Własności geometryczne figur Chladniego - figury płaskie

Przyjmijmy, że poruszamy się w obszarze zmienności funkcji (1.1), określonym przez rozmiary płyty:

(x,y) D², D = <0,p>.

Wygodniej będzie badać linie funkcyjne, gdy układ współrzędnych przeniesiemy do środka figury
(translacja o wektor ). W pierwszej chwili formalny zapis komplikuje się:

ale jak się okaże niżej, w ogólnym rozrachunku będzie to opłacalne. Obszar zmienności funkcji (1.2) wówczas:

(x,y) D₁²,  D₁ =

a) okresowość funkcji i wielokrotność argumentu

Rys. 3

a) 1 : 2; -p/4	b) 2 : 4; -p/4
c) 1 : 5; p/4	d) 2 : 10; p/4

Mówiąc o okresie funkcji (1.2) musimy osobno rozróżniać okres względem zmiennej x i zmiennej y. Z uwagi na podobieństwo wyrażeń występujących w rozpatrywanej funkcji wystarczy udowodnić, że jest funkcją okresową, czyli że:

T - okres funkcji.

Po przeniesieniu wyrazów na jedną stronę i zastosowaniu wzoru na sinus różnicy kątów:

Ponieważ pierwszy czynnik nie jest tożsamościowo równy zeru:

  k C \ {0}, T = 2p jest okresem podstawowym (zasadniczym).

Z pojęciem okresu wiąże się również problem wielokrotności argumentu funkcji.

Rozpatrzmy prosty przypadek a = 0.

k <0, m>, k Î C,  l  <0,n>,  l Î C.

np. dla m = 3, n = 2 (Rys. 4b) otrzymujemy siatkę prostych:

  Ç 

Rys. 4

a) 2 : 2; 0

b) 3 : 2; 0

b) analiza matematyczna niektórych figur płaskich

Stosunek częstotliwości drgań własnych 3 : 1 (a = p/4 i a = -p/4):

Wprowadzamy fazę: a = p/4 i a= -p/4. Po drobnych przekształceniach otrzymujemy:

dla a = p/4:

dla a = -p/4:

Stosując wzór na funkcje wielokrotności kąta: sin3j = 3sinj - 4sin³j, a następnie wzory redukcyjne i odpowiednio grupując wyrazy:

Wprowadźmy nowe zmienne: cosx = x i cosy = h. Pierwsze równanie (2.2) można by nazwać równaniem quasiokręgu x² + h² = 2/3 (Rys. 5a), a drugie jest po prostu równaniem pary prostych x = h Ç x = -h (Rys. 5b). Oprócz równań otrzymujemy równania brzegów figury (xh = 0), które w tym przykładzie i następnych pomijamy.

Rys. 5

a) 3 : 1; -p/4

b) 3 : 1; p/4

Stosunek częstotliwości drgań własnych 3 : 1 (a = p/8 i a = -p/8)

Zauważmy od razu, że:

Stosując wzór na funkcję wielokrotności kąta: sin3j = 3sinj - 4 sin³j a następnie wzory redukcyjne otrzymujemy:

dla : 

dla : 

Opuszczając nawiasy i grupując wyrazy

i odpowiednio:

 

Po przekształceniach:

  

Wprowadźmy w podobny sposób, jak wyżej, nowe zmienne: cos²x = x i cos²y = h Powyższe równania można by nazwać odpowiednio równaniem elipsy (Rys. 6a) i quasi-hiperboli (Rys. 6b):

Rys. 6

a) 3 : 1; p/8

b) 3 : 1; -p/8

Stosunek częstotliwości drgań własnych 4 : 1 ( a = p/4 i a = -p/4 )

dla a = p/4:
 

dla a = -p/4:

Skorzystajmy dwukrotnie ze wzoru na sinus kąta podwojonego:

 

Posługując się nim, a następnie grupując wyrazy (wzory na sumę i różnicę sześcianów) otrzymujemy:

 

i odpowiednio

Jeżeli oznaczymy sinx = x oraz siny = h, to dla a = p/4 oprócz prostej x = -h otrzymujemy równanie quasielipsy x² + 3h²  = 1 obróconej o kąt a = p/4 (x² - xh + h² = 1/2) (Rys. 7a), a dla a = -p/4 prostą x = h oraz równanie tej samej quasielipsy w obrocie o kąt  a = -p/4 (x²  xh + h² = 1/2) (Rys. 7b).

Rys. 7

a) 4 : 1; p/4

b) 4 : 1; -p/4

Stosunek częstotliwości drgań własnych 5 : 1 (a = p/4 i a = -p/4)

Posłużmy się tożsamością:  Poprawności jej dowodzimy korzystając np. ze wzoru na sinus sumy kątów , albo posługując się gotowym wzorem na sinka, który wyprowadza się na gruncie liczb zespolonych, przy pomocy dwumianu Newtona i formuły Moivre'a [4].

+

Po wprowadzeniu fazy a i zastosowaniu wzorów redukcyjnych

dla a = p/4,  5cos²x - 4cos⁴x - 5cos²y + 4cos⁴y = 0,

dla a = -p/4,  5 - 20cos²x + 16cos⁴x + 5 - 20cos²y + 16cos⁴y = 0.
 

Stosując wzory skróconego mnożenia oraz grupując wyrazy otrzymujemy następujące rozwiązania:

i odpowiednio:

Jeżeli w równaniu (2.4) wprowadzimy oznaczenia: cosx = x, cosy = h, a w (2.5) to wówczas równanie (2.4) przedstawia parę prostych x = h Ç x = -h i quasiokrąg x² + h² = 5/4 (Rys. 8a), natomiast równanie (2.5) przedstawia wtedy równanie quasiokręgu rzędu 2-go (Rys. 8b).

Rys. 8

Źródło: mgr Tadeusz Sypek