Login lub e-mail Hasło   

Algorytmy sortujące - sortowanie poprzez scalanie

Odnośnik do oryginalnej publikacji: http://www.i-lo.tarnow.pl/edu/inf/alg/al(...)ex.html
Poczynając od tego rozdziału przechodzimy do opisu algorytmów szybkich , tzn. takich, które posiadają klasę czasowej złożoności obliczeniowej równą O ( n...
Wyświetlenia: 28.522 Zamieszczono 18/10/2006

Poczynając od tego rozdziału przechodzimy do opisu algorytmów szybkich, tzn. takich, które posiadają klasę czasowej złożoności obliczeniowej równą O(n log n) lub nawet lepszą.

W informatyce zwykle obowiązuje zasada, iż prosty algorytm posiada dużą złożoność obliczeniową, natomiast algorytm zaawansowany posiada małą złożoność obliczeniową, ponieważ wykorzystuje on pewne własności, dzięki którym szybciej dochodzi do rozwiązania.

Wiele dobrych algorytmów sortujących korzysta z rekurencji, która powstaje wtedy, gdy do rozwiązania problemu algorytm wykorzystuje samego siebie ze zmienionym zestawem danych.

Jako przykład może posłużyć rekurencyjne obliczanie silni. Silnię liczby n należącej do zbioru liczb naturalnych definiujemy następująco:

n! = 1 2 3 ... (n - 1) n

Na przykład: 5! = 1 2 3 4 5 = 120

Rekurencyjne obliczanie silni

Specyfikacja algorytmu

Dane wejściowe
n - liczba, której silnie liczymy na danym poziomie rekurencyjnym,  n N
Dane wyjściowe
Wartość silni n!

Lista kroków

krok 1: Jeśli n < 2, silnia(n) 1 i zakończ algorytm
krok 2: silnia(n) n silnia(n - 1) i zakończ algorytm

Przykładowy program w języku Pascal

// Rekurencyjne obliczanie silni
//------------------------------
// (C)2005 mgr Jerzy Wałaszek
// I LO w Tarnowie
//------------------------------

program silnia_rek;

function silnia(n : integer) : extended;
begin
if
n < 2 then silnia := 1 else silnia := n * silnia(n - 1);
end;

var
n : cardinal;

begin
writeln('Program oblicza rekurencyjnie silnie z liczby n');
writeln('-----------------------------------------------');
writeln('(C)2005 mgr Jerzy Walaszek I LO w Tarnowie');
writeln;
write('Podaj n = '); readln(n);
writeln;
writeln(n,'! = ',silnia(n):0:0);
writeln;
write('Nacisnij Enter...'); readln;
end.

Dzięki rekurencji funkcja wyliczająca wartość silni staje się niezwykle prosta. Najpierw sprawdzamy warunek zakończenia rekurencji, tzn. sytuację, gdy wynik dla otrzymanego zestawu danych jest oczywisty. W przypadku silni sytuacja taka wystąpi dla n < 2 - silnia ma wartość 1. Jeśli warunek zakończania rekurencji nie wystąpi, to wartość wyznaczamy za pomocą rekurencyjnego wywołania obliczania silni dla argumentu zmniejszonego o 1. Wynik tego wywołania mnożymy przez n i zwracamy jako wartość silni dla n.

Wynaleziony w 1945 roku przez Johna von Neumanna algorytm sortowania przez scalanie jest algorytmem rekurencyjnym. Wykorzystuje zasadę dziel i zwyciężaj, która polega na podziale zadania głównego na zadania mniejsze dotąd, aż rozwiązanie stanie się oczywiste. Algorytm sortujący dzieli porządkowany zbiór na kolejne połowy dopóki taki podział jest możliwy (tzn. podzbiór zawiera co najmniej dwa elementy). Następnie uzyskane w ten sposób części zbioru rekurencyjnie sortuje tym samym algorytmem. Posortowane części łączy ze sobą za pomocą scalania tak, aby wynikowy zbiór był posortowany.

Scalanie zbiorów uporządkowanych

Podstawową operacją algorytmu jest scalanie dwóch zbiorów uporządkowanych w jeden zbiór również uporządkowany. Operację scalania realizujemy wykorzystując pomocniczy zbiór, w którym będziemy tymczasowo odkładać scalane elementy dwóch zbiorów. Ogólna zasada jest następująca:

  1. Przygotuj pusty zbiór tymczasowy

  2. Dopóki żaden ze scalanych zbiorów nie jest pusty, porównuj ze sobą pierwsze elementy każdego z nich i w zbiorze tymczasowym umieszczaj mniejszy z elementów usuwając go jednocześnie ze scalanego zbioru.

