Login lub e-mail Hasło   

System Trachtenberga

Odnośnik do oryginalnej publikacji: http://www.adamklimowski.tox.pl/system-t(...)ga.html
123456789 razy 4. Jak wiele czasu zajmie wam obliczenie wyniku tego działania? Zastanawialiście się nieraz, jak przyspieszyć wykonywanie takich obliczeń?
Wyświetlenia: 19.201 Zamieszczono 03/01/2008

123456789 razy 4. Jak wiele czasu zajmie wam obliczenie wyniku tego działania?

Zastanawialiście się nieraz, jak przyspieszyć wykonywanie obliczeń podobnych do powyższego przykładu? Jak skutecznie mnożyć kilkunastocyfrowe liczby przez 3,4,5,6,7,8,9,10,11,12? Okazuje się, że istnieje pewien system, pozwalający na to. Stworzył go ukraiński inżynier, Jakow Trachtenberg, w czasie swojego pobytu w... obozie koncentracyjnym.

Uwaga 1: pod pojęciem sąsiad rozumiemy cyfrę znajdującą się po prawej stronie danej cyfry (gdy dana cyfra nie ma sąsiada, przyjmujemy 0)

Uwaga 2: każdej liczbie, na której wykonujemy działania, przypisujemy z przodu 0 (np. jeśli rozważamy liczbę 7623, zapisujemy ją jako 07623)

Uwaga 3: pod pojęciem połowy danej cyfry rozumiemy jej połowę zaokrągloną do całości w dół, np. połowa 7 to 3. Połowa 1 to 0, połowa 0 to 0.

Mnożenie przez 12

  1. Rozważamy liczbę 7117. Zgodnie z uwagą 2 zapisujemy ją jako 07117.
  2. Zapisujemy cyfry danej liczby pionowo, zaczynając od ostatniej cyfry i pamiętając o zerze.
  3. Mnożymy każdą cyfrę przez 2 i dodajemy do niej sąsiada.
  4. Jeżeli otrzymamy w jakimś miejscu liczbę większą od 10, np. 12, to zostawiamy 2, a jedynkę przesuwamy niżej.

Rozwiązanie:

7 = 7 x 2 + 0 (brak sąsiada) = 1/4 (czwórka zostaje, jedynka idzie w dół)
1 = 1 x 2 + 7 (sąsiad) + 1 (ta z góry) = 1/0
1 = 1 x 2 + 1 (sąsiad) + 1 (ta z góry) = 4
7 = 7 x 2 + 1 (sąsiad) = 1/5
0 = 0 x 2 + 7 (sąsiad) + 1 (ta z góry) = 8

Wynik odczytujemy, zaczynając od dołu. 85404. Zgadza się.

Mnożenie przez 11

  1. Rozważamy liczbę 2345. Zgodnie z uwagą 2 zapisujemy ją jako 02345.
  2. Zapisujemy cyfry danej liczby pionowo, zaczynając od ostatniej cyfry i pamiętając o zerze.
  3. Do każdej cyfry dodajemy jej sąsiada.
  4. Jeżeli otrzymamy w jakimś miejscu liczbę większą od 10, np. 12, to zostawiamy 2, a jedynkę przesuwamy niżej.

Rozwiązanie:

5 = 5 + 0 (brak sąsiada) = 5
4 = 4 + 5 (sąsiad) = 9
3 = 3 + 4 (sąsiad) = 7
2 = 2 + 3 (sąsiad) = 5
0 = 0 + 2 (sąsiad) = 2

Wynik odczytujemy, zaczynając od dołu. 25795. Zgadza się.

Mnożenie przez 9

  1. Rozważamy liczbę 34567. Zgodnie z uwagą 2 zapisujemy ją jako 034567.
  2. Zapisujemy cyfry danej liczby pionowo, zaczynając od ostatniej cyfry i pamiętając o zerze.
  3. Bierzemy pierwszą cyfrę ze słupka i odejmujemy ją od 10.
  4. Każdą kolejną cyfrę odejmujemy od 9. Do wyniku dodajemy sąsiada.
  5. Jeżeli otrzymamy w jakimś miejscu liczbę większą od 10, np. 12, to zostawiamy 2, a jedynkę przesuwamy niżej.

