Jakie liczby obstawiać w lotka?

Mogłoby się wydawać, że taka gra jak lotek jest idealnie losowa. Nie do końca...

 

Patrząc na kule podskakujące w bębnie maszyny losującej można odnieść wrażenie, że mamy do czynienia z procesem w pełni losowym. Ale właściwie dlaczego tak miałoby być?

O ile wiem, początkowe ustawienie kul w kasecie jest zawsze takie samo, dysze powietrzne są ustawione zawsze tak samo. Co ważniejsze, dysze dmuchają zawsze z tą samą siłą.

Gdzie tu losowość, można by zapytać.

Oczywiście już drobne różnice w sile nadmuchu z poszczególnych dysz wystarczają by kule, odbijając się wielokrotnie od siebie, przyjmowały coraz bardziej różniące się trajektorie. A zgodnie z efektem motyla nawet bardzo małe różnice w warunkach początkowych mogą prowadzić do ogromnych różnic w warunkach końcowych.

Wcale zresztą nie twierdzę, że lotek jest grą słabo losową. Twierdzę tylko, że nie jest grą w pełni losową.

 

A co właściwie rozumiemy przez wyrażenie „w pełni” losowy? Jest to taki proces, w którym każda z możliwości (w przypadku lotka każda z 49 liczb) ma jednakowe szanse wypadnięcia. A to z kolei oznacza, że w długim okresie, albo lepiej po bardzo wielu powtórzeniach, każda z liczb wypadnie tyle samo razy.

 

Idealną losowość niezwykle trudno uzyskać. Podobno jedynym idealnie losowym procesem zachodzącym na Ziemi jest liczba kwantów promieniowania kosmicznego padająca na dany obszar w danej jednostce czasu.

 

Zostawmy jednak na boku kwanty i wróćmy do lotka.

Pod lupę wziąłem losowania od 1 stycznia 2009r. (nr 4634) do 06 marca 2014r. (nr 5444) co łącznie daje 811 losowań.

 

Najpierw zobaczmy jak często wypadały poszczególne liczby. W poniższej tabeli przedstawione zostały liczby wystąpień i częstość posortowane od najczęściej wypadających do najrzadziej.

 

 

Częstość średnia wynosi 2,041%.

Jak widać, „pechowa” 13 była w badanym okresie najczęściej wypadającą liczbą. Wylosowano ją 130 razy co daje częstość na poziomie 2,672% (znacznie powyżej średniej).

Z kolei, najrzadziej wypadała liczba 47, tylko 78 razy co daje częstość 1,603%.

13 wypadała zatem o 67% częściej niż 47.

Na poniższym wykresie przedstawione zostały częstości wystąpień wszystkich liczb.

 

 

Jak widać, częstości różnią się dość istotnie i trudno tu mówić o „pełnej” losowości. W szczególności są liczby, które mają częstość wystąpień wyraźnie wyższą od średniej.

 

Czy to oznacza, że należy obstawiać pierwszych sześć spośród najczęściej wypadających, tj. 13, 6, 18, 32, 42, i 38?

Niezupełnie.

Okazuje się bowiem, że niektóre liczby „lubią się” z innymi bardziej a niektóre mniej, znacznie mniej.

Przez wyrażenie „lubią się” oczywiście mam na myśli sytuację, w której są wylosowane razem.

 

Najpierw przeanalizujmy pary.

W poniższej tabeli przedstawione zostały liczby wystąpień par identyfikowanych w górnym wierszu i w lewej kolumnie.

 

 

Na przykład, na przecięciu 10 i 23 znajduje się liczba 7 co oznacza, że para 10 i 23 pojawiła się w 7 losowaniach.

Łącznie par spośród 49 liczb można wybrać 1176. Stąd w poniższej tabeli przedstawiam jedynie 125 par o najwyższej częstości wystąpień.

 

 

 

Na wykresie częstości te wyglądają następująco:

 

 

I znów, trudno mówić o pełnej losowości. Jest grupa par występujących wyraźnie częściej.

Spektakularne jest porównanie pary, która wystąpiła najwięcej razy tj. 13 i 37 (26 wystąpień) i pary, którą losowano najrzadziej tj. 33 i 37 (1 wystąpienie).

Nie da się zaprzeczyć, że są liczby, które lubią się bardziej i są takie, które wręcz się unikają.

 

Zobaczmy jak to wygląda dla trójek.

W poniższej tabeli przedstawione zostały pierwsze 216 najczęściej występujących trójek.