  3. W zbiorze tymczasowym umieść zawartość tego scalanego zbioru, który zawiera jeszcze elementy.

  4. Zawartość zbioru tymczasowego przepisz do zbioru wynikowego i zakończ algorytm.

Połączmy za pomocą opisanego algorytmu dwa uporządkowane zbiory: { 1 3 6 7 9 } z { 2 3 4 6 8 }

 

Scalane
zbiory
Zbiór
tymczasowy
Opis wykonywanych działań
[1] 3  6  7  9 
 2  3  4  6  8 
 
Porównujemy ze sobą najmniejsze elementy scalanych zbiorów. Ponieważ zbiory te są już uporządkowane, to najmniejszymi elementami będą zawsze ich pierwsze elementy.
    3  6  7  9 
 2  3  4  6  8 
[1]
W zbiorze tymczasowym umieszczamy mniejszy element, w tym przypadku będzie to liczba 1. Jednocześnie element ten zostaje usunięty z pierwszego zbioru
    3  6  7  9 
[2]  4  6  8 
 1 
Porównujemy kolejne dwa elementy i mniejszy umieszczamy w zbiorze tymczasowym.
   [3] 6  7  9 
  
 3  4  6  8 
 1[2]
Następne porównanie i w zbiorze tymczasowym umieszczamy liczbę 3. Ponieważ są to elementy równe, to nie ma znaczenia, z którego zbioru weźmiemy element 3.
       6  7  9 
  
[3] 4  6  8 
 1 2[3]
Teraz do zbioru tymczasowego trafi drugie 3.
       6  7  
    
[4] 6  8 
 1 2 3[3]
W zbiorze tymczasowym umieszczamy mniejszy z porównywanych elementów, czyli liczbę 4.
      [6] 7  9 
      
 6  8 
 1 2 3 3[4]
Porównywane elementy są równe, zatem w zbiorze tymczasowym umieszczamy dowolny z nich.
          7  
      
[6] 8 
 1 2 3 3 4[6]
Teraz drugą liczbę 6.
         [7] 
        
 8 
 1 2 3 3 4 6[6]
W zbiorze tymczasowym umieszczamy liczbę 7
             9 
         [8]
 1 2 3 3 4 6 6[7]
Teraz 8
            [9] 
 1 2 3 3 4 6 6 7[8]
Drugi zbiór jest pusty. Od tego momentu już nie porównujemy, lecz wprowadzamy do zbioru tymczasowego wszystkie pozostałe elementy pierwszego zbioru, w tym przypadku będzie to liczba 9.

 1 2 3 3 4 6 6 7 8[9]
Koniec scalania. Zbiór tymczasowy zawiera wszystkie elementy scalanych zbiorów i jest uporządkowany. Możemy w dalszej kolejności przepisać jego zawartość do zbioru docelowego.

Z podanego przykładu możemy wyciągnąć wniosek, iż operacja scalania dwóch uporządkowanych zbiorów jest dosyć prosta. Diabeł jak zwykle tkwi w szczegółach.

Algorytm scalania dwóch zbiorów

Przed przystąpieniem do wyjaśniania sposobu łączenia dwóch zbiorów uporządkowanych w jeden zbiór również uporządkowany musimy zastanowić się nad sposobem reprezentacji danych. Przyjmijmy, iż elementy zbioru będą przechowywane w jednej tablicy, którą oznaczymy literką d. Każdy element w tej tablicy będzie posiadał swój numer, czyli indeks z zakresu od 1 do n.

Kolejnym zagadnieniem jest sposób reprezentacji scalanych zbiorów. W przypadku algorytmu sortowania przez scalanie zawsze będą to dwie przyległe połówki zbioru, który został przez ten algorytm podzielony. Co więcej, wynik scalenia ma być umieszczony z powrotem w tym samym zbiorze.

Prześledźmy prosty przykład. Mamy posortować zbiór o postaci: { 6 5 4 1 3 7 9 2 }

 

Sortowany zbiór Opis wykonywanych operacji
d[1] d[2] d[3] d[4] d[5] d[6] d[7] d[8]
6 5 4 1 3 7 9 2 Zbiór wyjściowy.
6 5  4 1 3 7 9 2 Pierwszy podział.
6 5 4 1 3 7 9 2 Drugi podział
6 5 4 1 3 7 9 2 Trzeci podział.
5 6 1 4 3 7 2 9 Pierwsze scalanie.
1
4 5 6 2 3 7 9 Drugie scalanie.
1 2 3 4 5 6 7 9 Trzecie scalanie. Koniec.