Rozwiązanie:

7 = 10 - 7 =3
6 = (9 - 6) + 7 (sąsiad) = 1/0
5 = (9 - 5) + 6 (sąsiad) + 1 (ta z góry) = 1/1
4 = (9 - 4) + 5 (sąsiad) + 1 (ta z góry) = 1/1
3 = (9 - 3) + 4 (sąsiad) + 1 (ta z góry) = 1/1
0 = (9 - 0) + 3 (sąsiad) + 1 (ta z góry) = 1/3 (jedynka idzie w dół; nie bierzemy jej pod uwagę)

Wynik odczytujemy, zaczynając od dołu. 311103. Zgadza się.

Mnożenie przez 8

  1. Rozważamy liczbę 45678. Zgodnie z uwagą 2 zapisujemy ją jako 045678.
  2. Zapisujemy cyfry danej liczby pionowo, zaczynając od ostatniej cyfry i pamiętając o zerze.
  3. Bierzemy pierwszą cyfrę ze słupka i odejmujemy ją od 10. Wynik mnożymy przez 2.
  4. Każdą kolejną cyfrę odejmujemy od 9. Wynik mnożymy przez 2. Dodajemy sąsiada.
  5. Jeżeli otrzymamy w jakimś miejscu liczbę większą od 10, np. 12, to zostawiamy 2, a jedynkę przesuwamy niżej.

Rozwiązanie:

8 = (10 - 8) x 2 = 4
7 = (9 - 7) x 2 + 8 (sąsiad) = 1/2
6 = (9 - 6) x 2 + 7 (sąsiad) + 1 (ta z góry) = 1/4
5 = (9 - 5) x 2 + 6 (sąsiad) + 1 (ta z góry) = 1/5
4 = (9 - 4) x 2 + 5 (sąsiad) + 1 (ta z góry) = 1/6
0 = (9 - 0) x 2 + 4 (sąsiad) + 1 (ta z góry) = 2/3 (dwójka idzie w dół; nie bierzemy jej pod uwagę)

Wynik odczytujemy, zaczynając od dołu. 365424. Zgadza się.

Mnożenie przez 7

  1. Rozważamy liczbę 56789. Zgodnie z uwagą 2 zapisujemy ją jako 056789.
  2. Zapisujemy cyfry danej liczby pionowo, zaczynając od ostatniej cyfry i pamiętając o zerze.
  3. Podwajamy każdą cyfrę i dodajemy do niej połowę sąsiada. Jeśli cyfra wyjściowa jest nieparzysta, dodajemy 5.
  4. Jeżeli otrzymamy w jakimś miejscu liczbę większą od 10, np. 12, to zostawiamy 2, a jedynkę przesuwamy niżej.

Rozwiązanie:

9 = 9 x 2 + 0 (brak sąsiada) + 5 (9 jest nieparzyste) = 2/3
8 = 8 x 2 + 4 (sąsiad) + 2 (ta z góry) = 2/2
7 = 7 x 2 + 4 (sąsiad) + 5 (7 jest nieparzyste) + 2 (ta z góry) = 2/5
6 = 6 x 2 + 3 (sąsiad) + 2 (ta z góry) = 1/7
5 = 5 x 2 + 3 (sąsiad) + 5 (5 jest nieparzyste) + 1 (ta z góry) = 1/9
0 = 0 x 2 + 2 (sąsiad) + 1 (ta z góry) = 3

Wynik odczytujemy, zaczynając od dołu. 397523. Zgadza się.

Mnożenie przez 6

  1. Rozważamy liczbę 67890. Zgodnie z uwagą 2 zapisujemy ją jako 067890.
  2. Zapisujemy cyfry danej liczby pionowo, zaczynając od ostatniej cyfry i pamiętając o zerze.
  3. Dodajemy do każdej cyfry połowę sąsiada. Jeśli cyfra wyjściowa jest nieparzysta, dodajemy 5.
  4. Jeżeli otrzymamy w jakimś miejscu liczbę większą od 10, np. 12, to zostawiamy 2, a jedynkę przesuwamy niżej.

