Login lub e-mail Hasło   

Podział kąta na dowolną liczbę części - konstrukcja

Przedstawię Wam przybliżoną konstrukcję geometryczną konstruowalną środkami klasycznymi (linijka i cyrkiel) przy pomocy, której można dzielić kąty z przedziału (0;180>...
Wyświetlenia: 10.983 Zamieszczono 24/05/2014

Przedstawię Wam przybliżoną konstrukcję geometryczną konstruowalną środkami klasycznymi (linijka i cyrkiel) przy pomocy, której można dzielić kąty z przedziału (0;180> na dowolną liczbę części. Jest to konstrukcja mojego autorstwa. Trysekcja przybliżona wykonana tą konstrukcją w pierwszym przedziale jest 4 razy dokładniejsza od konstrukcji Steinhausa.

Żeby podzielić dany kąt środkowy AOB okręgu o środku O i promienu r = OA = OB na n części, należy najpierw wyznaczyć odpowiedni punkt na dwusiecznej tego kąta, a następnie połączyć odcinkiem otrzymany punkt z punktem przecięcia się okręgu z przedłużeniem jednego z ramion kąta. Punkt przecięcia się odcinka i okręgu podzieli dany kąt AOB na n-tą część. Aby to zobrazować wykonam teraz przybliżoną trysekcje.(rys.1)

Przybliżona trysekcja

Przybliżona trysekcja

Opis czynności:

1. Rysujemy okrąg o środku O i promienu r oraz kąt środkowy AOB, gdzie r = OA = OB

2. Przedłużamy jedno z ramion kąta i punkt przecięcia się z okręgiem oznaczamy C

3. Kreślimy dwusieczną kąta AOB i otrzymujemy punkt D

4. Na dwusiecznej odkładamy odcinek DE = CD

5. Kreślimy symetralną odcinka DE i otrzymujemy punkt F

6. Rysujemy odcinek CF i uzyskujemy punkt G. Kąt AOG jest 3 razy mniejszy od kąta AOB.

Aby wyznaczyć odpowiedni punkt na dwusiecznej danego kąta, należy ustalić ,w którym przedziale dwusiecznej ( na którym odcinku) będzie się on znajdował, ponieważ na dwusiecznej kąta można wyznaczyć przedziały (odcinki). Następnie wykonujemy symetralne odpowiednich odcinków, które wyznaczą nam szukane punkty. I tak pierwszy przedział to (2;4> i kończy się podziałem kąta na 4 równe części. W tym przedziale dany kąt AOB podzielimy na 3 i 4 części.(rys.2)

Podział na 3 i 4

Drugi przedział to (4;8> i kończy się podziałem kąta na 8 równych części. W tym przedziale dany kąt AOB podzielimy na 5, 6, 7 i 8 części.(rys.3)

Podział na 5,6,7 i 8

Trzeci przedział to (8;16> i kończy się podziałem kąta na 16 równych części. W tym przedziale dany kąt AOB podzielimy na 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 i 16 części. Takich przedziałów jest nieskończenie dużo.

Ale możemy również w każdym z tych przedziałów podzielić dany kąt AOB na dowolną liczbę części, czyli np. w pierwszym przedziale (2;4> możemy podzielić dany kąt AOB na 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, itd. części (rys.5), lub w drugim przedziale (4;8> możemy podzielić dany kąt AOB na 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, itd. części. Im większy numer przedziału wybierzemy, tym z większą dokładnością po przecinku wykonamy podział danego kąta zakładając, że nasze narzędzia są idealnie precyzyjne. Dowolnie wybrany przedział (oprócz pierwszego) daje 4 razy dokładniejszy podział kąta na części od poprzedniego przedziału.

Podział na n

Należy równocześnie pamiętać, że dzieląc dany kąt AOB na dowolną liczbę części w wybranym przedziale trzeba ustalić czy otrzymane kąty będziemy jeszcze dzielić dwusiecznymi, pomnażać albo pozostawimy je bez zmian. Będzie to zależało od tego jaką część kąta chcemy uzyskać w danym przedziale. Na przykład dzieląc kąt AOB na 5 części w pierwszym przedziale (2;4>, należy otrzymany kąt AOH podzielić jeszcze na pół (pojedyncza dwusieczna), bo 5-ta część znajduje się w drugim przedziale, który jest wyżej o 1 przedział od przedziału pierwszego, a otrzymana połówka to 5-ta część kąta AOB.(rys.4)

Podział kąta na 5 części w pierwszym przedziale (2;4>

Podział kąta na 5 części

Opis czynności:

