A także sposoby znajdowania takich cech.
Jako że to mój pierwszy artykuł : Witam wszystkich Eiobowiczów !
Pomysł na ten artykuł narodził się przeglądając eiobę ,a dokładniej to: http://www.eioba.pl/a/3b/cechy-podzielnosci-liczb-naturalnych
Zauważyłem ,że brakuje tu kilku cech podzielności np.7 i 11.
Początkowo zaplanowałem ten artykuł jako zawierający cechy dla liczb mniejszych niż 100, lecz uznałem że to zbyt dużo pracy.
Opiszę algorytmy znajdowania tych cech, aby każdy sam mógł znaleźć interesującą go cechę.
Cecha podzielności przez 1
Każda liczba całkowita jest podzielna przez 1.
Cecha podzielności przez 2
Liczba jest podzielna przez 2, gdy jej ostatnia cyfra dzieli się przez 2 lub jest zerem.
Przykłady: 4,18,92,100
Cecha podzielności przez 3
Liczba jest podzielna przez 3, gdy suma jej cyfr dzieli się przez 3.
Przykłady: 12,87,111
Cecha podzielności przez 4
Liczba jest podzielna przez 4, gdy jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4 lub są zerami.
Przykłady: 16,156,1224,
Cecha podzielności przez 5
Liczba jest podzielna przez 5, gdy jej ostatnia cyfra to 0 lub 5.
Przykłady: 15,265,9375
Cecha podzielności przez 6
Liczba jest podzielna przez 6, gdy dzieli się przez 2 i 3 równocześnie.
Przykłady:36,126,144
Cecha podzielności przez 7
Wiele osób twierdzi że takiej cechy nie ma lub istnieje tylko dla liczb >1000. Mylą się ! Cech podzielności przez 7 jest mnóstwo ,ale podam tylko te najprostsze i najefektywniejsze.
1.Od liczby oddzielamy jej dwie ostatnie cyfry i do powstałej w ten sposób liczby dodajemy oddzieloną, pomnożoną przez 4. Jeżeli otrzymana liczba dzieli się przez 7 to początkowa też.
Przykład: Dla 3512 mamy 35+48=83 Niestety 83 trzeba już sprawdzić inną metodą(na przykład metodą numer 2).
2.Cyfrę jedności mnożymy przez 5 i dodajemy do liczby utworzonej z pozostałych cyfr. Jeżeli wynik dzieli się przez 7 to liczba początkowa także.
Przykład: Dla 83 mamy 8+15=23 a 23 nie jest podzielne przez 7.
3.Dla dużych liczb:dzielimy liczbę na 6-cyfrowe grupy i sumujemy. Jeżeli wynik dzieli się przez 7 to liczba początkowa również.
Przykład: Dla liczby 864197523713913580247 po podziale 000864+197523+713913+580247=1492547, dalej: 000001 +492547=492548 a 492548/7 = 70364
70364 sprawdzamy metodą nr. 2
4.Liczba jest podzielna przez 7, jeśli suma jej cyfr mnożonych (od prawej) przez kolejne potęgi 3 (włącznie z potęgą zerową: 3^0=1) jest podzielna przez 7.
Przykład:Dla 173 mamy 1*9+7*3+3*1=33 więc 173 nie dzieli się przez 7
Cecha podzielności przez 8
Liczba jest podzielna przez 8 ,gdy liczba utworzona z 3 ostatnich cyfr liczby dzieli się przez 8 lub są one zerami.
Przykład: 1791 nie dzieli się przez 8 ponieważ 791 nie dzieli się przez 8
Cecha podzielności przez 9
Liczba jest podzielna przez 9 gdy suma jej cyfr dzieli się przez 9.
Przykład:123863 nie dzieli się przez 9 bo 1+2+3+8+6+3=23 a 23 nie dzieli się przez 9
Cecha podzielności przez 10
Liczba jest podzielna przez 10 gdy jej ostatnią cyfrą jest 0.
Przykłady:100,1230,1930,
Cecha podzielności przez 11
Liczba jest podzielna przez 11 gdy naprzemienna różnica sumy cyfr dzieli się przez 11 lub równa jest 0(nieważnie czy liczymy od lewej strony czy od prawej).
Przykład: 1231 nie dzieli się przez 11 bo (1+3)-(1+2)=1
Cecha podzielności przez 12
Liczba jest podzielna przez 12 gdy dzieli się przez 3 i 4 równocześnie.
Przykłady:144,492,
Cecha podzielności przez 13
1.Liczba jest podzielna przez 13, jeśli różnica liczby złożonej z trzech ostatnich cyfr i liczby złożonej z pozostałych cyfr jest podzielna przez 13, np. dla 85527 mamy 527 – 85 = 442, 442 / 13 = 34, więc 85527 jest podzielna przez 13.
