wieku stwierdzono, że ilorazy te w końcu zbiegają się na pewnej niewymiernej liczbie, zwanej fi. Wynosi ona w przybliżeniu 1,618034 (jeszcze dokładniej fi to połowa pierwiastka kwadratowego z pięciu, plus jeszcze pół). Oznacza to, że podążając wyżej w ciągu liczbowym Fibonacciego, każda wartość jest około 1,618034 raza większa od poprzedniej. Właśnie liczba fi odegrała ważną rolę w cywilizacji Zachodu. Znana była jako złota liczba, ponieważ wyrażała ułamek, który starożytni Grecy zwali boską proporcją. Greccy geometrzy przy użyciu cyrkla i linijki potrafili podzielić każdy odcinek na dwie części, tak że stosunek długości odcinka dłuższego do krótszego równał się stosunkowi długości całego odcinka do części dłuższej. Podział zwano złotym, proporcjonalny stosunek znany był jako boska proporcja, a wyrażająca go liczba była to złota liczba lub złoty iloraz. Innymi słowy, cały odcinek jest około 1,618034 razy dłuższy od jego dłuższej części, a ta właśnie dłuższa część jest około 1,618034 razy dłuższa od części krótszej. Klasyczna cywilizacja grecka, zwłaszcza tradycje pitagorejskie i platońskie, próbowała zjednoczyć wszystkie sztuki i dyscypliny naukowe zgodnie z zależnościami harmonijnymi, które były według nich nieodłączne od wszechświata. W każdej dziedzinie badań - na przykład nad społeczeństwami ludzkimi - pojedynczego osobnika rozpatrywano jako zajmującego unikalne miejsce w hierarchii wszystkich osobników. Zależności hierarchiczne między osobnikami odzwierciedlały zasady matematyczne, zwłaszcza boską proporcję. Jak pisze Platon w Timaiosie, trzy wartości w boskiej proporcji - największa (cały odcinek), średnia (większa część) i najmniejsza (mniejsza część) - są "z konieczności równe sobie i takie same, a ponieważ są takie same, są w rzeczywistości jednym". W ciągu boskich proporcji każda część jest mikrokosmosem, czyli zmniejszonym modelem całości. Greccy artyści i architekci używali wyjątkowo często złotych prostokątów - to znaczy takich, w których iloraz długości dłuższego do krótszego boku jest równy złotej liczbie. Wierzyli oni, że figura ta z natury podoba się duszy i sprawia jej przyjemność. Jeśli od złotego prostokąta odetnie się kwadrat, pozostała część jest także złotym prostokątem. Takich złotych prostokątów z małymi złotymi prostokącikami i tak dalej używano do projektowania rysunku na podłodze oraz fasad świątyń. Według tego wzoru powstał, na przykład, słynny Partenon na Akropolu w Atenach. Zgodnie z boską proporcją konstruowano także greckie wazy i rzeźby figuralne. Na przykład pępek rzeźby dzielił wysokość ciała na dwa złote odcinki, w ten sam sposób szyja dzieli górną część ciała zgodnie z boską proporcją, oczy dzielą głowę i tak w nieskończoność. Od czasów renesansu w Europie w tradycji sztuk pięknych często pojawia się boska proporcja w kształtach płócien, rozmiarach postaci i innych szczegółach. Nawet kompozytorzy używali jej do projektowania iloczasu w muzyce. W tym wypadku czas zastępuje przestrzeń jako dzielony wymiar. O ile wiadomo, użycie boskiej proporcji w muzyce do dziewiętnastego wieku, choć częste, nie było zamierzone! Dowodzi to raz jeszcze, że owa proporcja jest w sposób naturalny przyjemna dla duszy. W dziewiętnastym wieku odkryto także, że kształty wielu spośród tysięcy pospolitych prostokątnych przedmiotów, takich jak karty do gry, okna, okładki książek i zeszytów, zbliżone są do złotych prostokątów. Od tego czasu zawodowi projektanci celowo używają złotego podziału do projektowania opakowań, szyb wystawowych i reklam. Ze złotym prostokątem spokrewniona jest inna figura geometryczna, złota spirala. Aby uzyskać taką spiralę, należy narysować zestaw złotych prostokątów jeden w drugim, coraz mniejsze. Uzyskamy w ten sposób także serię zmniejszających się stopniowo kwadratów. Teraz wystarczy narysować w każdym z nich łuk (wycinek koła), przy czym boki kwadratów muszą wyznaczać promień łuków. Powstała krzywa bardzo bliska jest złotej spirali, zwanej także spiralą logarytmiczną (dokładne równanie krzywej uwzględnia złotą liczbę jako czynnik wykładniczy). Złotą spiralę odnajdziemy w sztuce wielu kultur i w przyrodzie. Przejawia się ona w sposobie wzrostu lub muszli wielu pospolitych żyjątek morskich, od planktonowych pierwotniaków do ślimaków i przepięknego łodzika. Dolne powierzchnie fal na oceanie tworzą złotą spiralę. W związku z tym wielu budowniczych okrętów uwzględniło ten kształt, projektując kotwice. Większość rogów, pazurów, kłów, dziobów i szponów różnych form życia przypomina w wysokim stopniu złotą spiralę, podobnie jak olbrzymie spiralne ramiona Drogi Mlecznej i wielu innych galaktyk. Złota spirala pojawia się w ogonach komet i w sieciach niektórych pająków. Złota spirala, powstała na bazie serii zmniejszających się złotych prostokątów. Pewne jej elementy znajdziemy także, na przykład, w układzie nasion w owocach wielu gatunków roślin, łusek na owocach ananasa i szyszkach sosny. Te i inne przykłady z dziedziny botaniki, jak odkryto, wyrażają boską proporcję jeszcze w inny sposób, a mianowicie poprzez liczby z ciągu Fibonacciego. Na przykład, na owocostanie typowego słonecznika układ nasion bardzo często odpowiada następującemu wzorowi: 89 spiral odchodzących ciasno w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara, 55 - przeciwnie do kierunku ruchu wskazówek zegara i wreszcie 34 znacznie mniej ciasno zgodnie z zegarem. Powyższe liczby stoją obok siebie w, ciągu Fibonacciego. Największy znany słonecznik miał spirale dające się odpowiednio opisać wzorem: 144/89/55.
         U wielu gatunków roślin, zwłaszcza z rodziny Astemceae (takich jak słoneczniki, stokrotki itp.) ilość płatków każdego kwiatostanu to zwykle liczba Fibonacciego, na przykład 5, 13, 55, a nawet 377, jak u przypołudnika. Łuski szyszki sosny układają się w dwie serie spiral od ogonka w górę - jedna zgodnie z ruchem wskazówek zegara, druga przeciwnie. Przebadano ponad 4000 szyszek dziesięciu gatunków sosny i stwierdzono, że ponad 98 procent posiadało ilość spiral w obu kierunkach zgodną z liczbą Fibonacciego. Co więcej, liczby te w ciągu leżały obok siebie lub bardzo blisko, to znaczy, na przykład, 8 spiral w jedną stronę, 13 w drugą albo 8 w jedną, 21 w drugą. Łuski owocostanu ananasa wykazują jeszcze mniejszą zmienność w zjawiskach Fibonacciego: z 2000 prób typowych ananasów żaden nie stanowił wyjątku od tej reguły. Liczby Fibonacciego odnajdziemy często także w ułożeniu liści na pędzie u roślin wyższych. U wielu drzew, zależnie od gatunku, co drugi, co trzeci, co piąty, co ósmy lub co trzynasty liść wyrasta w tym samym kierunku. Te odkrycia z dziedziny botaniki, zoologii i astronomii nie zdziwiłyby starożytnych Greków, którzy byli przekonani o geometrycznej harmonii wszechświata. Obecnie niektóre z przedstawionych tu danych wykorzystała teoria "dynamicznej symetrii", rozwinięta przez amerykańskiego uczonego, Jaya Hambridge'a. Przypisuje on dynamiczne własności sztuki greckiej użyciu "wirujących kwadratów" o boskiej proporcji. Może zostanie odkryta jakaś podstawowa zasada wzrostu, która połączy wszystkie przyrodnicze przykłady złotych zjawisk i wskaże jeszcze inne, dotychczas nie znane ich przejawy i wspólne tło? Może istoty ludzkie nieświadomie wykorzystały zasadę występującą w zjawiskach naturalnych jako standard w ocenianiu dzieł sztuki?         fib

