Login lub e-mail Hasło   

Własności geometryczne figur Chladniego - figury płaskie

Odnośnik do oryginalnej publikacji: http://www.i-lo.tarnow.pl/edu/fiz/sym/cp(...)ex.html
Przyjmijmy, że poruszamy się w obszarze zmienności funkcji ( 1.1 ), określonym przez rozmiary płyty: ( x , y ) D 2 , D = <0, p >. Wygodniej będzie badać linie f...
Wyświetlenia: 6.071 Zamieszczono 03/11/2006

Przyjmijmy, że poruszamy się w obszarze zmienności funkcji (1.1), określonym przez rozmiary płyty:

(x,y) D2, D = <0,p>.

Wygodniej będzie badać linie funkcyjne, gdy układ współrzędnych przeniesiemy do środka figury
(translacja o wektor ). W pierwszej chwili formalny zapis komplikuje się:

. (2.1)

Rys. 2

a)


1 : 4; 0

b)


2 : 2; p/4

c)


3 : 1; p/4

d)


3 : 1; p/4

e)


2 : 3; p/3

f)

g)


1 : 4; p/4

h)


3 : 5; p/4

i)


5 : 1; p/4

 

ale jak się okaże niżej, w ogólnym rozrachunku będzie to opłacalne. Obszar zmienności funkcji (1.2) wówczas:

(x,y) D12D1 =

a) okresowość funkcji i wielokrotność argumentu

Rys. 3

a)


1 : 2; -p/4

b)


2 : 4; -p/4

c)


1 : 5; p/4

d)


2 : 10; p/4

Mówiąc o okresie funkcji (1.2) musimy osobno rozróżniać okres względem zmiennej x i zmiennej y. Z uwagi na podobieństwo wyrażeń występujących w rozpatrywanej funkcji wystarczy udowodnić, że jest funkcją okresową, czyli że:

T - okres funkcji.

Po przeniesieniu wyrazów na jedną stronę i zastosowaniu wzoru na sinus różnicy kątów:

Ponieważ pierwszy czynnik nie jest tożsamościowo równy zeru:

  k C \ {0}, T = 2p jest okresem podstawowym (zasadniczym).

Z pojęciem okresu wiąże się również problem wielokrotności argumentu funkcji.

Rozpatrzmy prosty przypadek a = 0.

k <0, m>, k Î Cl  <0,n>,  l Î C.

np. dla m = 3, n = 2 (Rys. 4b) otrzymujemy siatkę prostych:

  Ç 

Rys. 4

a)


2 : 2; 0

b)


3 : 2; 0

b) analiza matematyczna niektórych figur płaskich

Stosunek częstotliwości drgań własnych 3 : 1 (a = p/4 i a = -p/4):

Wprowadzamy fazę: a = p/4 i a= -p/4. Po drobnych przekształceniach otrzymujemy:

dla a = p/4:

dla a = -p/4:

Stosując wzór na funkcje wielokrotności kąta: sin3j = 3sinj - 4sin3j, a następnie wzory redukcyjne i odpowiednio grupując wyrazy:

cos2x + cos2y = 3/2 i odpowiednio cos2x - cos2y = 0.

 (2.2)

Wprowadźmy nowe zmienne: cosx = x i cosy = h. Pierwsze równanie (2.2) można by nazwać równaniem quasiokręgu x2 + h2 = 2/3 (Rys. 5a), a drugie jest po prostu równaniem pary prostych x = h Ç x = -h (Rys. 5b). Oprócz równań otrzymujemy równania brzegów figury (xh = 0), które w tym przykładzie i następnych pomijamy.