2.Cyfrę jedności mnożymy przez 4 i dodajemy do liczby utworzonej z pozostałych cyfr.Jeżeli wynik dzieli się przez 13 to liczba początkowa także.Dla 156 mamy 15+24=39 a 39/13=3
Cecha podzielności przez 14
Liczba jest podzielna przez 14 gdy dzieli się równocześnie przez 2 i 7.
Przykłady:70,196
Cecha podzielności przez 15
Liczba jest podzielna przez 15 ,gdy dzieli się równocześnie przez 3 i 5.
Przykłady:180,255
Cecha podzielności przez 16
Liczba jest podzielna przez 16, gdy liczba utworzona z 4 ostatnich cyfr dzieli się przez 16.
Przykłady:86480,739664,
Cecha podzielności przez 17
Cyfrę jedności pomnóż przez 5 i odejmij od liczby utworzonej z pozostałych cyfr.Jeżeli wynik dzieli się przez 17 lub jest zerem to liczba początkowa jest podzielna przez 17.(wynik może być ujemny)
Przykład:Dla 123 mamy 12-15=-3 a więc liczba 123 nie jest podzielna przez 17
Cecha podzielności przez 18
Liczba dzieli się równocześnie przez 2 i 9.
Przykłady:90,198,342
Cecha podzielności przez 19
Cyfrę jedności pomnóż przez 2 i dodaj do liczby utworzonej z pozostałych cyfr.Jeżeli wynik dzieli się przez 19 to liczba początkowa również.
Przykład:Dla 361 36+2=38 czyli liczba 361 dzieli się przez 19
Cecha podzielności przez 20
Liczba dzieli się przez 20 ,gdy jej ostatnią cyfrą jest 0,a przedostatnia cyfra jest podzielna przez 2 lub jest zerem.
Przykłady:2180,26100
Ogólne cechy podzielności
Liczba jest podzielna przez 2^n, jeśli liczba utworzona z n jej ostatnich cyfr jest podzielna przez 2n.
Liczba jest podzielna przez 5^n, jeśli liczba utworzona z n jej ostatnich cyfr jest podzielna przez 5n.
Liczba jest podzielna przez 10^n, jeśli n jej ostatnich cyfr jest zerami
Algorytmy znajdowania cech podzielności
Sposób I
Dla liczby która nie jest pierwsza znalezienie cechy jest proste. Wystarczy rozłożyć liczbę na czynniki pierwsze np. 21=7*3
Ale co zrobić z liczbą pierwszą ? Tym zagadnieniem zajął się Stephen Froggatt i w serwisie math forum opublikował ogólną metodę konstruowania takich cech.
p-liczba pierwsza
1.Szukamy takiej liczby m aby 10m-1 było podzielne przez p
2.Wtedy łatwo sprawdzić że 10(p-m)+1 jest podzielne przez p
3.Teraz mamy do wyboru
a)od badanej liczby oddzielamy cyfrę jedności, mnożymy przez m i dodajemy do pozostałej części liczby x
b)od badanej liczby oddzielamy cyfrę jedności,mnożymy przez m-p i odejmujemy od pozostałej części liczby x
Jeśli otrzymana (mniejsza) liczba dzieli się przez p , to i x dzieli się przez p . Jeśli otrzymana liczba jest jeszcze zbyt duża, można to postępowanie stosować wielokrotnie.
Korzystając z tego algorytmu znajdziemy cechę podzielności dla 7
1.10*5-1=49 a 49:7=7
2.10(7-5)+1=21 a 21:7=3
3.Zbadamy liczbę 285
a)28+(5*5)=53 5+(5*3)=20 20 nie dzieli się przez 7, więc 53 i 285 też nie
b) 28-(5*2)=18 18 nie dzieli się przez 7, więc 285 też nie
Sposób II
Inną metodą wyznaczania cech podzielności jest badanie odwrotności liczby n ,czyli liczby 1/n .
Zachodzą tu dwie możliwości:
1.Otrzymujemy ułamek okresowy o długości okresu k cyfr. Dana liczba jest podzielna przez n gdy suma k-cyfrowych grup dzieli się przez n.
Np. dla 7 mamy 1/7 =0.(142857) długość okresu k=6
Liczba 864197523713913580247 jest podzielna przez 7 bo: 000864 + 197523 + 713913 + 580247 = 1492547, dalej: 000001 + 492547 = 492548 i 492548 / 7 = 70364 a 70364/7=10052
2.Otrzymujemy liczbę o k cyfrach po przecinku .Badana liczba jest podzielna przez n gdy liczba utworzona z k ostatnich cyfr tej liczby dzieli się przez n.
Np.dla 8 mamy 1/n=0.125 -k=3, czyli liczba dzieli się przez 8 gdy liczba utworzona z jej trzech ostatnich cyfr się dzieli.
Wykorzystane źródła:
http://pl.wikipedia.org/wiki/Cecha_podzielności
Licencja: Creative Commons