Możemy używać wielu funkcji matematycznych i nie wiedzieć w ilu wymiarach liczymy. Spowszedniały nam, przyzwyczailiśmy się do nich, ale one ukazują nam teraz swe nieznane oblicze.
GŁĘBOKA ANALIZA WZORU:
Funkcje sinus i cosinus, to funkcje trygonometryczne, które operują na kącie α.
Wzór
jest prawdziwy dla dowolnego kąta α i w ten sposób obejmuje całą płaszczyznę. Co ciekawe, powyższy wzór jest prawdziwy również dla płaszczyzny zespolonej.
Funkcja sinus bierze pod uwagę kąt α, a ten wyznacza stosunek wartości zmiennej y do przeciwprostokątnej. Innymi słowy, gdybyśmy mieli okrąg o współrzędnych środka w punkcie (0,0) i o promieniu r = 1, to ten promień byłby przeciwprostokątną, a wartość zmiennej y leżałaby na okręgu, np. w punkcie A.
Powyższe wywody ilustruje poniższy rysunek.
Dla ściśle określonego kąta α, punkt A wyznacza dokładną wartość zmiennej y, która w funkcji sinus jest w liczniku, a przeciwprostokątna, będąca tutaj promieniem r, jest w mianowniku.
Podobnie jest w przypadku funkcji cosinus. Różnica jedynie polega na tym, że zamiast zmiennej y, w punkcie A bierzemy pod uwagę zmienną x.
Poniższy wykres przedstawia funkcję sinus i cosinus.
W tym szczególnym przypadku możemy dla funkcji sinus i cosinus, pominąć wartość r, gdyż jest równa 1.
Kąt α jest właściwie długością łuku na wcześniej wspomnianym okręgu i występuje na płaszczyźnie w zakresie od 0 do 2π. Jeżeli kąt α przekroczy ten zakres, to nadal mieści się na omawianej płaszczyźnie i w funkcji sinus i cosinus daje wyniki takie same jak w zakresie od 0 do 2π. Jest tu zachowana pewna kontynuacja, która się powtarza w nieskończoność - od minus nieskończoności −∞ do plus nieskończoności +∞.
Jak widzimy na wykresie funkcji sinus i cosinus, wartości tych funkcji dla zmiennej y, powtarzają się i wahają się w zakresie od -1 do 1.
Inaczej mają się sprawy dla kwadratu funkcji sinus i cosinus - wahają się w zakresie od 0 do 1. Widać wyraźnie na wykresie poniżej, że gdy dodamy wartości obu kwadratów funkcji sinus i cosinus, to osiągamy jedynkę. Kwadraty obu tych funkcji pasują do siebie jak ulał. W porównaniu do poprzedniego wykresu, to co było ujemnością na wykresie funkcji sinus i cosinus, na wykresie kwadratów tych funkcji, przeszło w dodatnie ich wartości.
Ponieważ we wzorze
operujemy funkcjami trygonometrycznymi, sinusem i cosinusem na dowolnym kącie α, to w ten sposób ujmujemy płaszczyznę zespoloną, a skoro powyższe funkcje występują do kwadratu, czyli płaszczyzny zespolone wymnażają się, osiągamy sferę 4-D. Jeżeli wymnażamy dwie płaszczyzny zespolone, czyli 2-D, to:
2-D x 2-D = 4-D.
Sfera 4-D wykracza poza nasze możliwości myślowe, ale dzięki zrozumieniu funkcji sinus i cosinus łatwiej zrozumiemy nowe ujęcie.
Ponieważ w płaszczyźnie zespolonej mamy liczby urojone, to musimy zrozumieć, że wynikiem funkcji sinus i cosinus, będą zawsze liczby rzeczywiste.
Jak widzimy np. w funkcji sinus, wartość urojona i uprości się i otrzymamy:
Jest jeszcze inny ciekawy element, który musimy wziąć pod uwagę, że właściwie przy założeniu, że r = 1 występuje tu szczególna rzecz, której nie widać na pierwszy rzut oka. Otóż obie funkcje sinus i cosinus do kwadratu, tworzą okrąg o promieniu r = 1. Dojdziemy teraz, krok po kroku, do równania okręgu.
W ten sposób doszliśmy do równania koła, które jest w tym ujęciu sinusowym i cosinusowym zadziwiającym wirem, choć zamkniętym w pewnym obszarze, to jednak sięgającym daleko do nieskończoności dwóch płaszczyzn zespolonych 2-D. Również przy założeniu, że r = 1 jest tu zachowana swoista "kwadratura koła".
Całość jest bardzo ciekawą konstrukcją, gdyż liczby urojone, z których się wywodzi, w rzeczywistości są pokonane inną wewnętrzną konstrukcją, która istnieje już w 4-D jako wynik rzeczywisty.
C.D.N.