Miejsca zerowe funkcji - Podsumowanie

W artykule opisano podstawowe metody znajdowania pierwiastków równań liniowych, wielomianowych oraz funkcji rzeczywistych. Podany tutaj materiał należy traktować jako zalążek wiedzy na temat problemów znajdowania miejsc zerowych funkcji.

W ramach równań liniowych opisano trzy interesujące algorytmy rozwiązywania układów równań liniowych:

1. Metoda Cramera - bardzo dokładna, jednakże nie pozwala rozwiązywać układów równań o zbyt dużej liczbie niewiadomych z powodu wykładniczej klasy złożoności obliczeniowej O(n!). Musimy też pamiętać, iż wykorzystywane w niej wyznaczniki mogą przyjmować bardzo duże wartości, ponieważ powstają z iloczynu elementów macierzy współczynników równania. Jeśli przekroczona zostanie precyzja liczb zmiennoprzecinkowych, pojawią się błędy zaokrągleń.
2. Metoda eliminacji Gaussa - bardzo szybka, posiada klasę czasowej złożoności obliczeniowej równą O(n³). Jednakże mniej dokładna od metody Cramera z uwagi na wykonywane dzielenia. W pewnych wypadkach może zawieść pomimo istnienia rozwiązania danego układu równań.
3. Metoda eliminacji Gaussa-Crouta - nieco wolniejsza od eliminacji Gaussa, lecz pozbawiona jej wad. Zawsze znajduje właściwe rozwiązanie, jeśli takie istnieje. Również dokładność tej metody jest zwiększona. Nadaje się do rozwiązywania układów równań o dużej liczbie niewiadomych.

Równania wielomianowe ograniczyliśmy tylko do równań kwadratowych oraz równań sześciennych. Równania wyższych stopni wymagają od ucznia dosyć zaawansowanej wiedzy, co znacznie wykracza poza materiał szkoły średniej. Z drugiej strony następne metody umożliwiają znajdowanie pierwiastków dowolnych funkcji rzeczywistych, zatem również wielomianów wyższych stopni.

Jest to metoda ogólna, która znajduje pierwiastek dowolnej funkcji spełniającej jej wymagania. Zaletą jest duża prostota, co umożliwia zastosowanie w warunkach szkoły średniej. Jednakże z numerycznego punktu widzenia metoda połowienia nie jest specjalnie polecana, ponieważ dokładne wyliczenie pierwiastka wymaga wielu kroków obliczeń.

Metoda połowienia nie wykorzystuje informacji o przebiegu funkcji - interesują ją jedynie znaki funkcji na krańcach przedziału. Dlatego niejako na ślepo szuka pierwiastka zawsze w środku przedziału. Druga z opisanych metod, metoda regula falsi, czyli fałszywej prostej, dużo bardziej efektywnie wyszukuje miejsce pierwiastka w przedziale. Metoda ta wykorzystuje informację nie tylko o znaku. lecz również o wartościach funkcji na krańcach przedziału poszukiwań pierwiastka. W efekcie pierwiastek zostaje zlokalizowany znacznie szybciej niż w metodzie połowienia. Z numerycznego punktu widzenia metoda ta jest polecana z uwagi na jej prostotę i niezawodność.

Ta metoda stanowi w pewnym sensie ulepszenie metody regula falsi. Uwalniamy się w niej od wymogu różnych znaków funkcji na krańcach przedziału poszukiwań pierwiastka. Sieczna jest tworzona za pomocą dwóch poprzednio znalezionych przybliżeń pierwiastka. Dzięki temu rozwiązaniu metoda siecznych szybciej dochodzi do pierwiastka od metody regula falsi. Jednakże okupione to zostało zawodnością metody w przypadku, gdy funkcja w przedziale poszukiwań posiada minima lub maksima lokalne. Wtedy sieczna może w pewnych sytuacjach być równoległa do osi OX lub punkt jej przecięcia z tą osią może leżeć bardzo daleko poza przedziałem poszukiwań. W efekcie zamiast zbieżności otrzymamy rozbieżność metody.

Jest to jedna z najszybszych metod znajdowania pierwiastka funkcji. Wzór obliczeniowy pierwiastka jest bardzo prosty o ile znamy przepis na funkcję pochodną do danej (dla wielomianów nie stanowi to problemu numerycznego). Metoda bardzo szybko znajduje pierwiastek funkcji, jednakże posiada podobne wady jak metoda siecznych - w przypadku zerowania się pochodnej w przedziale poszukiwań pierwiastka metoda Newtona może nie być zbieżna.

• Praca zbiorowa: Encyklopedia szkolna - Matematyka, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1989.
• M. Dryja, J. Jankowska: Przegląd metod i algorytmów numerycznych. WT, Warszawa 1988
• Z.Fortuna, B.Macukow, J.Wąsowski - Metody numeryczne, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 1982

Źródło: mgr Jerzy Wałaszek