Rozwiązanie:

0 = 0 + 0 (brak sąsiada) = 0
9 = 9 + 0 (połowa sąsiada) + 5 (9 jest nieparzyste) = 1/4
8 = 8 + 4 (połowa sąsiada) + 1 (ta z góry) = 1/3
7 = 7 + 4 (połowa sąsiada) + 5 (7 jest nieparzyste) + 1 (ta z góry) = 1/7
6 = 6 + 3 (połowa sąsiada) + 1 (ta z góry) = 1/0
0 = 0 + 3 (połowa sąsiada) + 1 (ta z góry) = 4

Wynik odczytujemy, zaczynając od dołu. 407340. Zgadza się.

Mnożenie przez 5

  1. Rozważamy liczbę 91372. Zgodnie z uwagą 2 zapisujemy ją jako 091372.
  2. Zapisujemy cyfry danej liczby pionowo, zaczynając od ostatniej cyfry i pamiętając o zerze.
  3. Każdej cyfrze przypisujemy połowę sąsiada. Jeśli cyfra wyjściowa jest nieparzysta, dodajemy 5.
  4. Jeżeli otrzymamy w jakimś miejscu liczbę większą od 10, np. 12, to zostawiamy 2, a jedynkę przesuwamy niżej.

Rozwiązanie:

2 = 0 (brak sąsiada) = 0
7 = 1 (połowa sąsiada) + 5 (7 jest nieparzyste) = 6
3 = 3 (połowa sąsiada) + 5 (3 jest nieparzyste) = 8
1 = 1 (połowa sąsiada) + 5 (1 jest nieparzyste) = 6
9 = 0 (połowa sąsiada) + 5 (9 jest nieparzyste) = 5
0 = 4 (połowa sąsiada) + 1 = 4

Wynik odczytujemy, zaczynając od dołu. 456860. Zgadza się.

Mnożenie przez 4

  1. Rozważamy liczbę 8621. Zgodnie z uwagą 2 zapisujemy ją jako 08621.
  2. Zapisujemy cyfry danej liczby pionowo, zaczynając od ostatniej cyfry i pamiętając o zerze.
  3. Pierwszą cyfrę w słupku odejmujemy od 10. Do wyniku dodajemy 5, jeśli cyfra wyjściowa jest nieparzysta.
  4. Każdą kolejną cyfrę odejmujemy od 9. Do wyniku dodajemy połowę sąsiada. Do wyniku dodajemy 5, jeśli cyfra wyjściowa jest nieparzysta.
  5. Jeżeli otrzymamy w jakimś miejscu liczbę większą od 10, np. 12, to zostawiamy 2, a jedynkę przesuwamy niżej.

Rozwiązanie:

1 = (10 - 1) + 0 (brak sąsiada) + 5 (1 jest nieparzyste) = 1/4
2 = 7 + 0 (połowa sąsiada) + 1 (ta z góry) = 8
6 = 3 + 1 (połowa sąsiada) = 4
8 = 1 + 3 (połowa sąsiada) = 4
0 = 9 + 4 (połowa sąsiada) = 1/3 (jedynka idzie w dół; nie bierzemy jej pod uwagę)

Wynik odczytujemy, zaczynając od dołu. 34484. Zgadza się.

Mnożenie przez 3

  1. Rozważamy liczbę 5083. Zgodnie z uwagą 2 zapisujemy ją jako 05083.
  2. Zapisujemy cyfry danej liczby pionowo, zaczynając od ostatniej cyfry i pamiętając o zerze.
  3. Pierwszą cyfrę w słupku odejmujemy od 10. Wynik mnożymy przez 2. Do wyniku dodajemy 5, jeśli cyfra wyjściowa jest nieparzysta.
  4. Każdą kolejną cyfrę odejmujemy od 9. Wynik mnożymy przez 2. Do wyniku dodajemy połowę sąsiada. Do wyniku dodajemy 5, jeśli cyfra wyjściowa jest nieparzysta.
  5. Jeżeli otrzymamy w jakimś miejscu liczbę większą od 10, np. 12, to zostawiamy 2, a jedynkę przesuwamy niżej.

