Są dwie odpowiedzi: otwarty, stale uzupełniany, zasób rozumowań, albo nauka poznawcza badająca pewne abstrakcyjne twory przy użyciu rozumowań jako narzędzie badawczego. Pierwsza jest precyzyjna, bo pojęcie rozumowanie można zdefiniować. Druga mglista, bo trudno określić, o jakie twory chodzi. Żadna chyba nie jest zadawalająca i prawda pewnie jest gdzieś po środku. Matematyka rozumiana jako zasób rozumowań jest w swej istocie skończona. Dotyczy to zarówno syntatyki, jak i wnioskowań.
Wyrażenia są skończone i rozumowania też są skończone. Może trochę szkoda, że nie jesteśmy w stanie ogarnąć informacji z nieskończonej liczby danych zawartych w nieskończonej liczbie wyrażeń. Może trochę szkoda, że każde rozumowanie składa się ze skończonego ciągu elementarnych kwantów wnioskowań. Nie ma tu nieskończonych zlepków rozumowań elementarnych chociaż takimi, ale skończonymi, zlepkami się posługujemy.
Jeśli chodzi o drugie rozumienie matematyki, to należy dodać, że te abstrakcyjne twory: liczby, figury geometryczne itp istnieją w naszych umysłach, a nabierają obiektywnego znaczenia przez trudną do wytłumaczenia zgodność ich rozumienia przez poszczególnych ludzi. Wobec tego
Matematyka może być używana za naukę poznawczą. Tyle, że przedmiotem poznania są nasze wspólne urojenia. Skąd to się bierze, jedni uważają za problem psychologii społecznej, drudzy za problem teologii.
Te matematyczne twory nie są w swej naturze skończone. Zaden twór skończony nie może być przedmiotem badań matematycznych, gdyż poznanie tworu skończonego nie wymaga rozumowania, lecz jedynie sprawdzenia.
Twór matematyczny może być, i często jest zdefiniowany konstrukcyjnie przez podanie elementów wyjściowych oraz określenie operacji, które w obrębie tego teoru mają być wykonalne. Operacje te mogą mieć rózny charakter: przedłużania, rozdrabniania, brania punktów wspólnych. Nasza matematyka uformowana przez nasze doświadczenia, doświadczenia istot średniego rozmiaru, skłania zarówno donieograniczonego rozdrabniania, jak i niograniczonego przedłużania. Przy tym operacje te mogą być stosowane jedynie skończoną licbę razy, ale liczba ta nie jest ograniczona
