Wyznaczamy gęstość krytyczną dwiema metodami, bazującymi na dzisiejszym modelowaniu Wszechświata. Czy równa jest tej wyznaczonej na bazie równości promieni: R(g) = R(H) ?
23. Gęstość krytyczna
W poprzednim artykule wyznaczyłem gęstość Wszechświata bazując na zapostulowanej wcześniej równości promieni Wszechświata: hubblowskiego i grawitacyjnego. Dodatkowo przyjąłem za bazę płaskość geometrii wszechświata, argumentując to w sposób, trzeba przyznać, dość niekonwencjonalny. Przedstawiłem też przesłanki dla tej samej konkluzji (płaskość), jak najbardziej zbieżne z dzisiejszym widzeniem spraw. W tym przypadku panuje więc, jak zauważyłem, consensus omnium.
Tym razem zajmiemy się gęstością krytyczną. Posiadać ją powinien Wszechświat ewoluujący zgodnie z modelem krytycznym, jednym z trzech przewidywanych przez równanie Friedmanna. Uczynimy to stosując dwa różne podejścia. Pierwsze, to właściwie opis metody zastosowanej przez Stevena Weinberga w jego słynnej książce pt. "Pierwsze trzy m inuty" (Iskry 1980).
Wybieramy w sposób losowy jakąś galaktykę. Jej masa równa jest m, a prędkość radialna względem nas (w sensie kosmologicznym) równa jest v. Jej odległość od nas równa jest r. My stanowimy początek układu współrzędnych i oczywiście centrum Wszechświata. Każdy obserwator to powie niezależnie od tego w jakiej galaktyce mieszka, zgodnie z zasadą kosmologiczną. Wybrana przez nas galaktyka znajduje się na powierzchni fikcyjnej kuli o promieniu r, obejmującej określoną liczbę galaktyk, wśród nich naszą (wraz z materią międzygalaktyczną), której masa wynosi M*. Oprzemy się na newtonowskim prawie powszechnego ciążenia. Wiadomo, że pozostała część Wszechświata, ponad wybraną przez nas galaktyką, nie ma wpływu grawitacyjnego na wynik naszych rozważań. Tak samo, jak warstwa o dowolnej grubości zalegająca powyżej osoby mierzącej swój ciężar, a znajdującej się na określonej głębokości pod powierzchnią ziemi. Tam o jego ciężarze decyduje wyłącznie masa tej części Kuli Ziemskiej, która znajduje się poniżej. W samym centrum ciężar każdego ciała równy jest zeru. Wykazać to można rachunkiem. Bardziej ogólny opis tej prawidłowości wyraża prawo Gaussa, słuszne także w odniesieniu do pola elektrostatycznego. Energia potencjalna galaktyki równa jest:
E(p) = – GmM*/r
Jej prędkość radialna, zgodnie z prawem Hubble’a: v = Hr, więc jej energia kinetyczna:
E(k) = mv^2/2 = m(Hr)^2/2
Zatem łączna energia:
E = E(p) + E(k) = – GmM*/r + m(Hr)^2/2
Jeśli podstawimy:
M* = 4πr^3ρ/3
Co wolno zrobić, gdyż wychodzimy z założenia, że przestrzeń jest płaska.
Otrzymujemy:
E = mr^2(H^2/2 – 4πρG/3) [Ж]
(Pamiętamy, że gęstość lokalna, choć o znaczeniu kosmologicznym, w myśl zasady kosmologicznej, wszędzie jest jednakowa.)