Rys. 5

a)


3 : 1; -p/4

b)


3 : 1; p/4

Stosunek częstotliwości drgań własnych 3 : 1 (a = p/8 i a = -p/8)

Zauważmy od razu, że:

Stosując wzór na funkcję wielokrotności kąta: sin3j = 3sinj - 4 sin3j a następnie wzory redukcyjne otrzymujemy:

dla

dla

Opuszczając nawiasy i grupując wyrazy

i odpowiednio:

Po przekształceniach:

  

Wprowadźmy w podobny sposób, jak wyżej, nowe zmienne: cos2x = x i cos2y = h Powyższe równania można by nazwać odpowiednio równaniem elipsy (Rys. 6a) i quasi-hiperboli (Rys. 6b):

(2.3)

Rys. 6

a)


3 : 1; p/8

b)


3 : 1; -p/8

Stosunek częstotliwości drgań własnych 4 : 1 ( a = p/4 i a = -p/4 )

dla a = p/4:
 

dla a = -p/4:

Skorzystajmy dwukrotnie ze wzoru na sinus kąta podwojonego:

Posługując się nim, a następnie grupując wyrazy (wzory na sumę i różnicę sześcianów) otrzymujemy:

i odpowiednio

Jeżeli oznaczymy sinx = x oraz siny = h, to dla a = p/4 oprócz prostej x = -h otrzymujemy równanie quasielipsy x2 + 3h2  = 1 obróconej o kąt a = p/4 (x2 - xh + h2 = 1/2) (Rys. 7a), a dla a = -p/4 prostą x = h oraz równanie tej samej quasielipsy w obrocie o kąt  a = -p/4 (x2  xh + h2 = 1/2) (Rys. 7b).

Rys. 7

a)


4 : 1; p/4

b)


4 : 1; -p/4

Stosunek częstotliwości drgań własnych 5 : 1 (a = p/4 i a = -p/4)

Posłużmy się tożsamością:  Poprawności jej dowodzimy korzystając np. ze wzoru na sinus sumy kątów , albo posługując się gotowym wzorem na sinka, który wyprowadza się na gruncie liczb zespolonych, przy pomocy dwumianu Newtona i formuły Moivre'a [4].


+

Po wprowadzeniu fazy a i zastosowaniu wzorów redukcyjnych

dla a = p/4,  5cos2x - 4cos4x - 5cos2y + 4cos4y = 0,

dla a = -p/4,  5 - 20cos2x + 16cos4x + 5 - 20cos2y + 16cos4y = 0.
 

Stosując wzory skróconego mnożenia oraz grupując wyrazy otrzymujemy następujące rozwiązania:

    (2.4)

i odpowiednio:

(2.5)

Jeżeli w równaniu (2.4) wprowadzimy oznaczenia: cosx = x, cosy = h, a w (2.5) to wówczas równanie (2.4) przedstawia parę prostych x = h Ç x = -h i quasiokrąg x2 + h2 = 5/4 (Rys. 8a), natomiast równanie (2.5) przedstawia wtedy równanie quasiokręgu rzędu 2-go (Rys. 8b).

Rys. 8

a)


5 : 1; p/4

b)


5 : 1; -p/4



Dokument ten rozpowszechniany jest zgodnie z zasadami licencji
GNU Free Documentation License.

Podobne artykuły


16
komentarze: 7 | wyświetlenia: 54193
6
komentarze: 5 | wyświetlenia: 30745
49
komentarze: 18 | wyświetlenia: 64971
50
komentarze: 27 | wyświetlenia: 63517
37
komentarze: 9 | wyświetlenia: 28513
21
komentarze: 14 | wyświetlenia: 66127
23
komentarze: 5 | wyświetlenia: 19525
6
komentarze: 0 | wyświetlenia: 6544
15
komentarze: 3 | wyświetlenia: 6805
15
komentarze: 5 | wyświetlenia: 32758
10
komentarze: 0 | wyświetlenia: 13336
14
komentarze: 1 | wyświetlenia: 10971
 
Autor
Artykuł




Brak wiadomości


Dodaj swoją opinię
W trosce o jakość komentarzy wymagamy od użytkowników, aby zalogowali się przed dodaniem komentarza. Jeżeli nie posiadasz jeszcze swojego konta, zarejestruj się. To tylko chwila, a uzyskasz dostęp do dodatkowych możliwości!
 

© 2005-2018 grupa EIOBA. Wrocław, Polska