Często zastanawiałem się, skąd się biorą pieniądze. Przecież kiedy powstawały Stany Zjednoczone, było bardzo mało pieniędzy. Teraz istnieją biliony dolarów. W końcu postanowiłem się tego dowiedzieć i zapytałem się paru profesorów ekonomii. Ich odpowiedzi były tak dziwne, iż myślałem, że robią sobie ze mnie żarty. Przeczytałem więc podręcznik do ekonomii i z zaskoczeniem stwierdziłem, że odpowiedź w nim jest taka sama, jakiej udzielili mi profesorowie. Oczywiście najbardziej oczywisty sposób tworzenia dolarów polega na tym, iż rząd drukuje banknoty i bije monety. Ale istnieje jeszcze inny sposób tworzenia pieniędzy i – ku mojemu zadowoleniu – wiąże się on z szeregami geometrycznymi. Udział w tym biorą banki.
Okazuje się, że banki mogą tworzyć pieniądze z niczego. I nie ma tu czarów. Sztuczka jest lepsza od fałszowania pieniędzy, i to z dwóch powodów: nie trzeba używać prasy drukarskiej oraz jest całkowicie legalna. Polega ona na wierze, jaką ludzie pokładają w przyszłości. Popatrzmy, jak to działa.
Bank musi utrzymywać pewne rezerwy, aby zaspokajać bieżące żądania wypłat posiadaczy kont. Wyobraźmy sobie te pieniądze jako gotówkę w skarbcu. Jeżeli wszyscy posiadacze kont ulegną panice i będą sądzić, że bank wkrótce zbankrutuje, i jeżeli z tego powodu zażądają wypłaty pieniędzy w gotówce, wówczas bank prawdopodobnie nie będzie miał dostatecznych rezerw, aby spełnić te żądania. Bank znajdzie się w kłopotach, a klienci wpadną we wściekłość. Jeżeli jednak taka panika nie występuje, rezerwy banku są wystarczające, aby zaspokoić normalne potrzeby posiadaczy kont.
Niestety niektórzy posiadacze kont tracą wiarę w przyszłość i chcą wycofać pieniądze z Banku Zaufania. Następuje run na bank, czyli panika. Zdarzyło się to podczas Wielkiego Kryzysu, a wówczas rząd federalny w marcu 1933 roku ogłosił zamknięcie banków. Banki miały usprawiedliwienie, aby nie wypłacać pieniędzy: były zamknięte wskutek decyzji rządu. Po kilku tygodniach wypłacalne banki otrzymały zezwolenie na otwarcie i stopniowo powróciła wiara w system bankowy.
Na szczęście ludzie zazwyczaj mają zaufanie do swoich banków. Wierzą, że kiedy zechcą wypłacić swoje pieniądze w gotówce, będą mogli to zrobić. Aby łatwiej podtrzymać tę iluzję, bankierzy ubierają się w tradycyjne garnitury, a architektura banków jest taka, aby wzbudzać zaufanie: podłogi wyłożone granitem, ściany – marmurem, do tego jeszcze kolumny, wszystko przypominające świątynię grecką. Bardziej uzasadnione byłoby zaprojektować bank tak, aby przypomniał kasyno gry w Las Vegas, ale to, oczywiście, zniszczyłoby iluzję.
Zarząd Rezerwy Federalnej wymaga, aby bank utrzymywał pewien ułamek wkładów swoich klientów jako rezerwę, ale resztę może komuś pożyczyć. Dla naszych celów załóżmy, że bank ma obowiązek trzymać jako rezerwę 20 procent, czyli 1/5, pozostałe 80 procent zaś, czyli 4/5, może komuś pożyczyć. Uważajcie teraz pilnie, bo ja sam nie mogłem w to uwierzyć, póki nie przeczytałem o tym w podręczniku.
Załóżmy, że Jacek przychodzi do Banku Zaufania i wpłaca na konto 1000 dolarów. Bank zatrzymuje 200 dolarów jako rezerwę, a 800 (4/5 z 1000) pożycza Joasi. Joasia wpłaca te 800 dolarów do tego samego albo do innego banku. Bank ten zatrzymuje 20 procent z 800 dolarów jako rezerwę, a 640 dolarów (4/5 z 800) pożycza Alicji.
Już się zaczęły czary: Jacek sądzi, że posiada 1000 dolarów, Joasia sądzi, że posiada 800, a Alicja sądzi, że posiada 640. Na początku było tylko 1000 dolarów Jacka. Teraz, zupełnie znikąd, jest łącznie 1000 + 800 + 640 = 2440 dolarów. Niezła sztuczka, prawda? Co więcej, bank zarabia prowizję i odsetki od stworzonych w ten sposób pieniędzy. Jest oczywiste, że banki to bardzo korzystny interes.
Teraz załóżmy, że Alicja wpłaca do banku swoje 640 dolarów. Bank pożycza 512 dolarów (4/5 z 640) Leszkowi. Leszek z kolei wpłaca 512 dolarów, dzięki czemu Bank Zaufania ma prawo udzielić pożyczki na 409,60 dolara (4/5 z 512) Magdzie. I tak dalej, i tak dalej. Obliczmy, ile wyniesie łączna ilość pieniędzy, jeśli tak to będzie szło przez dłuższy czas: wpłata, pożyczka, wpłata, pożyczka itd. Czy jest możliwe, aby w ten sposób stworzyć nieskończoną ilość pieniędzy? Zaraz zobaczymy.
