Schemat Hornera

W poprzednim rozdziale podaliśmy algorytm obliczania wartości liczby na podstawie wzoru:

C_n-1C_n-2...C₂C₁C₀ = C_n-1 p^n-1 + C_n-2 p^n-2 + ... + C₂ p² + C₁ p¹ + C₀ p⁰

W zastosowaniach informatycznych korzysta się z innego rozwiązania, zwanego schematem Hornera. Właściwie schemat ten ma zastosowanie przy wyznaczaniu wartości wielomianu, lecz jeśli przyjrzymy się dokładnie powyższemu wzorowi, to na pewno zauważymy podobieństwo do wzoru na wartość wielomianu:

W(x) = a_n-1 x^n-1 + a_n-2 x^n-2 + ... + a₂ x² + a₁ x + a₀

Współczynniki a_i dla i = 0,1,2,...,n-1 odpowiadają wartościom cyfr C. Natomiast kolejne potęgi zmiennej x to oczywiście potęgi podstawy p. Schemat Hornera wyznaczymy dla 5-cio cyfrowej liczby (dla n-cyfrowej zasada jest identyczna, jednakże uczniowie gubią się w rachunkach). Liczba zapisana jest w systemie pozycyjnym o podstawie p ciągiem cyfr C₄C₃C₂C₁C₀ i ma wartość:

L = C₄ p⁴ + C₃ p³ + C₂ p² + C₁ p¹ + C₀ p⁰

Ponieważ p¹ = p oraz p⁰ = 1, powyższy wzór można nieco uprościć i zapisać go w postaci:

L = C₄ p⁴ + C₃ p³ + C₂ p² + C₁ p + C₀

Wyprowadzamy przed nawias wspólny czynnik p:

L = p (C₄ p³ + C₃ p² + C₂ p + C₁) + C₀

Zwróć uwagę, iż wyrażenie w nawiasie ma niższy stopień. Znów wyprowadzamy przed nawias wspólny czynnik p.

L = p (p (C₄ p² + C₃ p + C₂) + C₁) + C₀

I jeszcze raz:

L = p (p (p (C₄ p + C₃) + C₂) + C₁) + C₀

I po raz ostatni:

L = p (p (p (p (C₄)+ C₃) + C₂) + C₁) + C₀

Ze względu na przemienność operacji mnożenia otrzymany wzór możemy zapisać w postaci:

L = ((((C₄) p + C₃) p + C₂) p + C₁) p + C₀

Teraz wartość liczby obliczamy wyliczając wartości wyrażeń w kolejnych nawiasach:

L₀ = C₄ - wartość początkowa
L₁ = L₀ p + C₃ = C₄ p + C₃
L₂ = L₁ p + C₂ = (C₄ p + C₃) p + C₂ = C₄ p² + C₃ p + C₂
L₃ = L₂ p + C₁ = (C₄ p² + C₃ p + C₂) p + C₁ = C₄ p³ + C₃ p² + C₂ p + C₁
L₄ = L₃ p + C₀ = (C₄ p³ + C₃ p² + C₂ p + C₁) p + C₀ = C₄ p⁴ + C₃ p³ + C₂ p² + C₁ p + C₀

Zwróć uwagę na sposób wyliczania wartości liczby. Wyraźnie widoczny jest pewien schemat postępowania. Najpierw za wartość liczby przyjmujemy C₄. Następnie do wyczerpania pozostałych cyfr wykonujemy te same obliczenia: nową wartość otrzymujemy mnożąc poprzednią wartość przez podstawę systemu i dodając kolejną cyfrę. Rachunki kończymy po dodaniu ostatniej cyfry zapisu liczby.

Schemat ten nosi nazwę schematu Hornera.

 

Obliczyć za pomocą schematu Hornera wartość liczby piątkowej 4223213₍₅₎.

L₀ = 4
L₁ = 4 x 5 + 2 = 22
L₂ = 22 x 5 + 2 = 112
L₃ = 112 x 5 + 3 = 563
L₄ = 563 x 5 + 2 = 2817
L₅ = 2817 x 5 + 1 = 14086
L₆ = 14086 x 5 + 3 = 70433 - koniec, ponieważ wyczerpaliśmy wszystkie cyfry

4223213₍₅₎ = 70433₍₁₀₎.

