Dziury między liczbami pierwszymi

Wiesz, oczywiście, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Zastanawianie się nad ich rozmieszczeniem między wszystkimi liczbami naturalnym rodzi szereg interesujących pytań matematycznych. Oto jedno z takich pytań: Czy „odstępy” między kolejnymi liczbami pierwszymi mogą być dowolnie duże?
Na pierwszy rzut oka pytanie to może się wydać komuś trudne. W istocie jest bardzo łatwe. W uzyskaniu odpowiedzi może nam pomóc odrobinkę inne sformułowanie problemu: czy potrafisz znaleźć dowolnie długi ciąg kolejnych liczb naturalnych, które wszystkie będą złożone?

Oczywiście. Użyjemy w tym celu pojęcia silni. Symbolem N! (czyta się N – silnia) oznaczamy mianowicie iloczyn liczby N i wszystkich liczb naturalnych od niej mniejszych; innymi słowy


Jest zrozumiałe, że każda z liczb 2, 3,… ,N jest dzielnikiem liczby N!. Ale wobec tego N!+2 jest liczbą podzielną przez 2, N!+3 jest podzielne przez 3, i tak dalej. Ogólnie: N!+k jest podzielne przez k dla wszystkich k = 2,… ,(N-1). Skonstruowaliśmy ciąg kolejnych liczb naturalnych o długości (N-1). Ponieważ zaś N może być zupełnie dowolne, więc dowiedliśmy, że między dwiema kolejnymi liczbami pierwszymi mogą występować odstępy dowolnie duże.

Propozycja:

Znajdź takie dwie kolejne liczby pierwsze, by odstęp między nimi wynosił co najmniej 10.