Login lub e-mail Hasło   

Trójkąty jako figury geometryczne płaskie i ich najważniejsze elementy

Odnośnik do oryginalnej publikacji: http://matma.net/cgi-bin/index.cgi?a=teo(...)rojkaty
Trójkąt jest wielokątem o trzech bokach Suma miar kątów wewnętrznych trójkąta jest równa 180°. + + = 180°. Każdy bok trójkąta jest...
Wyświetlenia: 83.844 Zamieszczono 09/06/2006
Trójkąt jest wielokątem o trzech bokach
Suma miar kątów wewnętrznych trójkąta jest równa 180°.
+ + = 180°.

Każdy bok trójkąta jest mniejszy od sumy dwóch pozostałych boków tego trójkąta.
|AB| < |AC| + |BC|, |AC| < |AB| + |BC| i |BC| < |AB| + |AC|


Wysokości trójkąta

Wysokością trójkąta nazywamu odcinek poprowadzony z wierzchołka trójkąta prostopadle do przeciwległego boku lub do przedłużenia tego boku.
Każdy trójkąt ma trzy wysokości, które przecinają sie w jednym punkcie zwanym ortocentrum (p.O).




Środkowe boków trójkąta

 


|DS| = |CD|, |ES| = |AE|
oraz |FS| = |BF|
Środkową boku trójkąta nazywamy odcinkiem łączącym środek tego boku z przeciwległym bokiem tego trójkąta. Każdy trójkąt ma trzy srodkowe przecinające się w jednym punkcie (p.S), który nazywamy środkiem ciężkości tego trójkąta.

Punkt S (środek ciężkości) dzieli każdą środkową w stosunku 1:2, czyli:
|DS| = |CS|, |ES| = |AS| oraz |FS| = |BS|.


Odcinki łączące środki boków trójkąta

 

Odcinki łączące środki boków trójkąta są równoległe do przeciwległych boków i równe ich połowie.

DF||AB i |DF| = |AB|, EF||AC i |EF| = |AC| oraz DE||BC i |DE| = |BC|


Dwusieczne kątów trójkąta

 

Dwusieczna kąta jest to półprosta dzieląca kąt na połowy.
Każdy trójkąt ma trzy dwusieczne przecinające się w jednym punkcie (p.O), który jest środkiem koła wpisanego w trójkąt.



Symetralne boków trójkąta

 

Symetralną boku trójkąta nazywamy prostą prostopadłą do tego boku, przechodzącą przez jego środek.
Każdy trójkąt ma trzy symetralne boków, przecinające się w jednym punkcie (p.O), który jest środkiem koła opisanego na tym trójkącie

Środek O koła opisanego na trójkącie może leżeć wewnątrz lub na zewnątrz trójkąta, a w przypadku trójkąta prostokątngo na jego goku (w połowie przeciwprostokątnej).

Trójkąty nie mają środka symetrii.

Trójkąt równoramienny ma jedną oś symetrii i jest ona jednocześnie dwusieczną kąta () zawartego między ramionami oraz pokrywa się z wysokością figury, symetralną i środkową podstawy.

Trójkąt równoboczny ma trzy osie symetrii, które są jednocześnie dwusiecznymi kątów, wysokościami, symetralnymi i środkowymi boków figury.

Punkt przecięcia (C) osi symetrii jest środkiem koła wpisanego i opisanego na trójkącie równobocznym.



RODZAJE TRÓJKĄTÓW

Podział trójkątów ze względu na boki
równoboczny
(dowolny)


Każdy bok ma inną długość i każdy kąt ma inną miarę.
równoramienny

Ma dwa boki równe i nazywamy je ramionami.
Trzeci bok to podstawa.
Kąty przy podstawie mają tę samą miarę.
równoboczny

Ma wszystkie boki równej długości.
Wszystkie kąty wewnętrzne są równe i mają po 60°.



Podział trójkątów ze względu na kąty
ostroktny
(dowolny)


< 90°
< 90°
< 90°
Każdy kąt wewnętrzny jest kątem ostrym.
prostokątny

C = 90°, < 90° i < 90°
Ma jeden kąt prosty, a dwa pozostałe są ostre i takie, że + = 90°
rozwarty

< 90°
> 90°
< 90°
Ma jeden kąt rozwarty, a dwa pozostałe są ostre.