Po co to wszystko jest potrzebne? Po pierwsze oszczędność w mnożeniu. Sprawdźmy. Dla pięciu cyfr musimy wykonać następujące rachunki przy zastosowaniu standardowego wzoru:

L = C₄ p p p p + C₃ p p p + C₂ p p + C₁ p + C₀

Daje to w sumie 10 mnożeń i 4 dodawania. Ten sam rachunek schematem Hornera prowadzi do wykonania 4 mnożeń i 4 dodawań. Mniej mnożeń oznacza większą efektywność algorytmu Hornera ponieważ mnożenie zajmuje procesorowi komputera więcej czasu od dodawania. Drugą zaletą jest sposób przetwarzania cyfr. Bierzemy je kolejno jedna po drugiej z ciągu wejściowego aż do napotkania końca zapisu. Ponieważ taka kolejność cyfr jest zwykle zgodna z kolejnością ich przechowywania w łańcuchu tekstowym, zatem sposób ten daje nam kolejne przyspieszenie i uproszczenie działania algorytmu (w poprzednim algorytmie cyfry przetwarzaliśmy w kierunku odwrotnym poczynając od ostatniej w zapisie).

Podsumujmy podane dotychczas informacje w formie algorytmu.

Dane wejściowe

p	- podstawa systemu pozycyjnego zapisu liczby p N, p {2,3,...,10}
s	- tekst zawierający ciąg znaków ASCII przedstawiających poprawny zapis liczby.

Dane wyjściowe

Liczba L będąca wartością liczby o podstawie p i zapisanej w postaci ciągu znaków s. L N + {0}

Zmienne pomocnicze i funkcje

i	- numery pozycji znaków w s, i N
c	- przechowuje wartość cyfry, c N + {0}
kod(znak)	- funkcja zwraca kod ASCII znaku
długość(tekst)	- zwraca liczbę znaków zawartych w tekście

krok 1:	Czytaj p i s
krok 2:	L kod(s[1]) - kod("0")
krok 3:	Dla i = 2,3,...,długość(s) wykonuj kroki 4...5
krok 4:	c kod(s[i]) - kod("0")
krok 5:	L L x p + c
krok 6:	Pisz L i zakończ algorytm.

Odczytujemy podstawę p systemu liczbowego, w którym zapisana jest liczba. Podstawa musi należeć do zakresu od 2 do 10. Następnie odczytujemy ciąg znaków s reprezentujących cyfry. W zmiennych łańcuchowych pozycje znaków są numerowane od 1 (w C++, Pythonie i JavaScript od 0) począwszy od strony lewej do prawej.

Po odczytaniu danych wejściowych inicjujemy zmienne robocze. Początkowa wartość liczby L ustawiana jest na wartość pierwszej cyfry zapisu. Zmienna i steruje pętlą iteracyjną. Wprowadzamy do niej indeks drugiego znaku odczytanego łańcucha s i rozpoczynamy pętlę.

Pętla wykonuje się o jeden raz mniej niż liczba znaków w łańcuchu s. W pętli wyznaczamy wartość kolejnej cyfry w c. Za nową wartość liczby L przyjmujemy poprzednią wartość pomnożoną przez p i zwiększoną o wartość cyfry c (schemat Hornera). Zwiększamy indeks i przechodzimy na początek pętli.

Po zakończeniu pętli w zmiennej L mamy wartość liczby. Wypisujemy ją i kończymy algorytm.

		Poniższe, przykładowe programy są praktyczną realizacją omawianego w tym rozdziale algorytmu. Zapewne można je napisać bardziej efektywnie. To już twoje zadanie. Dokładny opis stosowanych środowisk programowania znajdziesz we wstępie. Programy przed opublikowaniem w serwisie edukacyjnym zostały dokładnie przetestowane. Jeśli jednak znajdziesz jakąś usterkę (co zawsze może się zdarzyć), to prześlij o niej informację do autora. Pozwoli to ulepszyć nasze artykuły. Będziemy Ci za to wdzięczni.

Na podstawie algorytmu tworzymy programy obliczające wartość liczby podanej w systemie pozycyjnym o podstawach od 2 do 10. Zwróć uwagę, iż algorytm nie sprawdza poprawności danych wprowadzonych przez użytkownika. Zastanów się nad sposobami usunięcia tej wady.

Obliczanie wartości liczby zapisanej
w systemie pozycyjnym  o podstawie p
    przy pomocy schematu Hornera
------------------------------------
(C)2005 mgr J. Wałaszek  I LO Tarnów

Podaj p (2..10) = 8

Podaj liczbę    = 777

Liczba 777(8) = 511(10)

KONIEC. Naciśnij dowolny klawisz...