Z drugiej strony, równie dobrze możemy mieć do czynienia ze zbiegiem okoliczności. Udowodniono, że ilość dostępnych artyście uporządkowanych wzorów nie jest nieograniczona. Pewne powtórzenia w tym zakresie są zatem nieuniknione. Poza tym, wiele wielkich dzieł sztuki nie ma żadnego widocznego związku z boską proporcją, natomiast większość przytoczonych powyżej przykładów jest tylko pewnym przybliżeniem ideału. Wreszcie, umiłowanie boskiej proporcji może wydawać się obecnie naturalne dopiero w wyniku jej długiego używania przez starożytnych Greków i ich naśladowców. Podobnie w przyrodzie cytowane tu zjawiska mogą być tylko przypadkowymi bądź przybliżonymi przejawami złotej spirali czy sekwencji Fibonacciego. W każdym wypadku przykłady nie dowodzą ogólnej prawidłowości. W wielu dziedzinach przedstawiono konkretne teorie, mające wyjaśnić niektóre specyficzne wypadki, jak na przykład ułożenie liści na łodydze. Teorie te nie mają uniwersalnego zastosowania. Nawet jeśli nigdy nie znajdziemy uniwersalnego wyjaśnienia, badania zjawisk typu Fibonacciego i złotego podziału mogą być traktowane jako użyteczna wprawka w poszukiwaniach jedności i relacji matematycznych w otaczającym nas świecie. W końcu właśnie poszukiwanie było podstawową metodą i celem samym w sobie filozofii greckiej i w dalszym ciągu ożywia współczesną naukę.