1. Rysujemy okrąg o środku O i promienu r oraz kąt środkowy AOB, gdzie r = OA = OB

2. Przedłużamy jedno z ramion kąta i punkt przecięcia się z okręgiem oznaczamy C

3. Kreślimy dwusieczną kąta AOB i otrzymujemy punkt D

4. Na dwusiecznej odkładamy odcinek DE = CD

5. Kreślimy symetralną odcinka DE i otrzymujemy punkt F

6. Kreślimy symetralną odcinka DF i otrzymujemy punkt G

7. Rysujemy odcinek CG i otrzymujemy punkt H

8. Dzielimy kąt AOH na pół i uzyskujemy punkt I. Kąt AOI jest 5 razy mniejszy od kąta AOB

Gdybyśmy chcieli dany kąt AOB podzielić na 9 części w pierwszym przedziale (2;4>, to otrzymany kąt należy podzielić na 4 równe części (podwójna dwusieczna), bo 9-ta część znajduje się w trzecim przedziale, który jest wyżej o 2 przedziały od przedziału pierwszego. Ale gdybyśmy chcieli ten sam kąt podzielić na 9 części w drugim przedziale, to otrzymany kąt należy podzielić tylko na pół (pojedyncza dwusieczna), bo 9-ta część znajduje się w trzecim przedziale, który jest wyżej o 1 przedział od przedziału drugiego. Czyli liczba dwusiecznych zależy od różnicy numeru przedziału, z którego pochodzi liczba części i numeru przedziału, w którym dokonujemy podziału danego kąta AOB. Taką różnice wykonujemy tylko wtedy gdy numer przedzaiłu, z którego pochodzi liczba części jest większy od numeru przedziału, w którym dokonujemy podziału danego kąta AOB.

Natomiast mnożymy otrzymane kąty, wtedy gdy numer przedziału, w którym dokonujemy podziału danego kąta AOB jest wyższy od numeru przedziału, z którego pochodzi liczba części na którą chcemy podzielić kąt AOB. Na przykład chcąc dokonać dokładniejszej trysekcji kąta AOB  wybierając drugi przedział, należy otrzymany kąt zwiększyć dwukrotnie. Tak otrzymana trysekcja jest 4 razy dokładniejsza od trysekcji wykonanej w pierwszym przedziale. (rys.6)

Trysekcja

Opis czynności:

1. Rysujemy okrąg o środku O i promienu r oraz kąt środkowy AOB, gdzie r = OA = OB

2. Przedłużamy jedno z ramion kąta i punkt przecięcia się z okręgiem oznaczamy C

3. Kreślimy dwusieczną kąta AOB i otrzymujemy punkt D

4. Na dwusiecznej odkładamy odcinek DE = CD

5. Na dwusiecznej odkładamy odcinek EF = CE

6. Kreślimy symetralną odcinka EF i otrzymujemy punkt G

7. Łączymy punkty C i G odcinkiem i uzyskujemy punkt H

8. Kąt AOH zwiększamy 2 razy i otrzymujemy kąt AOI, który jest 3 razy mniejszy od kąta AOB

Jeśli chcemy otrzymać trysekcje 16 razy dokładniejszą od trysekcji z pierwszego przedziału, to wybierzmy trzeci przedział. Wtedy otrzymany kąt należy zwiększyć czterokrotnie.

Bez zmian pozostawiamy otrzymane kąty w wyniku podziału danego kąta AOB, gdy liczba części na którą dzielimy ten kąt należy do przedziału, w którym dokonujemy podziału.

Gdy potrafimy dzielić kąty z przedziału (0;180> na dowolną liczbę części, to bez problemu możemy skonstruować dowolny wielokąt foremny wpisany w okrąg. Np. aby uzyskać siedmiokąt foremny, należy podzielić kąt 90 stopni na 7 części, a następnie wybrać 4 kolejne części (bo 360 : 90 = 4), które utworzą bok szukanego siedmiokąta foremnego.

Podobne artykuły


11
komentarze: 172 | wyświetlenia: 488
10
komentarze: 2 | wyświetlenia: 1145
8
komentarze: 0 | wyświetlenia: 290
6
komentarze: 48 | wyświetlenia: 670
6
komentarze: 81 | wyświetlenia: 325
6
komentarze: 58 | wyświetlenia: 2481
5
komentarze: 62 | wyświetlenia: 1036
124
komentarze: 52 | wyświetlenia: 141783
118
komentarze: 23 | wyświetlenia: 239777
91
komentarze: 20 | wyświetlenia: 111167
90
komentarze: 29 | wyświetlenia: 122177
 
Autor
Artykuł

Powiązane tematy





genialnie proste...super. Dzięki za art. Miałem duże problemy z podziałem na przykład na siedmiokąt. Chodzi mi tutaj o podział bębna naganta na 7 otworów. Frezarka jest głupia, albo na tyle mądra na ile ją ustawię. Super sprawa

Bardzo fajna i praktyczna konstrukcja



Dodaj swoją opinię
W trosce o jakość komentarzy wymagamy od użytkowników, aby zalogowali się przed dodaniem komentarza. Jeżeli nie posiadasz jeszcze swojego konta, zarejestruj się. To tylko chwila, a uzyskasz dostęp do dodatkowych możliwości!
 

© 2005-2018 grupa EIOBA. Wrocław, Polska