Ponieważ w opisywanym tutaj algorytmie sortującym scalane podzbiory są przyległymi do siebie częściami innego zbioru, zatem logiczne będzie użycie do ich definicji indeksów wybranych elementów tych podzbiorów:

ip - indeks pierwszego elementu w młodszym podzbiorze
is - indeks pierwszego elementu w starszym podzbiorze
ik - indeks ostatniego elementu w starszym podzbiorze

Przez podzbiór młodszy rozumiemy podzbiór zawierający elementy o indeksach mniejszych niż indeksy elementów w podzbiorze starszym.

pozostała część zbioru ip ... is ... ik pozostała część zbioru

młodszy podzbiór

starszy podzbiór

Indeks końcowego elementu młodszej połówki zbioru z łatwością wyliczamy - będzie on o 1 mniejszy od indeksu pierwszego elementu starszej połówki.

Po pierwszym podziale prezentowanego powyżej zbioru otrzymujemy następujące wartości indeksów:

Młodsza
 połówka
Starsza
 połówka
ip = 1 is = 5
ik = 8

Po kolejnym podziale połówek otrzymujemy 4 ćwiartki dwuelementowe. Wartości indeksów będą następujące:

Młodsza połówka Starsza połówka
Młodsza
ćwiartka
Starsza
ćwiartka
Młodsza
ćwiartka
Starsza
ćwiartka
ip = 1 is = 3 ip = 5 is = 7
ik = 4 ik = 8

Specyfikacja algorytmu scalania

Scalaj(ip, is, ik)

Dane wejściowe

d[ ] - scalany zbiór
ip - indeks pierwszego elementu w młodszym podzbiorze,  ip N
is - indeks pierwszego elementu w starszym podzbiorze,  is N
ik - indeks ostatniego elementu w starszym podzbiorze,  ik N

Dane wyjściowe

d[ ] - scalony zbiór

Zmienne pomocnicze

p[ ] - zbiór pomocniczy, który zawiera tyle samo elementów, co zbiór d[ ].
i1 - indeks elementów w młodszej połówce zbioru d[ ]i1 N
i2 - indeks elementów w starszej połówce zbioru d[ ]i2 N
i - indeks elementów w zbiorze pomocniczym p[ ]i N

Lista kroków algorytmu scalania

krok 1: i1 ip;   i2 is;   i ip
krok 2: Dla i = ip, ip + 1, ..., ik: wykonuj
    jeśli (i1 = is) (i2 ik  d[i1] > d[i2]), to
        p[i] d[i2];   i2 i2 + 1
    inaczej
        p[i] d[i1];   i1 i1 + 1
krok 3: Dla i = ip, ip + 1,...,ik: d[i] p[i]
krok 4: Zakończ algorytm

Schemat blokowy algorytmu scalania

Operacja scalania dwóch podzbiorów wymaga dodatkowej pamięci o rozmiarze równym sumie rozmiarów scalanych podzbiorów. Dla prostoty na potrzeby naszego algorytmu zarezerwujemy tablicę p o rozmiarze równym rozmiarowi zbioru d[ ]. W tablicy p algorytm będzie tworzył zbiór tymczasowy, który po zakończeniu scalania zostanie przepisany do zbioru d[ ] w miejsce dwóch scalanych podzbiorów.

Parametrami wejściowymi do algorytmu są indeksy ip, is oraz ik, które jednoznacznie definiują położenie dwóch podzbiorów do scalenia w obrębie tablicy d[ ]. Elementy tych podzbiorów będą indeksowane za pomocą zmiennych i1 (młodszy podzbiór od pozycji ip do is - 1) oraz i2 (starszy podzbiór od pozycji is do ik). Na początku algorytmu przypisujemy tym zmiennym indeksy pierwszych elementów w każdym podzbiorze.

Zmienna i będzie zawierała indeksy elementów wstawianych do tablicy p[ ]. Dla ułatwienia indeksy te przebiegają wartości od ip do ik, co odpowiada obszarowi tablicy d[ ] zajętemu przez dwa scalane podzbiory. Na początku do zmiennej i wprowadzamy indeks pierwszego elementu w tym obszarze, czyli ip.

Wewnątrz pętli sprawdzamy, czy indeksy i1 i i2 wskazują elementy podzbiorów. Jeśli któryś z nich wyszedł poza dopuszczalny zakres, to dany podzbiór jest wyczerpany - w takim przypadku do tablicy p przepisujemy elementy drugiego podzbioru.

Jeśli żaden z podzbiorów nie jest wyczerpany, porównujemy kolejne elementy z tych podzbiorów wg indeksów i1 i i2. Do tablicy p[ ] zapisujemy zawsze mniejszy z porównywanych elementów. Zapewnia to uporządkowanie elementów w tworzonym zbiorze wynikowym. Po zapisie elementu w tablicy p[ ], odpowiedni indeks i1 lub i2 jest zwiększany o 1. Zwiększany jest również indeks i, aby kolejny zapisywany element w tablicy p[ ] trafił na następne wolne miejsce. Pętla jest kontynuowana aż do zapełnienia w tablicy p[ ] obszaru o indeksach od ip do ik.

