Zbiór liczb rzeczywistych i jego podzbiory

Zbiór liczb naturalnych

Liczb naturalnych używamy do określenia ile jest osób w jakimś miejscu, do ustalania kolejności, ile sztuk czegoś mamy itp. Mówiąc o liczbach naturalnym mamy na myśli liczby należące do zbioru $\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots\}$ . Jednym z podzbiorów liczb naturalnych jest zbiór liczb naturalnych dodatnich, które oznaczamy $\mathbb{N}_+=\{1,2,3,\dots\}=\mathbb{N} \backslash \{0\}$ .

DEFINICJA

Zbiorem liczb naturalnych nazywamy zbiór $\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots\}$ .

Podzbiorami liczb naturalnych jest zbiór liczb pierwszych i zbiór liczb złożonych.

DEFINICJA

Liczbą pierwszą nazywamy każdą liczbę naturalną większą od 1, która posiada dokładnie dwa dodatnie dzielniki -- 1 oraz samą siebie.

Liczbę złożoną nazywamy każdą liczbę naturalną większą od 1, która nie jest liczbą pierwszą.

Zbiór wszystkich liczb pierwszych czasami jest oznaczany przez $\mathbb{P}=\{2,3,5,7,11,13,\dots\}$ , a i-ta liczba pierwsza przez p_i np. p₃ = 5.

Zbiór liczb całkowitych

DEFINICJA

Zbiorem liczb całkowitych nazywamy zbiór $\mathbb{Z}=\{\cdots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\cdots\}$ .

Ponadto zbiór liczb całkowitych możemy podzielić na dwa podzbiory -- zbiór liczb całkowitych dodatnich i zbiór liczb całkowitych ujemnych. Zbiór liczb całkowitych dodatnich oznaczamy przez $\mathbb{Z}_+=\{1,2,3,\dots\}$ , natomiast zbiór liczb całkowitych ujemnych przez $\mathbb{Z}_-=\{\dots,-3,-2,-1\}$ . Łatwo zauważyć, że $\mathbb{N}_+=\mathbb{Z}_+$ .

W polskiej literaturze czasami można się spotkać z oznaczeniem zbioru liczb całkowitych poprzez $\mathbb{C}$ (jednak nie jest on znanym, międzynarodowym oznaczeniem, dlatego też nie będziemy korzystać z niego w tej książce).

Zbiór liczb wymiernych

DEFINICJA

Zbiór liczb wymiernych jest to zbiór wszystkich liczb, w których każdą liczbę można zapisać w postaci ułamka zwykłego $p \over q$ , gdzie $p \in \mathbb{Z}$ i $q \in \mathbb{Z} \backslash \{0\}$ .

Podobnie jak to było w zbiorze liczb całkowitych, zbiór liczb wymiernych dodatnich oznaczamy przez $\mathbb{Q}_+$ , a ujemnych przez $\mathbb{Q}_-$ .

W niektórych polskich książkach zbiór liczb wymiernych jest oznaczany przez $\mathbb{W}$ .

Zbiór liczb niewymiernych

DEFINICJA

Zbiór liczb niewymiernych jest to zbiór tych liczb rzeczywistych, które nie są wymierne tzn. tych, których nie można zapisać w postaci ułamka zwykłego $p \over q$ , dla $p \in \mathbb{Z}$ i $q \in \mathbb{Z} \backslash \{0\}$

Zbiór liczb niewymiernych nie ma ogólnie przyjętego międzynarodowego oznaczenia. Możemy go zapisać wykorzystując polskie oznaczenie $\mathbb{NW}$ (które nie jest wykorzystywane na całym świecie), czy też jako różnicę zbioru liczb rzeczywistych i zbioru liczb wymiernych: $\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$ .

Przykładem liczby niewymiernej może być liczba $\pi=3,1415\cdots$ , czy też $\sqrt{2}=1,4142\cdots$ .

Zbiór liczb rzeczywistych

DEFINICJA

Zbiór liczb rzeczywistych jest sumą zbiorów liczb wymiernych i zbioru liczb niewymiernych.

Zbiór liczb rzeczywistych dodatnich oznaczamy przez $\mathbb{R}_+$ , a ujemnych przez $\mathbb{R}_-$ .

Pomiędzy liczbami naturalnymi, całkowitymi, wymiernymi i niewymiernymi możemy zaobserwować poniższe związki:

$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$
$\mathbb{N} \subset \mathbb{Q}$
$\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$
$\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$
$\mathbb{NW}=\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$

Rozwinięcie dziesiętne

Rozwinięcie dziesiętne części liczb rzeczywistych może być skończone np. $\frac{1}{2}=0,5~,$ $\frac{1}{25}=0,04~,$ $\frac{2}{1}=2~.$ Jednak nie wszystkie liczby cechuje ta własność.

Przyjrzyjmy się bliżej liczbie $1 \over 3$ . Na pewno pamiętamy, że ${1 \over 3} = 0,333\dots$ . Aby otrzymać rozwinięcie dziesiętne danej liczby, po prostu wykonujemy zwyczajne dzielenie. Ale jak przejść z rozwinięcia dziesiętnego na postać ułamka? Zobaczmy:

$0,333\dots =x~~/ \cdot 10$

$3,333\dots = 10x$

$3+0,333\dots=10x$ , ponieważ $0,333\dots=x$

3 + x = 10x

${1 \over 3}=x$

Otrzymaliśmy oczekiwany wynik.

Innym przykładem, trochę trudniejszym jest $0,123123123\dots$ . Wprawni weterani mogą się domyślać, że będzie ona równa $41 \over 333$ . Zobaczmy na rozwiązanie:

$0,123123123\dots=x~~/ \cdot 1000$

$123,123123\dots=1000x$ , ponieważ $0,123123123\dots=x$

123 + x = 1000x

${123 \over 999}=x$

${41 \over 333}=x$

Szukaną liczbą jest ${41 \over 333}$ .

Liczbę $\frac{1}{3}=0,333\dots$ możemy zapisać także w formie 0,(3)~. Podobnie ${41 \over 333}=0,123123123\dots$ możemy zapisać jako 0,(123)~, a także $4,171717\dots=4,(17)~.$ W takiej formie możemy zapisać dowolną liczbę o rozwinięciu dziesiętnym okresowym.

Nie wszystkie liczby rzeczywiste można zapisać w postaci rozwinięcia dziesiętnego skończonego, czy też nawet rozwinięcia nieskończonego okresowego. W takiej formie można zapisać wszystkie liczby wymierne, natomiast nie możemy zapisać w ten sposób rozwinięcia liczby niewymiernej. Przykładem liczby niewymiernej może być liczba Eulera $e=2,71828182\dots,$ a także liczba $1,232233222\dots~.$ Jak widać, nie są one liczbami okresowymi.

Treść udostępniana na licencji GNU Free Documentation License . Źródło: Wikibooks.pl

Autor: Wikibooks

liczby nauka zbiory matematyka