Podobne artykuły


55
komentarze: 19 | wyświetlenia: 74325
60
komentarze: 41 | wyświetlenia: 7582
23
komentarze: 8 | wyświetlenia: 904
10
komentarze: 2 | wyświetlenia: 25201
33
komentarze: 17 | wyświetlenia: 2554
11
komentarze: 55 | wyświetlenia: 3794
19
komentarze: 4 | wyświetlenia: 9852
20
komentarze: 24 | wyświetlenia: 23262
10
komentarze: 2 | wyświetlenia: 3545
13
komentarze: 8 | wyświetlenia: 47768
19
komentarze: 14 | wyświetlenia: 48849
13
komentarze: 7 | wyświetlenia: 5449
29
komentarze: 8 | wyświetlenia: 27337
18
komentarze: 8 | wyświetlenia: 1127
 
Autor
Dodał do zasobów: Marek Marecki
Artykuł



  counter,  15/11/2008

Dzięki za artykuł, bardzo ciekawy :-) Duch natury wyraża się w materii za pomocą matematycznej harmonii, we wszystkim co piękne można odkryć subtelny dotyk magicznego złotego podziału, od świata subatomowego do makrokosmosu. Szkoda że tak mało się o tym mówi i pisze, bo to bardzo ciekawy temat.

Temat oczywiście bardzo ciekawy, ale z koniecznym rozróżnieniem, że wśród liczb Fibonacciego nie wykryto do tej pory liczby złotego podziału : 1.618033988749948 ..... Powodem jest fakt, o którym pisze też autor artykułu, że ilorazy tworzące ciąg Fibonacciego "zbiegają się na pewnej niewymiernej liczbie fi" (oscylują wokół niej). Na przykład jeden z ilorazów tego ciągu tj : (196418+121393) : 196418 ...  wyświetl więcej

Inne właściwości:

1. Ciąg liczb Fibonacciego opisuje wzrost pewnej hipotetycznej rośliny. Zaczynamy od jednego odcinka pędu. Rocznie przyrasta jeden odcinek na każdym wolnym końcu odcinka. Odcinek boczny wyrasta z odcinka dwuletniego.

2. 1/fi=fi-1

He he, a ja miałam piątkę z matmy i po raz pierwszy o tej teorii przeczytałam właśnie tutaj. Chyba mam spore braki :)

  Bar_ka  (www),  01/07/2011

Zadziwiające jest jak często spotyka się te liczby w naturze.
http://www.youtube.com/watch?v(...)=fvwrel
http://www.youtube.com/watch?v(...)related



Dodaj swoją opinię
W trosce o jakość komentarzy wymagamy od użytkowników, aby zalogowali się przed dodaniem komentarza. Jeżeli nie posiadasz jeszcze swojego konta, zarejestruj się. To tylko chwila, a uzyskasz dostęp do dodatkowych możliwości!
 

© 2005-2014 grupa EIOBA. Wrocław, Polska