Wtedy przechodzimy do końcowej pętli, która przepisuje ten obszar z tablicy p[ ] do tablicy wynikowej d[ ]. Scalane zbiory zostają zapisane zbiorem wynikowym, który jest posortowany rosnąco.

Specyfikacja algorytmu sortującego

Sortuj_przez_scalanie(ip, ik)

Dane wejściowe

d[ ] - sortowany zbiór
ip - indeks pierwszego elementu w młodszym podzbiorze,  ip N
ik - indeks ostatniego elementu w starszym podzbiorze,  ik N

Dane wyjściowe

d[ ] - posortowany zbiór

Zmienne pomocnicze

is - indeks pierwszego elementu w starszym podzbiorze,  is N

Lista kroków algorytmu sortującego

krok 1: is   (ip + ik + 1) div 2
krok 2: Jeśli is - ip > 1, to wywołaj rekurencyjnie Sortuj_przez_scalanie(ip, is - 1)
krok 3: Jeśli ik - is > 0, to wywołaj rekurencyjnie Sortuj_przez_scalanie(is, ik)
krok 4: Wywołaj Scalaj(ip, is, ik) i zakończ algorytm

Schemat blokowy algorytmu sortującego

Algorytm sortowania przez scalanie jest algorytmem rekurencyjnym. Wywołuje się go z zadanymi wartościami indeksów ip oraz ik. Przy pierwszym wywołaniu indeksy te powinny objąć cały zbiór d, zatem ip = 1, a ik = n.

Najpierw algorytm wyznacza indeks is, który wykorzystywany jest do podziału zbioru na dwie połówki:

- młodszą o indeksach elementów od ip do is - 1
- starszą o indeksach elementów od is do ik

Następnie sprawdzamy, czy dana połówka zbioru zawiera więcej niż jeden element. Jeśli tak, to rekurencyjnie sortujemy ją tym samym algorytmem.

Po posortowaniu obu połówek zbioru scalamy je za pomocą opisanej wcześniej procedury scalania podzbiorów uporządkowanych i kończymy algorytm. Zbiór jest posortowany.

W przykładowych programach procedurę scalania umieściliśmy bezpośrednio w kodzie algorytmu sortującego, aby zaoszczędzić na wywoływaniu.


   
   
   

Poniższe, przykładowe programy są praktyczną realizacją omawianego w tym rozdziale algorytmu. Zapewne można je napisać bardziej efektywnie. To już twoje zadanie. Dokładny opis stosowanych środowisk programowania znajdziesz we wstępie. Programy przed opublikowaniem w serwisie edukacyjnym zostały dokładnie przetestowane. Jeśli jednak znajdziesz jakąś usterkę (co zawsze może się zdarzyć), to prześlij o niej informację do autora. Pozwoli to ulepszyć nasze artykuły. Będziemy Ci za to wdzięczni.

 
       
Efekt uruchomienia programu

// Sortowanie Przez Scalanie
//-------------------------------------------------
// (C)2005 mgr Jerzy Wałaszek
// I Liceum Ogólnokształcące
// im. K. Brodzińskiego
// w Tarnowie
//-------------------------------------------------

program Merge_Sort;

const N = 20; // Liczebność zbioru.

var
d,p : array[1..N] of integer;

// Procedura sortująca
//--------------------
procedure MergeSort(i_p,i_k : integer);
var
i_s,i1,i2,i : integer;
begin
i_s := (i_p + i_k + 1) div 2;
if i_s - i_p > 1 then MergeSort(i_p, i_s - 1);
if i_k - i_s > 0 then MergeSort(i_s, i_k);
i1 := i_p; i2 := i_s;
for i := i_p to i_k do
if
(i1 = i_s) or ((i2 <= i_k) and (d[i1] > d[i2])) then
begin

p[i] := d[i2]; inc(i2);
end
else
begin

p[i] := d[i1]; inc(i1);
end;
for i := i_p to i_k do d[i] := p[i];
end;

// Program główny
//---------------

var
i : integer;
begin
writeln(' Sortowanie przez scalanie ');
writeln('---------------------------');
writeln(' (C)2005 Jerzy Walaszek ');
writeln;

// Najpierw wypełniamy tablicę d[] liczbami pseudolosowymi
// a następnie wyświetlamy jej zawartość

randomize;
for i := 1 to N do d[i] := random(100);
writeln('Przed sortowaniem:'); writeln;
for i := 1 to N do write(d[i] : 4);
writeln;

// Sortujemy

MergeSort(1,N);

// Wyświetlamy wynik sortowania

writeln('Po sortowaniu:'); writeln;
for i := 1 to N do write(d[i] : 4);
writeln;
writeln('Nacisnij Enter...');
readln;
end.