Rozwiązanie:

3 = (10 - 3) x 2 + 0 (brak sąsiada) + 5 (3 jest nieparzyste) = 1/9
8 = (9 - 8) x 2 + 1 (połowa sąsiada) + 1 (ta z góry) = 4
0 = (9 - 0) x 2 + 4 (połowa sąsiada) = 2/2
5 = (9 - 5) x 2 + 0 (połowa sąsiada) + 5 (5 jest nieparzyste) + 2 (ta z góry) = 1/5
0 = (9 - 0) x 2 + 2 (połowa sąsiada) + 1 (ta z góry) = 2/1 (dwójka idzie w dół; nie bierzemy jej pod uwagę)

Wynik odczytujemy, zaczynając od dołu. 15249. Zgadza się.

Mnożenie przez 2

  1. Rozważamy liczbę 9870. Zgodnie z uwagą 2 zapisujemy ją jako 09870.
  2. Zapisujemy cyfry danej liczby pionowo, zaczynając od ostatniej cyfry i pamiętając o zerze.
  3. Podwajamy każdą cyfrę.
  4. Jeżeli otrzymamy w jakimś miejscu liczbę większą od 10, np. 12, to zostawiamy 2, a jedynkę przesuwamy niżej.

Rozwiązanie:

0 = 0 x 2 = 0
7 = 7 x 2 = 1/4
8 = 8 x 2 + 1 (ta z góry) = 1/7
9 = 9 x 2 + 1 (ta z góry) = 1/9
0 = 0 x 2 + 1 (ta z góry) = 1

Wynik odczytujemy, zaczynając od dołu. 19740. Zgadza się.

Podobne artykuły


39
komentarze: 19 | wyświetlenia: 35683
30
komentarze: 38 | wyświetlenia: 5083
27
komentarze: 31 | wyświetlenia: 38760
25
komentarze: 37 | wyświetlenia: 2451
20
komentarze: 16 | wyświetlenia: 3011
19
komentarze: 6 | wyświetlenia: 3812
18
komentarze: 10 | wyświetlenia: 2017
18
komentarze: 7 | wyświetlenia: 2379
16
komentarze: 19 | wyświetlenia: 2379
16
komentarze: 4 | wyświetlenia: 17996
17
komentarze: 6 | wyświetlenia: 3152
14
komentarze: 3 | wyświetlenia: 17708
 
Autor
Artykuł



  Mirosław T  (www),  30/05/2008

Niecodzienny artykuł o algorytmach w matematyce. O tym, że ten sam problem da się "podejść" na kilka, czasami zaskakujących, sposobów. Myślę, że dla programistów taki artykuł powinien być abecadłem.

Po jego przeczytaniu nasuwa mi się wniosek z nieco innej dziedziny. Nie dziwię się, że to ludzie, a nie np. króliki zbudowały miasta i cywilizację ;)

  Leeon,  23/11/2008

Skoro to i tak trzeba zapisywać to tradycyjna metoda obliczania pisemnego jest o niebo szybsza i prostsza, chyba, że ktoś nie ma bladego pojęcia jak się oblicza pisemnie

  steal,  01/12/2008

To nie ten sam inżynier zbudował w obozie koncentracyjnym kalkulator mechaniczny? Jeżeli tak, to ta metoda opisuje działanie tego kalkulatora (odpowiedź na komentarz @Leeon).

oj nie wiem czy to aż tak przyśpieszy to liczenie... moim zdaniem pisemnie jest o dużo szybciej i mniejsze prawdopodobieństwo popełnienia błędu ;p

  MrMath  (www),  05/04/2016

Algorytm zadziwia swą złożonością. Cierpliwy człowiek z tego Jakowa Trachtenberga.



Dodaj swoją opinię
W trosce o jakość komentarzy wymagamy od użytkowników, aby zalogowali się przed dodaniem komentarza. Jeżeli nie posiadasz jeszcze swojego konta, zarejestruj się. To tylko chwila, a uzyskasz dostęp do dodatkowych możliwości!
 

© 2005-2018 grupa EIOBA. Wrocław, Polska