Wybrana przez nas galaktyka może znajdować się na samym horyzoncie, bo przecież nie ograniczaliśmy odległości w jakiej się ona znajduje. Wówczas masa łączna znajdująca się „pod” nią: jest masą całego Wszechświata. Wzory powyższe oczywiście pozostają w mocy. Przedysktujmy wzór [Ж]. Od razu widać, że istnieją tu trzy możliwości. Gdy E > 0, co oznacza, że wartość liczbowa energii potencjalnej mniejsza jest niż wartość energii kinetycznej, grawitacja jest zbyt słaba by zahamować ekspansję – model otwarty. Gdy E < 0, sytuacja odwrotna, grawitacja jest wystarczająco silna by zatrzymać ekspansję i spowodować w następstwie tego zapadanie się Wszechświata. Oczywiście mowa tu o modelu zamkniętym. Jeśli E = 0, Wszechświat rozwija się według modelu krytycznego. Ten właśnie przypadek interesuje nas. Ze wzoru [Ж] otrzymujemy:
E = 0 <=> H^2/2 = 4πρ(kr)G/3 <=> ρ(kr) = 3H^2/8πG
Tutaj: ρ(kr) - gęstość krytyczna Wszechświata. Jak widać otrzymaliśmy, zupełnie inną drogą, wzór [пś] podany w poprzednim artykule. Otrzymaliśmy wzór na gęstość krytyczną identyczny ze wzorem na gęstość Wszechświta, bazującym na postulacie o równości promieni grawitacyjnego i hubblowskiego. Tutaj jednak, to jedna z trzech możliwości. Mimo wszystko w związku z dość wyraźnymi przesłankami wskazującymi na płaskość przestrzeni Wszechświata, uwaga badaczy koncentruje się właśnie na tej opcji. Problem polega na tym, że obserwacyjnie stwierdzona masa (a właściwie parametr gęstości pochodzący od masy materii widocznej, a nawet ciemnej), jest zbyt mała, by zapewnic krytyczność.
W związku z tym rzeczą zrozumiałą jest poszukiwanie dodatkowej masy (dla uzyskania masy krytycznej). W koncepcji proponowanej w tej pracy problem ten nie istnieje, a "doszlusowanie" masy równoważnej ciemnej energii (ponoć aż 70% masy Wszechświata) jest chyba sporym nieporozumieniem, jest wprost fikcją, mnożeniem bytów ponad potrzebę. Być może szwankuje dzisiejsza koncepcja pomiaru Ω. To światoburcze podejście zbieżne jest z wyrażoną już opinią, że Wszechświat dostępny obserwacji jest zupełnością, w przeciwieństwie do obowiązujących dziś poglądów. By udobruchać co bardziej gniewnych czytelników przyznaję, że na razie opinia ta nie jest ostatecznym wyrokiem skazującym na banicję dzisiejsze widzenie spraw. Jeśli już, to zesłać trzeba by było (w każdym przypadku) piszącego te słowa pomimo, że bazuje on na przesłankach dość racjonalnych, nie mniej zresztą, niż te, które są przyczyną emocji. Tak się jakoś składa, że on ma już zsyłkę za sobą. Z innego powodu. Ale mniejsza o to. Dodajmy, że jeśli mimo wszystko istnieje coś poza horyzontem (tak sądzi większość zainteresowanych), rozważanie tego czegoś miałoby wyłącznie charakter spekulacji, niewiele wnoszącej do wizji ostatecznej przez jej niesprawdzalność.
Oto wartość liczbowa gęstości krytycznej, odpowiadająca przyjętej przez nas wartości współczynnika H = 20:
ρ(kr) = 8*10^-27kg/m^3
Jest to oczywiście wartość dzisiejsza. Porównajmy tę wartość z gęstością wyznaczoną na podstawie oszacowanej przez nas w artykule 14, masy Wszechświata i odpowiadającemu jej promieniowi Schwarzschilda. Oto obliczenie tej gęstości:
ρ = M/V = 3M/4πR^3 = ...
ρ = 3*10^53/4π(15,67*10^9*9,46*10^15)^3 [kg/m^3] = 7,3*10^-27 [kg/m^3]
Wyniki powyższych obliczeń są bardzo zbliżone do siebie. Świadczy to chyba na korzyść przedstawionej tu koncepcji.
Uczyńmy krok następny. Oto równanie Friedmanna:
(å/a)^2 = 8πGρ/3 – kc^2/a^2
gdzie, a – czynnik skali Wszechświata (kropka u góry oznacza jego pochodną względem czasu), k – wielkość stała w czasie i w przestrzeni, opisuje geometrię Wszechświata, rodzaj jego krzywizny. k > 0 oznacza krzywiznę sferyczną Wszechświata zamkniętego, k < 0 – krzywiznę hiperboliczną Wszechświata otwartego, a k = 0 – przestrzeń płaską, w której Wszechświat ewoluuje według modelu krytycznego. Dodać do tego należy, że wielkość c^2 (kwadrat prędkości światła) na ogół, szczególnie w pismach fachowych jest pomijana poprzez przyjęcie, że równa jest jedności. Ma to uzasadnienie nie tylko praktyczne (uproszczenie rachunków). Ale nie zbaczajmy z tematu.