// Sortowanie przez scalanie
//-------------------------------------------------
// (C)2005 mgr Jerzy Wałaszek
// I Liceum Ogólnokształcące
// im. K. Brodzińskiego
// w Tarnowie
//-------------------------------------------------

#include <cmath>
#include <iostream>
#include <iomanip>

using namespace std;

const int N = 20; // Liczebność zbioru.

int d[N],p[N];

// Procedura sortująca
//--------------------

void MergeSort(int i_p, int i_k)
{
int i_s,i1,i2,i;

i_s = (i_p + i_k + 1) / 2;
if(i_s - i_p > 1) MergeSort(i_p, i_s - 1);
if(i_k - i_s > 0) MergeSort(i_s, i_k);
i1 = i_p; i2 = i_s;
for(i = i_p; i <= i_k; i++)
p[i] = ((i1 == i_s) || ((i2 <= i_k) && (d[i1] > d[i2]))) ? d[i2++] : d[i1++];
for(i = i_p; i <= i_k; i++) d[i] = p[i];
}

// Program główny
//---------------

int main()
{
int i;

cout << " Sortowanie przez scalanie\n"
"---------------------------\n"
" (C)2005 Jerzy Walaszek\n\n"
"Przed sortowaniem:\n\n"
;

// Najpierw wypełniamy tablicę d[] liczbami pseudolosowymi
// a następnie wyświetlamy jej zawartość

srand((unsigned)time(NULL));
for(i = 0; i < N; i++) d[i] = rand() % 100;
for(i = 0; i < N; i++) cout << setw(4) << d[i];
cout << endl;

// Sortujemy

MergeSort(0,N-1);

// Wyświetlamy wynik sortowania

cout << "Po sortowaniu:\n\n";
for(i = 0; i < N; i++) cout << setw(4) << d[i];
cout << endl;
system("PAUSE"); return 0;
}

' Sortowanie Przez Scalanie
'-------------------------------------------------
' (C)2005 mgr Jerzy Wałaszek
' I Liceum Ogólnokształcące
' im. K. Brodzińskiego
' w Tarnowie
'-------------------------------------------------

OPTION EXPLICIT

CONST
N = 20 ' Liczebność zbioru.

DIM SHARED d(1 TO N) AS INTEGER
DIM SHARED
p(1 TO N) AS INTEGER

DECLARE SUB
MergeSort(BYVAL i_p AS INTEGER, BYVAL i_k AS INTEGER)

DIM i AS INTEGER

PRINT
" Sortowanie przez scalanie "
PRINT "---------------------------"
PRINT " (C)2005 Jerzy Walaszek "
PRINT

' Najpierw wypełniamy tablicę d() liczbami pseudolosowymi
' a następnie wyświetlamy jej zawartość

RANDOMIZE TIMER
FOR
i = 1 TO N: d(i) = INT(RND * 100): NEXT
PRINT
"Przed sortowaniem:"
PRINT
FOR i = 1 TO N: PRINT USING "####"; d(i);: NEXT
PRINT


' Sortujemy

MergeSort 1, N

' Wyświetlamy wynik sortowania

PRINT "Po sortowaniu:"
PRINT
FOR
i = 1 TO N: PRINT USING "####"; d(i);: NEXT
PRINT
PRINT
"Nacisnij Enter..."
SLEEP
END


' Procedura sortująca
'--------------------
PUBLIC SUB MergeSort(BYVAL i_p AS INTEGER, BYVAL i_k AS INTEGER)

DIM i_s AS INTEGER, i1 AS INTEGER, i2 AS INTEGER, i AS INTEGER

i_s = INT((i_p + i_k + 1) / 2)
IF i_s - i_p > 1 THEN MergeSort i_p, i_s - 1
IF i_k - i_s > 0 THEN MergeSort i_s, i_k
i1 = i_p: i2 = i_s
FOR i = i_p TO i_k
IF (i1 = i_s) OR ((i2 <= i_k) AND (d(i1) > d(i2))) THEN
p(i) = d(i2): i2 = i2 + 1
ELSE
p(i) = d(i1): i1 = i1 + 1
END IF
NEXT
FOR
i = i_p TO i_k: d(i) = p(i): NEXT
END SUB

