Login lub e-mail Hasło   

Zbiór liczb rzeczywistych i jego podzbiory

Zbiór liczb naturalnych Liczb naturalnych używamy do określenia ile jest osób w jakimś miejscu, do ustalania kolejności, ile sztuk czegoś mamy itp. Mówiąc...
Wyświetlenia: 12.388 Zamieszczono 04/05/2007

Zbiór liczb naturalnych

 

Liczb naturalnych używamy do określenia ile jest osób w jakimś miejscu, do ustalania kolejności, ile sztuk czegoś mamy itp. Mówiąc o liczbach naturalnym mamy na myśli liczby należące do zbioru \mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots\}. Jednym z podzbiorów liczb naturalnych jest zbiór liczb naturalnych dodatnich, które oznaczamy \mathbb{N}_+=\{1,2,3,\dots\}=\mathbb{N} \backslash \{0\}.

Definicja DEFINICJA

Zbiorem liczb naturalnych nazywamy zbiór \mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots\}.

Podzbiorami liczb naturalnych jest zbiór liczb pierwszych i zbiór liczb złożonych.

 
Definicja DEFINICJA

Liczbą pierwszą nazywamy każdą liczbę naturalną większą od 1, która posiada dokładnie dwa dodatnie dzielniki -- 1 oraz samą siebie.

Liczbę złożoną nazywamy każdą liczbę naturalną większą od 1, która nie jest liczbą pierwszą.

Zbiór wszystkich liczb pierwszych czasami jest oznaczany przez \mathbb{P}=\{2,3,5,7,11,13,\dots\}, a i-ta liczba pierwsza przez pi np. p3 = 5.

Zbiór liczb całkowitych

 
Definicja DEFINICJA

Zbiorem liczb całkowitych nazywamy zbiór \mathbb{Z}=\{\cdots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\cdots\}.

Ponadto zbiór liczb całkowitych możemy podzielić na dwa podzbiory -- zbiór liczb całkowitych dodatnich i zbiór liczb całkowitych ujemnych. Zbiór liczb całkowitych dodatnich oznaczamy przez \mathbb{Z}_+=\{1,2,3,\dots\}, natomiast zbiór liczb całkowitych ujemnych przez \mathbb{Z}_-=\{\dots,-3,-2,-1\}. Łatwo zauważyć, że \mathbb{N}_+=\mathbb{Z}_+.

W polskiej literaturze czasami można się spotkać z oznaczeniem zbioru liczb całkowitych poprzez \mathbb{C} (jednak nie jest on znanym, międzynarodowym oznaczeniem, dlatego też nie będziemy korzystać z niego w tej książce).

Zbiór liczb wymiernych

 
Definicja DEFINICJA

Zbiór liczb wymiernych jest to zbiór wszystkich liczb, w których każdą liczbę można zapisać w postaci ułamka zwykłego p \over q, gdzie p \in \mathbb{Z} i q \in \mathbb{Z} \backslash \{0\}.

Podobnie jak to było w zbiorze liczb całkowitych, zbiór liczb wymiernych dodatnich oznaczamy przez \mathbb{Q}_+, a ujemnych przez \mathbb{Q}_-.

W niektórych polskich książkach zbiór liczb wymiernych jest oznaczany przez \mathbb{W}.

Zbiór liczb niewymiernych

 
Definicja DEFINICJA

Zbiór liczb niewymiernych jest to zbiór tych liczb rzeczywistych, które nie są wymierne tzn. tych, których nie można zapisać w postaci ułamka zwykłego p \over q, dla p \in \mathbb{Z} i q \in \mathbb{Z} \backslash \{0\}

Zbiór liczb niewymiernych nie ma ogólnie przyjętego międzynarodowego oznaczenia. Możemy go zapisać wykorzystując polskie oznaczenie \mathbb{NW} (które nie jest wykorzystywane na całym świecie), czy też jako różnicę zbioru liczb rzeczywistych i zbioru liczb wymiernych: \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}.

Przykładem liczby niewymiernej może być liczba \pi=3,1415\cdots, czy też \sqrt{2}=1,4142\cdots.

Zbiór liczb rzeczywistych

 
Definicja DEFINICJA

Zbiór liczb rzeczywistych jest sumą zbiorów liczb wymiernych i zbioru liczb niewymiernych.