PODZIAŁ TRÓJKĄTÓW ZE WZGLĘDU NA BOKI I KĄTY

 

ostrokątny

prostokątny

rozwartokątny

równoboczny (dowolny)


< 90°
< 90°
< 90°

C = 90°
+ = 90°

90° < < 180°
< 90° i < 90°

równoramienny


= , < 90°
< 90°, < 90°

= = 45°
C = 90°

= , < 90°
< 90°
90° < < 180°

równoboczny


= 60°
Nie ma
takiego
trójkąta
Nie ma
takiego
trójkąta





CECHY PRZYSTAWANIA TRÓJKĄTÓW

 

I cecha

Jeżeli boki jednego trójkąta są przystające (równe) do odpowiednich boków drugiego trójkąta, to te trójkąty są przystające.

|AB| = |A1B1|, |BC| = |B1C1| oraz |AC| = |A1C1|, to ABC A1B1C1


II cecha

Jeżeli dwa boki i kąt między nimi zawarty jednego trójkąta są przystające (równe) do odpowiednich boków i kąta zawartego między nimi w drugim trójkącie, to te trójkąty są przystające.

|AB| = |A1B1|, |AC| = |A1C1| i = 1, to ABC A1B1C1


III cecha
Jeżeli bok i dwa kąty do niego przyległe jednego trójkąta są przystające (równe) do odpowiedniego boku i kątów do niego przyległych w drugim trójkącie, to te trójkąty są przystające.

|AB| = |A1B1|, = 1 oraz = 1, to ABC A1B1C1



CECHY PRZYSTAWANIA TRÓJKĄTÓW PROSTOKĄTNYCH

 

I cecha Przyprostokątne jednego trójkąta są odpowiednio równe (przystające) przyprostokątnym drugiego trójkąta.
II cecha Przyprostokątna i kąt ostry do niej przeciwległy jednego trójkąta są odpowiednio równe przyprostokątnej i kątowi do niej przyległemu w drugim trójkącie.
III cecha Przyprostokątna i kąt do niej przeciwległy jednego trójkąta są odpowiednio równe przyprostokątnej i kątowi do niej przyległemu w drugim trójkącie.
VI cecha Przeciwprostokątna i jeden z kątów ostrych jednego trójkąta są odpowiednio równe przeciwprostokątnej i jednemu z kątów ostrych w drugim trójkącie.
V cecha Przeciwprostokątna i jedna z przyprostokątnych jednego trójkąta są odpowiednio równe przeciwprostokątnej i jednej z przyprostokątnych w drugim trójkącie.





CECHY PODOBIEŃSTWA TRÓJKĄTÓW
Własność, która pozwala na określenie podobieństwa pewnej rodziny figur, nazywa się cechą podobieństwa figur tej rodziny.

Wyróżniamy trzy cechy podobieństwa trójkątów:

 

I cecha

1 = 2 oraz 1 = 2
Jeżeli dwa kąty jednego trójkąta są przystające do odpowiednich kątów drugiego trójkąta, to trójkąty te są podobne.


II cecha

Jeżeli stosunki wszystkich boków jednego trójkąta do odpowiednich boków drugiego trójkąta są równe, to trójkąty są podobne.


III cecha


oraz 1 =
Jeżeli stosunki dwóch boków jednego trójkąta do odpowiednich boków drugiego trójkąta są równe oraz kąty zawarte między tymi bokami są przystające (równe), to trójkąty te są podobne.




CECHY PODOBIEŃSTWA TRÓJKĄTÓW PROSTOKĄTNYCH

 

I cecha

1 = lub 1 =
Jeżeli dwa trójkąty prostokątne mają po jednym kącie ostrym przystającym, to te trójkąty są przystające.


II cecha

Jeżeli stosunek długości przyprostokątnych jednego trójkąta jest równy stosunkowi długości przyprostokątnych drugiego trójkąta, to te trójkąty są podobne.


III cecha

Jeżeli stosunek długości przyprostokątnej do długości przeciwprostokątnej jednego trójkąta jest równy stosunkowi odpowiedniej przyprostokątnej do przeciwprostokątnej drugiego trójkąta, to te trójkąty są podobne.

Można też rozpatrywać stosunki przeciwprostokątnych do odpowiednich przyprostokątnych.