 

 

Łącznie możliwych kombinacji trójek spośród 49 liczb jest 18.424, trudno zatem przedstawiać tu wszystkie.

W każdym razie:

• nie było trójek, które wystąpiłyby 7 lub więcej razy;
• trójek, które pojawiły się 6 razy było 13;
• trójek, które pojawiły się 5 razy było 39;
• trójek, które pojawiły się 4 razy było 164;
• trójek, które pojawiły się 3 razy było 896;
• trójek, które pojawiły się 2 razy było 2950;
• trójek, które pojawiły się 1 raz było 6703;
• trójek, które nie pojawiły się ani razu było 7659.

 

 

I to samo dla czwórek.

341 najczęściej występujących czwórek (tj. takich, które wystąpiły 3 lub 2 razy) przedstawia się następująco:

 

Lp.	Liczba 1	Liczba 2	Liczba 3	Liczba 4	Wystąpień
1	3	18	23	30	3
2	6	9	42	49	3
3	6	10	22	30	3
4	11	23	38	46	3
5	13	14	17	37	3
6	18	29	38	48	3
7	1	2	23	41	2
8	1	4	34	44	2
9	1	5	29	36	2
10	1	6	34	40	2
11	1	7	17	20	2
12	1	8	41	49	2
13	1	10	13	35	2
14	1	12	27	44	2
15	1	13	15	42	2
16	1	13	19	45	2
17	1	15	17	31	2
18	1	15	17	42	2
19	1	15	18	42	2
20	1	15	19	42	2
21	1	15	31	42	2
22	1	15	41	42	2
23	1	16	28	42	2
24	1	17	18	20	2
25	1	17	18	27	2
26	1	17	31	42	2
27	1	17	32	34	2
28	1	19	35	38	2
29	1	19	35	44	2
30	1	20	32	34	2
31	1	37	40	49	2
32	2	3	21	45	2
33	2	5	11	40	2
34	2	5	26	27	2
35	2	5	40	45	2
36	2	6	10	47	2
37	2	6	26	47	2
38	2	7	16	32	2
39	2	7	16	42	2
40	2	8	45	49	2
41	2	9	29	33	2
42	2	10	17	23	2
43	2	12	23	35	2
44	2	12	28	35	2
45	2	13	16	32	2
46	2	14	29	31	2
47	2	14	30	34	2
48	2	15	25	46	2
49	2	15	37	48	2
50	2	16	31	32	2
51	2	17	37	39	2
52	2	19	30	37	2
53	2	19	43	49	2
54	2	21	22	24	2
55	2	21	24	45	2
56	3	4	5	9	2
57	3	4	5	29	2
58	3	6	8	49	2
59	3	6	32	38	2
60	3	7	21	45	2
61	3	13	14	37	2
62	3	13	16	49	2
63	3	13	25	26	2
64	3	13	25	34	2
65	3	13	25	42	2
66	3	15	29	35	2
67	3	18	21	23	2
68	3	18	21	30	2
69	3	21	23	27	2
70	3	21	23	30	2
71	3	21	27	30	2
72	3	25	26	31	2
73	3	25	26	34	2
74	3	25	38	40	2
75	3	26	28	32	2
76	3	32	36	39	2
77	3	41	42	49	2
78	4	5	11	17	2
79	4	6	8	27	2
80	4	6	10	18	2
81	4	6	20	47	2
82	4	8	16	33	2
83	4	9	21	32	2
84	4	9	31	42	2
85	4	9	32	37	2
86	4	9	39	42	2
87	4	11	39	42	2
88	4	13	42	45	2
89	4	14	26	28	2
90	4	16	34	44	2
91	4	16	34	47	2
92	4	16	37	48	2
93	4	20	21	28	2
94	4	21	37	38	2
95	4	25	29	47	2
96	4	25	37	44	2
97	4	30	36	39	2
98	4	35	40	41	2
99	4	36	37	44	2
100	5	6	20	32	2
101	5	9	18	23	2
102	5	9	23	43	2
103	5	9	29	39	2
104	5	10	11	40	2
105	5	11	16	44	2
106	5	11	20	36	2
107	5	12	20	37	2
108	5	13	14	17	2
109	5	13	17	37	2
110	5	13	25	37	2
111	5	17	18	40	2
112	5	18	27	46	2
113	5	18	39	47	2
114	5	37	40	42	2
115	6	8	12	29	2
116	6	8	12	49	2
117	6	8	19	28	2
118	6	9	34	44	2
119	6	9	40	45	2
120	6	10	12	22	2
121	6	10	12	30	2
122	6	10	13	35	2
123	6	10	28	30	2
124	6	11	15	49	2
125	6	12	18	33	2
126	6	12	22	30	2
127	6	12	25	49	2
128	6	13	40	43	2
129	6	14	29	31	2
130	6	15	23	26	2
131	6	17	37	42	2
132	6	19	23	48	2
133	6	19	28	30	2
134	6	20	26	32	2
135	6	20	32	34	2
136	6	23	24	25	2
137	6	23	24	28	2
138	6	23	26	33	2
139	6	26	30	33	2
140	6	27	34	40	2
141	6	34	37	40	2
142	7	9	28	42	2
143	7	10	12	27	2
144	7	10	18	24	2
145	7	10	18	49	2
146	7	10	24	25	2
147	7	10	24	30	2
148	7	12	13	43	2
149	7	12	18	27	2
150	7	12	18	42	2
151	7	12	24	43	2
152	7	14	25	39	2
153	7	16	18	28	2
154	7	17	31	41	2
155	7	18	23	42	2
156	7	19	29	42	2
157	7	26	28	42	2
158	7	26	32	38	2