<html>
<head>
</head>
<body>
<form style=
"BORDER-RIGHT: #ff9933 1px outset;
PADDING-RIGHT: 4px; BORDER-TOP: #ff9933 1px outset;
PADDING-LEFT: 4px; PADDING-BOTTOM: 1px;
BORDER-LEFT: #ff9933 1px outset; PADDING-TOP: 1px;
BORDER-BOTTOM: #ff9933 1px outset;
BACKGROUND-COLOR: #ffcc66"
name="frmmergesort">
<h3 style=
"text-align: center">Sortowanie Przez Scalanie</h3>
<p style=
"TEXT-ALIGN: center">
(C)2005 mgr Jerzy Wałaszek - I LO w Tarnowie
</p>
<hr>
<p style=
"TEXT-ALIGN: center">
<input onclick=
"main()" type="button" value="Sortuj" name="B1">
</p>
<p id=
"t_out" style="TEXT-ALIGN: center">...</p>
</form>

<script language=
javascript>

// Sortowanie Przez Scalanie
//-------------------------------------------------
// (C)2005 mgr Jerzy Wałaszek
// I Liceum Ogólnokształcące
// im. K. Brodzińskiego
// w Tarnowie
//-------------------------------------------------

var N = 20; // Liczebność zbioru.
var d = new Array(N);
var p = new Array(N);

// Procedura sortująca
//--------------------

function MergeSort(i_p, i_k)
{
var i_s,i1,i2,i;

i_s = Math.floor((i_p + i_k + 1) / 2);
if(i_s - i_p > 1) MergeSort(i_p, i_s - 1);
if(i_k - i_s > 0) MergeSort(i_s, i_k);
i1 = i_p; i2 = i_s;
for(i = i_p; i <= i_k; i++)
p[i] = ((i1 == i_s) || ((i2 <= i_k) && (d[i1] > d[i2]))) ? d[i2++] : d[i1++];
for(i = i_p; i <= i_k; i++) d[i] = p[i];
}

function
main()
{
var i,t;

// Najpierw wypełniamy tablicę d[] liczbami pseudolosowymi

for(i = 0; i < N; i++) d[i] = Math.floor(Math.random() * 100);
t = "Przed sortowaniem:<BR><BR>";
for(i = 0; i < N; i++) t += d[i] + " ";
t += "<BR><BR>";

// Sortujemy

MergeSort(0,N-1);

// Wyświetlamy wynik sortowania

t += "Po sortowaniu:<BR><BR>";
for(i = 0; i < N; i++) t += d[i] + " ";
document.getElementById("t_out").innerHTML = t;
}

</script>

</body>
</html>

W celach badawczych testujemy czas wykonania algorytmu sortowania przez scalanie w środowisku opisanym we wstępie. Program testujący jest następujący:

// Program testujący czas sortowania dla
// danego algorytmu sortującego
//--------------------------------------
// (C)2005 mgr Jerzy Wałaszek
// I Liceum Ogólnokształcące
// w Tarnowie
//--------------------------------------

program TestCzasuSortowania;

uses Windows;

const
NAZWA = 'Sortowanie przez scalanie';
K1 = '----------------------------------------------------';
K2 = '(C)2005 mgr J.Wałaszek I LO w Tarnowie';
K3 = '------n---------tpo---------tod---------tpp---------tpk---------tnp';
K4 = '-------------------------------------------------------------------';
MAX_LN = 8; // określa ostatnie LN
LN : array[1..8] of integer = (1000,2000,4000,8000,16000,32000,64000,128000);

var
d,p : array[1..128000] of real; // sortowana tablica
n : integer; // liczba elementów
qpf,tqpc : int64; // dane dla pomiaru czasu
qpc1,qpc2 : int64;

// Tutaj umieszczamy procedurę sortującą tablicę d
//------------------------------------------------

procedure MergeSort(i_p,i_k : integer);
var
i_s,i1,i2,i : integer;
begin
i_s := (i_p + i_k + 1) div 2;
if i_s - i_p > 1 then MergeSort(i_p, i_s - 1);
if i_k - i_s > 0 then MergeSort(i_s, i_k);
i1 := i_p; i2 := i_s;
for i := i_p to i_k do
if
(i1 = i_s) or ((i2 <= i_k) and (d[i1] > d[i2])) then
begin

p[i] := d[i2]; inc(i2);
end
else
begin

p[i] := d[i1]; inc(i1);
end;
for i := i_p to i_k do d[i] := p[i];
end;

function Sort : extended;
begin
QueryPerformanceCounter(addr(qpc1));
MergeSort(1,n);
QueryPerformanceCounter(addr(qpc2));
Sort := (qpc2 - qpc1 - tqpc) / qpf;
end;

