Login lub e-mail Hasło   

Paradoks urodzinowy

Odnośnik do oryginalnej publikacji: http://matma.wetpaint.com/page/***+Parad(...)dzinowy
Jak liczna powinna być grupa osób, by prawdopodobieństwo, że co najmniej dwie spośród nich obchodzą urodziny tego samego dnia było większe niż 50%?
Wyświetlenia: 7.678 Zamieszczono 02/07/2007
Jak liczna powinna być grupa osób, by prawdopodobieństwo, że co najmniej dwie spośród nich obchodzą urodziny tego samego dnia było większe niż 50%?

Spróbuj urządzić plebiscyt wśród znajomych (bez przeprowadzania obliczeń, naturalnie). Jest niemal pewne, że wszyscy podadzą w odpowiedzi liczby większe od poprawnego wyniku. Wynosi on bowiem… 23.

Gdybyśmy zażądali, by prawdopodobieństwo przekroczyło 70%, to liczebność grupy musiałaby wynosić co najmniej 30; gdybyśmy byli zainteresowani prawdopodobieństwem 90% - 41, 95% - 47. Gdy grupa liczy ponad 57 osób, to prawdopodobieństwo, że co najmniej dwie z nich obchodzą urodziny tego samego dnia wynosi 99%!

Uzupełnienie:

Najprostszy sposób obliczeń polega na obliczeniu prawdopodobieństwa zdarzenia przeciwnego, (tzn. że w danej grupie n ludzi nie wystąpi para osób o tym samym dniu urodzin), następnie zaś odjęciu otrzymanego wyniku od 1.
Mamy zatem wzór na szukane prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego:


gdzie k-ty czynnik iloczynu jest prawdopodobieństwem, że k-ta osoba w grupie nie ma wspólnego dnia urodzin z (k-1) poprzednikami. Z pewnym trudem da się to policzyć nawet na kalkulatorze.

Oczywiście nie ma jednak sensu wykonywanie takich obliczeń bezpośrednio; aby wykonać je szybko posłużmy się wzorem przybliżonym, który pozwala zastąpić (dla i dużo mniejszych niż n)


przez


Stąd, dla k dużo mniejszych niż 365, prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego jest


i dla k = 23 wyrażenie to ma wartość 0,499998, czyli niemal dokładnie 50%.

Podobne artykuły


15
komentarze: 7 | wyświetlenia: 8077
124
komentarze: 52 | wyświetlenia: 141446
91
komentarze: 20 | wyświetlenia: 110175
71
komentarze: 38 | wyświetlenia: 167617
58
komentarze: 20 | wyświetlenia: 80609
22
komentarze: 5 | wyświetlenia: 27023
48
komentarze: 31 | wyświetlenia: 8790
13
komentarze: 0 | wyświetlenia: 11093
40
komentarze: 10 | wyświetlenia: 49531
40
komentarze: 5 | wyświetlenia: 23187
40
komentarze: 13 | wyświetlenia: 34858
31
komentarze: 8 | wyświetlenia: 56299
37
komentarze: 18 | wyświetlenia: 285143
37
komentarze: 20 | wyświetlenia: 81101
32
komentarze: 10 | wyświetlenia: 16460
 
Autor
Artykuł

Powiązane tematy





Jasno, prosto i elegancko.



Dodaj swoją opinię
W trosce o jakość komentarzy wymagamy od użytkowników, aby zalogowali się przed dodaniem komentarza. Jeżeli nie posiadasz jeszcze swojego konta, zarejestruj się. To tylko chwila, a uzyskasz dostęp do dodatkowych możliwości!
 

© 2005-2018 grupa EIOBA. Wrocław, Polska