159	7	28	35	43	2
160	7	31	37	42	2
161	7	32	46	49	2
162	7	37	40	42	2
163	8	10	25	35	2
164	8	12	17	29	2
165	8	12	25	29	2
166	8	13	24	37	2
167	8	16	19	31	2
168	8	16	24	44	2
169	8	16	26	29	2
170	8	16	33	48	2
171	8	17	29	32	2
172	8	23	24	29	2
173	8	23	29	35	2
174	8	24	29	35	2
175	8	24	29	48	2
176	8	26	29	43	2
177	8	30	32	34	2
178	9	13	18	42	2
179	9	13	24	26	2
180	9	13	24	37	2
181	9	13	24	40	2
182	9	13	29	42	2
183	9	13	30	42	2
184	9	14	16	29	2
185	9	14	22	45	2
186	9	15	18	42	2
187	9	15	40	43	2
188	9	15	40	49	2
189	9	16	24	26	2
190	9	17	23	28	2
191	9	18	42	44	2
192	9	21	32	41	2
193	9	26	33	38	2
194	9	39	42	46	2
195	9	41	43	46	2
196	10	11	24	32	2
197	10	11	24	44	2
198	10	11	26	44	2
199	10	12	22	30	2
200	10	13	29	36	2
201	10	15	27	39	2
202	10	15	28	37	2
203	10	17	23	42	2
204	10	18	25	33	2
205	10	22	30	37	2
206	10	24	26	32	2
207	10	24	26	44	2
208	10	37	43	46	2
209	11	12	16	20	2
210	11	12	35	37	2
211	11	17	31	41	2
212	11	21	28	39	2
213	11	25	33	48	2
214	11	30	32	44	2
215	11	32	33	44	2
216	11	32	40	44	2
217	12	13	16	47	2
218	12	13	24	31	2
219	12	13	28	31	2
220	12	13	28	47	2
221	12	13	31	37	2
222	12	13	36	37	2
223	12	15	20	44	2
224	12	17	23	28	2
225	12	18	28	34	2
226	12	18	34	39	2
227	12	18	39	47	2
228	12	20	36	38	2
229	12	28	36	42	2
230	12	28	40	47	2
231	12	32	40	44	2
232	12	33	38	48	2
233	12	36	42	45	2
234	12	41	44	45	2
235	13	14	19	36	2
236	13	14	27	30	2
237	13	14	31	37	2
238	13	15	25	42	2
239	13	15	29	35	2
240	13	15	37	40	2
241	13	16	17	30	2
242	13	16	18	20	2
243	13	16	18	48	2
244	13	16	32	40	2
245	13	17	20	27	2
246	13	19	32	44	2
247	13	20	27	32	2
248	13	22	24	37	2
249	13	24	31	43	2
250	13	24	31	49	2
251	13	25	30	37	2
252	13	25	37	42	2
253	13	25	42	45	2
254	13	26	42	45	2
255	13	29	33	36	2
256	13	30	35	43	2
257	13	31	37	42	2
258	13	34	37	40	2
259	14	15	22	39	2
260	14	16	36	38	2
261	14	16	36	44	2
262	14	16	38	44	2
263	14	17	21	26	2
264	14	18	22	32	2
265	14	25	34	41	2
266	14	28	29	49	2
267	14	31	37	42	2
268	14	33	34	39	2
269	14	34	35	39	2
270	14	36	38	44	2
271	15	17	30	40	2
272	15	17	31	42	2
273	15	17	33	42	2
274	15	17	41	42	2
275	15	18	19	42	2
276	15	21	31	44	2
277	15	26	38	46	2
278	15	35	38	46	2
279	16	17	30	44	2
280	16	25	28	42	2
281	16	31	37	42	2
282	16	31	39	42	2
283	16	32	33	48	2
284	16	36	38	44	2
285	17	20	30	47	2
286	17	24	35	49	2
287	17	31	37	42	2
288	17	31	42	46	2
289	17	34	36	40	2
290	17	38	42	46	2
291	18	19	25	40	2
292	18	20	22	49	2
293	18	21	23	30	2
294	18	21	24	41	2
295	18	24	28	41	2
296	19	20	31	46	2
297	19	20	34	46	2
298	19	22	28	46	2
299	19	25	36	39	2
300	20	31	34	35	2
301	20	34	35	46	2
302	20	34	43	49	2
303	21	22	36	49	2
304	21	23	27	30	2
305	21	24	35	37	2
306	21	24	35	49	2
307	21	24	37	49	2
308	21	30	40	46	2
309	21	33	36	45	2
310	21	35	36	37	2
311	22	23	29	35	2
312	22	25	30	37	2
313	22	25	33	42	2
314	22	25	34	43	2
315	23	24	26	45	2
316	23	24	29	48	2
317	23	27	29	33	2
318	23	29	35	41	2
319	23	31	32	41	2
320	23	31	39	41	2
321	23	32	41	47	2
322	24	27	36	37	2
323	24	31	35	49	2
324	24	35	41	48	2
325	25	30	37	42	2
326	25	34	38	41	2
327	26	30	32	33	2
328	27	31	32	41	2
329	28	30	32	37	2
330	29	35	38	48	2
331	30	33	48	49	2
332	31	34	36	38	2
333	31	36	37	42	2
334	31	39	42	46	2
335	32	36	38	45	2
336	32	36	38	49	2
337	32	36	45	49	2
338	32	38	45	49	2
339	34	35	41	47	2
340	36	37	38	44	2
341	36	38	45	49	2