Zbiór liczb rzeczywistych dodatnich oznaczamy przez \mathbb{R}_+, a ujemnych przez \mathbb{R}_-.

 

Pomiędzy liczbami naturalnymi, całkowitymi, wymiernymi i niewymiernymi możemy zaobserwować poniższe związki:

  • \mathbb{N} \subset \mathbb{Z}
  • \mathbb{N} \subset \mathbb{Q}
  • \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}
  • \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}
  • \mathbb{NW}=\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}


Rozwinięcie dziesiętne

Rozwinięcie dziesiętne części liczb rzeczywistych może być skończone np. \frac{1}{2}=0,5~, \frac{1}{25}=0,04~, \frac{2}{1}=2~. Jednak nie wszystkie liczby cechuje ta własność.

Przyjrzyjmy się bliżej liczbie 1 \over 3. Na pewno pamiętamy, że {1 \over 3} = 0,333\dots. Aby otrzymać rozwinięcie dziesiętne danej liczby, po prostu wykonujemy zwyczajne dzielenie. Ale jak przejść z rozwinięcia dziesiętnego na postać ułamka? Zobaczmy:

0,333\dots =x~~/ \cdot 10
3,333\dots = 10x
3+0,333\dots=10x, ponieważ 0,333\dots=x
3 + x = 10x
3=9x~~/:9
{1 \over 3}=x

Otrzymaliśmy oczekiwany wynik.

Innym przykładem, trochę trudniejszym jest 0,123123123\dots. Wprawni weterani mogą się domyślać, że będzie ona równa 41 \over 333. Zobaczmy na rozwiązanie:

0,123123123\dots=x~~/ \cdot 1000
123,123123\dots=1000x, ponieważ 0,123123123\dots=x
123 + x = 1000x
123=999x~~/:999
{123 \over 999}=x
{41 \over 333}=x

Szukaną liczbą jest {41 \over 333}.

Liczbę \frac{1}{3}=0,333\dots możemy zapisać także w formie 0,(3)~. Podobnie {41 \over 333}=0,123123123\dots możemy zapisać jako 0,(123)~, a także 4,171717\dots=4,(17)~. W takiej formie możemy zapisać dowolną liczbę o rozwinięciu dziesiętnym okresowym.

Nie wszystkie liczby rzeczywiste można zapisać w postaci rozwinięcia dziesiętnego skończonego, czy też nawet rozwinięcia nieskończonego okresowego. W takiej formie można zapisać wszystkie liczby wymierne, natomiast nie możemy zapisać w ten sposób rozwinięcia liczby niewymiernej. Przykładem liczby niewymiernej może być liczba Eulera e=2,71828182\dots, a także liczba 1,232233222\dots~. Jak widać, nie są one liczbami okresowymi.

Treść udostępniana na licencji GNU Free Documentation License . Źródło: Wikibooks.pl

Podobne artykuły


55
komentarze: 19 | wyświetlenia: 75509
60
komentarze: 41 | wyświetlenia: 7871
22
komentarze: 8 | wyświetlenia: 1132
12
komentarze: 55 | wyświetlenia: 5541
10
komentarze: 2 | wyświetlenia: 25956
32
komentarze: 17 | wyświetlenia: 2953
20
komentarze: 14 | wyświetlenia: 54023
20
komentarze: 24 | wyświetlenia: 23896
18
komentarze: 8 | wyświetlenia: 1311
7
komentarze: 3 | wyświetlenia: 12998
13
komentarze: 8 | wyświetlenia: 48849
10
komentarze: 2 | wyświetlenia: 3810
13
komentarze: 7 | wyświetlenia: 5948
19
komentarze: 4 | wyświetlenia: 10257
 
Autor
Dodał do zasobów: juliusz
Artykuł



  oki,  10/11/2007

no fajne jest lepsze niż szkoła



Dodaj swoją opinię
W trosce o jakość komentarzy wymagamy od użytkowników, aby zalogowali się przed dodaniem komentarza. Jeżeli nie posiadasz jeszcze swojego konta, zarejestruj się. To tylko chwila, a uzyskasz dostęp do dodatkowych możliwości!
 

© 2005-2014 grupa EIOBA. Wrocław, Polska