Czynnik skali (a) jest funkcją czasu i związany jest bezpośrednio z tempem ekspansji. Jeśli w ciągu jakiegoś czasu czynnik na przykład potraja się, oznacza to, że potroiły się też rozmiary Wszechświata. Ekspansja ta jednak nie jest „wybuchem granatu”. Jest rozszerzaniem się przestrzeni, w której zawarta jest materia (zgodnie z dzisiejszym pojmowaniem sprawy). Powoduje to, że odległości wzajemne galaktyk (w skali kosmologicznej) wciąż wzrastają, pomimo, że nie chodzi tu o ich względny ruch „z własnej inicjatywy”. Czy można więc powiedzieć że ruch w skali kosmologicznej nie jest jakością kinematyczną w sensie newtonowskim? Wynikałby stąd bardzo wygodny wniosek, że „prędkość” względna obiektów przekraczać może, nawet znacznie, prędkość światła w próżni. Wystarczy, że są one odpowiednio odległe od siebie. Stało się to ponoć już w czasie tak zwanej inflacji, a istnienie tych odpowiednio odległych jest jej konsekwencją.
Zatem cała ekspansja jest sprawą „osobistą” czasoprzestrzeni, a galaktyki pozostają, w gruncie rzeczy, w spoczynku względem siebie (nie licząc nie liczacych się lokalnych ruchów własnych), pomimo ekspansji i wzajemnego oddalania się wskutek niej. Jaka jest ta stała odległość między nimi (gdyby nie uwzględniać ekspansji)? – można by zapytać. Bardzo interesujące pytanie, szczególnie wobec przyjętej, przez niektórych, nawet a priori, tezy, że Wszystko zaczęło się od punktowej (powiedzmy: prawie) osobliwości. Czy mowa tu więc o samowoli i aktywiźmie samej przestrzeni wobec bezwolności i bierności materii? A gdyby tak całkiem bez materii? Dlaczego nie? Model de Sittera to nie łaska? Tak, ale wielkość zakrzywienia bezpośrednio zależy od łącznej masy. Także masy najmniejszych ciał, nawet cząstek elementarnych... Zgodnie z koncepcją zaprezentowaną w tej pracy, mającą między innymi służyć za test sprawdzający (swą alternatywnością), być może dla dobra dzisiejszych przekonań, chodzi mimo wszystko o rzeczywisty ruch, z tym, że w zamkniętej (nie newtonowsko-nieskończonej) przestrzeni. Zamkniętej tym, że tworzy ją określona formacja topologiczna, na której własności wskazują cechy ewolucji Wszechświata, zasugerowane w tekście i w różnych kontekstach. Formacja ta czyni Wszechświat tworem periodycznie zmiennym.
Powróćmy do równania Friedmana. Zwróćmy uwagę na pierwszy człon jego prawej strony, a właściwie na wymiar: 1/s^2 (kwadrat odwrotności jednostki czasu). Ten sam wymiar ma oczywiście strona lewa, w której występuje czynnik skali a. Wymiar lewej strony wskazuje na to, że sam czynnik skali posiada wymiar długości. Chodzi więc o kwadrat stosunku prędkości i odległości. Sens odległości tu jest jednak inny niż zwykle, bo chodzi tu o wielkość związaną z ekspansją przestrzeni. Można wykazać niesprzeczność tezy, że wielkość stanowiąca lewą stronę równania równa jest kwadratowi współczynnika Hubble’a. Stąd zresztą od razu wynika, że współczynnik ten określa "tempo ekspansji". Otrzymujemy więc:
(å/a)^2 = H^2 <=> H = å/a
Równanie Friedmana możemy więc zapisać w nieco zmienionej postaci:
H^2 = 8πGρ/3 – kc^2/a^2
Stąd możemy obliczyć gęstość krytyczną. W tym przypadku krzywizna (k) równa jest zeru. Zatem:
H^2 = 8πGρ(kr)/3 <=> ρ(kr) = 3H^2/8πG
Otrzymujemy znany nam wzór. Zapostulowana równość promieni: grawitacyjnego i hubblowskiego prowadzi do tego samego wzoru. Sam postulat ma więc jakieś uzasadnienie, nawet, jeśli stanowi niespodziankę. Zwróciłem już na to uwagę wcześniej.