// Program główny
//---------------
var
i,j,k : integer;
tpo,tod,tpp,tpk,tnp : extended;
f : Text;
begin
if
QueryPerformanceFrequency(addr(qpf)) then
begin

QueryPerformanceCounter(addr(qpc1));
QueryPerformanceCounter(addr(qpc2));
tqpc := qpc2 - qpc1;

assignfile(f,'wyniki.txt'); rewrite(f);

// Wydruk na ekran

writeln('Nazwa: ',NAZWA);
writeln(K1);
writeln(K2);
writeln;
writeln(K3);

// Wydruk do pliku

writeln(f,'Nazwa: ',NAZWA);
writeln(f,K1);
writeln(f,K2);
writeln(f,'');
writeln(f,K3);
for i := 1 to MAX_LN do
begin

n := LN[i];

// Czas sortowania zbioru posortowanego

for j := 1 to n do d[j] := j;
tpo := Sort;

// Czas sortowania zbioru posortowanego odwrotnie

for j := 1 to n do d[j] := n - j;
tod := Sort;

// Czas sortowania zbioru posortowanego
// z przypadkowym elementem na początku - średnia z 10 obiegów

tpp := 0;
for j := 1 to 10 do
begin
for
k := 1 to n do d[k] := k;
d[1] := random * n + 1;
tpp += Sort;
end;
tpp /= 10;

// Czas sortowania zbioru posortowanego
// z przypadkowym elementem na końcu - średnia z 10 obiegów

tpk := 0;
for j := 1 to 10 do
begin
for
k := 1 to n do d[k] := k;
d[n] := random * n + 1;
tpk += Sort;
end;
tpk /= 10;

// Czas sortowania zbioru nieuporządkowanego - średnia z 10 obiegów

tnp := 0;
for j := 1 to 10 do
begin
for
k := 1 to n do d[k] := random;
tnp += Sort;
end;
tnp /= 10;

writeln(n:7,tpo:12:6,tod:12:6,tpp:12:6,tpk:12:6,tnp:12:6);
writeln(f,n:7,tpo:12:6,tod:12:6,tpp:12:6,tpk:12:6,tnp:12:6);
end;
writeln(K4);
writeln(f,K4);
writeln(f,'Koniec');
closefile(f);
writeln;
writeln('Koniec. Wyniki w pliku WYNIKI.TXT');
end
else writeln('Na tym komputerze program testowy nie pracuje !');
writeln;
write('Nacisnij klawisz ENTER...'); readln;
end.

Otrzymane wyniki są następujące (dla komputera o innych parametrach wyniki mogą się różnić co do wartości czasów wykonania, dlatego w celach porównawczych proponuję uruchomić podany program na komputerze czytelnika):

Zawartość pliku wygenerowanego przez program
Nazwa: Sortowanie przez scalanie
----------------------------------------------------
(C)2005 mgr J.Wałaszek I LO w Tarnowie

------n---------tpo---------tod---------tpp---------tpk---------tnp
1000 0.000274 0.000259 0.000263 0.000262 0.000391
2000 0.000560 0.000591 0.000584 0.000568 0.000840
4000 0.001261 0.001262 0.001248 0.001216 0.002238
8000 0.002701 0.006158 0.003400 0.002767 0.003980
16000 0.006094 0.005883 0.005942 0.005916 0.008612
32000 0.013152 0.012807 0.012899 0.012949 0.018664
64000 0.027800 0.026875 0.027786 0.027917 0.039992
128000 0.060092 0.057705 0.058853 0.059038 0.084633
-------------------------------------------------------------------
Koniec

Objaśnienia oznaczeń (wszystkie czasy podano w sekundach):

n -  ilość elementów w sortowanym zbiorze
tpo -  czas sortowania zbioru posortowanego
tod -  czas sortowania zbioru posortowanego malejąco
tpp -  czas sortowania zbioru posortowanego z losowym elementem na początku
tpk -  czas sortowania zbioru posortowanego z losowym elementem na końcu
tnp -  czas sortowania zbioru z losowym rozkładem elementów

(Arkusz kalkulacyjny Excel do wyznaczania klasy czasowej złożoności obliczeniowej)

(Arkusz kalkulacyjny Excel do wyznaczania wzrostu prędkości sortowania)

Analizując wyniki obliczeń w arkuszu kalkulacyjnym otrzymanych czasów sortowania dla algorytmu sortowania przez scalanie wyciągamy następujące wnioski:

Cechy Algorytmu Sortowania Przez Scalanie
klasa złożoności obliczeniowej optymistyczna O(n log n)
klasa złożoności obliczeniowej typowa
klasa złożoności obliczeniowej pesymistyczna
Sortowanie w miejscu NIE
Stabilność TAK