Podsumowując:

• nie było czwórek, które wystąpiłyby 4 razy lub więcej;
• czwórek, które pojawiły się 3 razy było 6;
• czwórek, które pojawiły się 2 razy było 335;
• czwórek, które pojawiły się 1 raz było 11.477;
• czwórek, które nie pojawiły się ani razu było 200.058.

 

Niech najczęściej występujące czwórki będą bazą do wyboru liczb, które warto obstawiać.

W tym celu, spośród czwórek, które wylosowano 3 lub 4 razy wyselekcjonujmy te, które zawierają 3 spośród najczęściej występujących liczb. Przypomnijmy 10 najczęściej wypadających liczb.

 

Lista czwórek, które zawierają co najmniej 3 spośród powyższych przedstawia się następująco:

 

 

 

Żółtym kolorem zaznaczono liczbę najwyżej notowaną w rankingu „pojedynczych częstości”.

Czwórki pod numerami 11 i 13 mają swoje najlepsze liczby dopiero na szóstym miejscu (jest to 38). W dalszej selekcji pominiemy je zatem.

 

Pozostaje każdą czwórkę uzupełnić dwoma brakującymi liczbami.

Jak je wybrać?

Znowu wykorzystałem w każdej czwórce najwyżej notowaną (pod względem częstości wystąpień) pojedynczą liczbę i wziąłem najwyżej notowaną trójkę z jej udziałem.

Przykładowo, w czwórce numer 1 najwyżej notowaną liczbą jest 13. W rankingu trójek jedną z najwyżej notowanych z udziałem trzynastki jest ta pod numerem 4 tj. trójka: 9, 13 i 24.

Uzupełniam zatem pierwszą czwórkę o liczby 9 i 24. Itd.

Otrzymuję w ten sposób zestaw jedenastu szóstek:

 

 

Tylko obstawiać:-).

 

Jestem przekonany, że opracowane przeze mnie zestawy mają znacząco wyższe szanse wylosowania w stosunku do chybił-trafił.

 

 

Powodzenia!

 

Posceptyk

 

Zapraszam też na mojego bloga poświęconego książkom:

http://recen.blox.pl/html

i polecam swój najnowszy kryminał

https://play.google.com/store/books/details/Robert_Mi%C5%9B_Belladonna?id=_MJtCQAAQBAJ