OBWÓD TRÓJKĄTA

 

różnoboczny

równoranienny

równoboczny

L = a + b + c L = a + 2b L = 3a





POLE TRÓJKĄTA

 

P = a h1
P = b h2
P = c h3

P = ab sin
P = ac sin
P = bc sin

P = a h
lub
P =

P = a b
lub
P = c h

P = a H
lub
P = b h


TWIERDZENIE PITAGORASA

 

Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

a2 + b2 = c2

TWIERDZENIE ODWROTNE DO TWIERDZENIA PITAGORASA

Jeżeli w trójkącie o bokach długości a, b i c zachodzi równość a2 + b2 = c2, to trójkąt jest prostokątny.




OKRĄG OPISANY NA TRÓJKACIE
Na każdym trójkącie można opisać okrąg. Środkiem okręgu opisanego jest punkt przecięcia się symetralnych boków trójkąta.

Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym leży w połowie przeciwprostokątnej.

Środek okręgu opisanego na trójkącie równobocznym i środek okręgu wpisanegow trójkąt równoboczny pokrywają się.

Promień okręgu opisanego jest: R = h.
Promień okręgu wpisanego jest: r = h.
Zależność między obydwoma promieniami: R = 2r.


Opracował: Krzysztof Leszczyński & Marta Sulowska
Bułgaria, Grecja, Czarnogóra, Chorwacja. Imprezy, wypoczynek, zwiedzanie
Niskie ceny, wspaniałe towarzystwo, integracja. Od 579 zł. Ostatnie miejsca!
turystykastudencka.pl

Podobne artykuły


17
komentarze: 9 | wyświetlenia: 572
29
komentarze: 34 | wyświetlenia: 1649
20
komentarze: 24 | wyświetlenia: 23539
15
komentarze: 3 | wyświetlenia: 14180
19
komentarze: 14 | wyświetlenia: 50725
20
komentarze: 5 | wyświetlenia: 21208
19
komentarze: 4 | wyświetlenia: 10018
32
komentarze: 17 | wyświetlenia: 2782
13
komentarze: 7 | wyświetlenia: 5659
13
komentarze: 1 | wyświetlenia: 16907
13
komentarze: 8 | wyświetlenia: 48186
18
komentarze: 8 | wyświetlenia: 1212
55
komentarze: 19 | wyświetlenia: 74801
43
komentarze: 28 | wyświetlenia: 6467
 
Autor
Dodał do zasobów: przesmyk
Artykuł

Powiązane tematy





  borek,  13/09/2008

Mam pytanie jako laik matematyczny.Piramidy są zbudowane na bazie trójkątów,czy gdyby podstawą piramidy była jej odwrotność czyli druga taka sama odwrócona podstawą do góry,to wyporność piasku zapewniłaby jej stabilność i to ,że się nie będzie zapadać.

Proszę coś bliżej, czy chodzi o ośmiościan zanurzony w piasku do połowy?

  borek,  20/09/2008

Tak ,piramida ma 4 ściany trójkątne i podstawę kwadratu.Podejrzewam że pod spodem jest taka sama piramida tylko odwrócona ,a to wiele by tłumaczyło.

Ciekawe potrzebna przede wszystkim w szkole,ale czasami ktoś komuś klina zabije takimi podchwytliwymi pytanieami z wiedzy o ciężkiej matematyce i jej pochodnych .dziedzinach.

świetny art :)

Na trójkąt można spojrzeć trochę inaczej. Zdefiniować go można jako trapez, którego jeden z boków jest równy zero.
Rozszerzając to można stwierdzić, że wszystkie wieloboki na płaszczyźnie są trapezami lub zbiorami trapezów. W szczególności trapezem jest: prostokąt, kwadrat, równoległobok, romb. Zbiorami trapezów są wieloboki (więcej niż 3 boki) nie mające żadnej pary boków równoległych.
...  wyświetl więcej



Dodaj swoją opinię
W trosce o jakość komentarzy wymagamy od użytkowników, aby zalogowali się przed dodaniem komentarza. Jeżeli nie posiadasz jeszcze swojego konta, zarejestruj się. To tylko chwila, a uzyskasz dostęp do dodatkowych możliwości!
 

© 2005-2014 grupa EIOBA. Wrocław, Polska