Klasy złożoności obliczeniowej szacujemy następująco:

  • optymistyczna - dla zbiorów uporządkowanych (z niewielką liczbą elementów nie na swoich miejscach) - na podstawie czasów tpo, tpp, tpk
  • typowa - dla zbiorów o losowym rozkładzie elementów - na podstawie czasu tnp
  • pesymistyczna - dla zbiorów posortowanych odwrotnie - na podstawie czasu tod.
Własności algorytmu
Algorytm tpo tod tpp tpk tnp
Sortowanie przez scalanie O(n log n) O(n log n) O(n log n) O(n log n) O(n log n)
tpo tod tpp tpk
tnp   2 tod
3
  1. Wszystkie badane czasy są proporcjonalne do nlog2n, zatem wnioskujemy, iż algorytm sortowania przez scalanie posiada klasę czasowej złożoności obliczeniowej równą O(n log n).
  2. Najdłużej trwa sortowanie zbioru nieuporządkowanego. Jednakże badane czasy nie różnią się wiele pomiędzy sobą, co sugeruje, iż algorytm nie jest specjalnie czuły na rozkład danych wejściowych.
Wzrost prędkości sortowania
Algorytmy tpo tod tpp tpk tnp
Sortowanie metodą Shella
Sortowanie przez scalanie
  6
5
  2
  4
3
  4
3
  5
2
dobrze dobrze dobrze dobrze dobrze
  1. Porównanie czasów działania algorytmów sortowania metodą Shella oraz sortowania przez scalanie doprowadza do wniosku, iż ten drugi algorytm jest szybszy. W przypadku ogólnym zbiór zostanie posortowany 2,5 razy szybciej (dokładniejsza analiza na pewno pokaże, iż nie są to stosunki stałe, lecz zależą on liczby elementów w sortowanym zbiorze i rosną wraz ze wzrostem n). W przypadku zbioru posortowanego odwrotnie zysk jest dwukrotny. Szybkość działania jest jednak okupiona większym zapotrzebowaniem na pamięć - złożoność pamięciowa jest klasy O(n), gdyż dla n elementowego zbioru musimy dodatkowo zarezerwować tablicę n elementową dla zbioru będącego wynikiem scalania.

  1. Porównaj wzrost prędkości działania algorytmu sortowania przez scalanie w stosunku do algorytmu sortowania przez wstawianie. Wyciągnij odpowiednie wnioski.

  2. Ile razy zostanie podzielony zbiór 128 elementowy w trakcie działania algorytmu sortowania przez scalanie?

  3. Podany algorytm scalania podzbiorów uporządkowanych można ulepszyć, jeśli rozważymy przypadki wyczerpania elementów w jednym z podzbiorów. Wtedy elementy drugiego podzbioru można bezpośrednio przekopiować do zbioru tymczasowego bez wykonywania dalszych porównań. Zaprojektuj taki algorytm, ułóż na jego podstawie program i sprawdź, czy to usprawnienie daje spodziewane przyspieszenie sortowania zbioru.

  4. Określ klasę złożoności obliczeniowej operacji scalania dwóch zbiorów uporządkowanych m- i n elementowych.

  5. Jak należy scalać podzbiory w algorytmie sortowania przez scalanie, aby był zachowany warunek stabilności - elementy równe zachowują swoją kolejność w zbiorze posortowanym.

 Dokument ten rozpowszechniany jest zgodnie z zasadami licencji

GNU Free Documentation License.

Podobne artykuły


16
komentarze: 5 | wyświetlenia: 9002
9
komentarze: 0 | wyświetlenia: 2782
49
komentarze: 18 | wyświetlenia: 64971
12
komentarze: 3 | wyświetlenia: 29778
37
komentarze: 9 | wyświetlenia: 28512
17
komentarze: 4 | wyświetlenia: 14160
15
komentarze: 5 | wyświetlenia: 32756
13
komentarze: 2 | wyświetlenia: 22958
12
komentarze: 2 | wyświetlenia: 18504
11
komentarze: 2 | wyświetlenia: 33148
11
komentarze: 1 | wyświetlenia: 10468
11
komentarze: 1 | wyświetlenia: 86396
10
komentarze: 1 | wyświetlenia: 34967
10
komentarze: 5 | wyświetlenia: 20411
 
Autor
Artykuł




Brak wiadomości


Dodaj swoją opinię
W trosce o jakość komentarzy wymagamy od użytkowników, aby zalogowali się przed dodaniem komentarza. Jeżeli nie posiadasz jeszcze swojego konta, zarejestruj się. To tylko chwila, a uzyskasz dostęp do dodatkowych możliwości!
 

© 2005-2018 grupa EIOBA. Wrocław, Polska