Proces zaczyna się od 1000 dolarów. Następnie jest 800, czyli 4/5 z 1000. Potem jest 640, czyli 4/5 z 800. Inaczej:
Następnie jest 512 dolarów, czyli 4/5 z tej kwoty, a więc:
W każdym kroku kwota jest 4/5 razy mniejsza niż kwota w kroku poprzednim. A zatem całkowita ilość pieniędzy posiadana przez ludzi jest sumą nieskończonego szeregu:
Na poniższym rysunku zilustrowano uczestniczące w tym procederze stosy pieniędzy.
Chcemy się dowiedzieć, czy suma ta jest skończona czy nieskończona. A jeżeli jest skończona, to ile wynosi? Po wyciągnięciu przed nawias wspólnego czynnika 1000, otrzymujemy:
Suma w nawiasach jest szeregiem geometrycznym. Suma tego szeregu wynosi:
Oznacza to, że łączna ilość pieniędzy, jakie Jacek, Joasia, Alicja, Leszek i Magda i tak dalej w swoim mniemaniu posiadają, wynosi 1000 x 5 = 5000 dolarów. (Ekonomiści nazywają ten czynnik, w naszym przypadku 5, mnożnikiem kreacji pieniądza. Mnożnik ten zależy od ułamka wkładów, jaki musi być utrzymywany w charakterze rezerwy. Dokładniej biorąc, mnożnik jest odwrotnością tego ułamka).
Tak więc na początku mieliśmy 1000 dolarów, a po dłuższym czasie będziemy mieli z tego 5000. Pocieszające jest jedynie to, że Bank Zaufania nie może stworzyć nieskończonej ilości pieniędzy z 1000 dolarów. Wyczarował znikąd tylko 4000.
Jeden z czytelników tego, co tu napisałem myślał, że wszystko to jest satyrą. „Przecież ostatecznie pożyczki bankowe muszą zostać spłacone, i to z procentem”. Owszem, pożyczki są spłacone, ale pieniędzmi tworzonymi w opisany przeze mnie sposób. Kto nie wierzy, niech przeczyta jakikolwiek podręcznik ekonomii.
Można też inaczej spojrzeć na zamianę 1000 dolarów w 5000 dolarów. Niepotrzebny tu będzie szereg geometryczny. Musimy jednak teraz założyć, że całkowita ilość pieniędzy jest skończona. Jest to silne założenie. Przy użyciu szeregu geometrycznego nie musieliśmy tego zakładać.
Oznaczamy całkowitą ilość pieniędzy przez T. Ponieważ jest to liczba skończona, możemy na niej wykonywać działania arytmetyczne i algebraiczne. (Jak wiedzieliśmy, liczba ta wynosi 5000, ale udawajmy, że tego nie wiemy). Na T składa się początkowa wpłata 1000 dolarów i wszystkie wpłaty wykonane później. Nazwijmy te późniejsze wpłaty wpłatami wtórnymi. Każda wpłata wtórna wynosi 4/5 wpłaty poprzedniej. Zilustrowane jest to na poniższym rysunku.
Suma wszystkich wpłat wtórnych wynosi 4/5 T (ponieważ każda wpłata wtórna wynosi 4/5 odpowiedniej wpłaty, składającej się na T). A zatem całkowita suma wpłat T jest sumą początkowej wpłaty 1000 dolarów i wszystkich wpłat wtórnych 4/5 T. Inaczej:
Pozostaje zatem tylko rozwiązać to równanie z niewiadomą T.
Ponieważ nie lubimy mianowników, mnożymy obie strony przez 5 i otrzymujemy
5T = 5000 + 4T.
Teraz odejmujemy 4T od obu stron i otrzymujemy
T = 5000.
Tak więc w sposób pośredni wyznaczyliśmy sumę wszystkich wpłat, wykazując że wynosi ona 5000 dolarów. Oznacza to, że wykazaliśmy, iż
Inaczej mówiąc, Bank Zaufania pozwolił nam spojrzeć w inny sposób na szereg geometryczny. Jest to nie mniej czarodziejskie, niż wytwarzanie pieniędzy z niczego. (Metoda ta jest dobra dla każdej liczby r pomiędzy 0 a 1, nie tylko dla 4/5. Jednak pamiętajmy, że przy takim podejściu musieliśmy z góry założyć, że suma T jest liczbą skończoną).
Być może ktoś z was zastanawia się teraz: „Czy mogę założyć bank?” Zapytajcie profesorów ekonomii. Powinni wam polecić jakiś podręcznik.
Sherman K. Stein
Sherman K. Stein jest profesorem matematyki University of California w Davis. Artykuł jest rozdziałem książki Strength in Numbers (wyd. polskie Potęga liczb, wyd. Amber, Warszawa 1998)
Ten artykuł był publikowany w pismie Michael — październik-listopad- grudzień 2001.
Źródło: Sherman K. Stein