// Zastosowanie schematu Hornera przy obliczaniu
// wartości liczb zapisanych w różnych systemach
// pozycyjnych o podstawie p od 2 do 10
//----------------------------------------------
// (C)2005 mgr Jerzy Wałaszek
//                     I Liceum Ogólnokształcące
//                     im. K. Brodzińskiego
//                     w Tarnowie
//-----------------------------------------------

program horner;

{$APPTYPE CONSOLE}

var
  s : string;
  p,L,i,c : cardinal;

begin
  writeln('Obliczanie wartosci liczby zapisanej');
  writeln('w systemie pozycyjnym  o podstawie p');
  writeln('    przy pomocy schematu Hornera');
  writeln('------------------------------------');
  writeln('(C)2005 mgr J. Walaszek  I LO Tarnow');
  writeln;
  write('Podaj p (2..10) = '); readln(p);
  writeln;
  write('Podaj liczbe    = '); readln(s);
  writeln;
  L := ord(s[1]) - ord('0');
  for i := 2 to length(s) do
  begin
    c := ord(s[i]) - ord('0');
    L := L * p + c;
  end;
  writeln('Liczba ',s,'(',p,') = ',L,'(10)');
  writeln;
  writeln('Nacisnij klawisz ENTER...');
  readln;
end.

// Zastosowanie schematu Hornera przy obliczaniu
// wartości liczb zapisanych w różnych systemach
// pozycyjnych o podstawie p od 2 do 10
//----------------------------------------------
// (C)2005 mgr Jerzy Wałaszek
//                     I Liceum Ogólnokształcące
//                     im. K. Brodzińskiego
//                     w Tarnowie
//-----------------------------------------------

#include 
#include 

using namespace std;

main()
{
  string s;
  unsigned i,p,L,c;
  char z[1];
  
  cout << "Obliczanie wartosci liczby zapisanej\n"
          "w systemie pozycyjnym  o podstawie p\n"
          "    przy pomocy schematu Hornera\n"
          "------------------------------------\n"
          "(C)2005 mgr J. Walaszek  I LO Tarnow\n\n"
          "Podaj p (2..10) = ";
  cin >> p;
  cout << "\nPodaj liczbe    = ";
  getline(cin,s);
  getline(cin,s);
  L = s[0] - int('0');
  for(i = 1; i < s.length(); i++)
  {
    c = s[i] - int('0');
    L = L * p + c;
  }
  cout << "\nLiczba " << s << "(" << p << ") = " << L << "(10)"
          "\n\nNacisnij ENTER...\n";
  cin.getline(z,1);
}

' Zastosowanie schematu Hornera przy obliczaniu
' wartości liczb zapisanych w różnych systemach
' pozycyjnych o podstawie p od 2 do 10
'----------------------------------------------
' (C)2005 mgr Jerzy Wałaszek
'                     I Liceum Ogólnokształcące
'                     im. K. Brodzińskiego
'                     w Tarnowie
'-----------------------------------------------

Option Explicit On

Module Module1

 Sub Main()

    Dim s As String
    Dim p, L, i, c As UInteger

    Console.WriteLine("Obliczanie wartości liczby zapisanej")
    Console.WriteLine("w systemie pozycyjnym  o podstawie p")
    Console.WriteLine("    przy pomocy schematu Hornera")
    Console.WriteLine("------------------------------------")
    Console.WriteLine("(C)2005 mgr J. Wałaszek  I LO Tarnów")
    Console.WriteLine()
    Console.Write("Podaj p (2..10) = ") : p = Val(Console.ReadLine)
    Console.WriteLine()
    Console.Write("Podaj liczbę    = ") : s = Val(Console.ReadLine)
    Console.WriteLine()
    L = Asc(s.Chars(0)) - Asc("0")
    For i = 1 To s.Length() - 1
      c = Asc(s.Chars(i)) - Asc("0")
      L = L * p + c
    Next
    Console.WriteLine("Liczba {0}({1}) = {2}(10)", s, p, L)
    Console.WriteLine()
    Console.WriteLine("KONIEC. Naciśnij dowolny klawisz...")
    Console.ReadLine()

  End Sub

End Module

# -*- coding: cp1250 -*-
# Zastosowanie schematu Hornera przy obliczaniu
# wartości liczb zapisanych w różnych systemach
# pozycyjnych o podstawie p od 2 do 10
#----------------------------------------------
# (C)2005 mgr Jerzy Wałaszek
#                     I Liceum Ogólnokształcące
#                     im. K. Brodzińskiego
#                     w Tarnowie
#-----------------------------------------------

print "Obliczanie wartosci liczby zapisanej"
print "w systemie pozycyjnym  o podstawie p"
print "    przy pomocy schematu Hornera"
print "------------------------------------"
print "(C)2005 mgr J. Walaszek  I LO Tarnow"
print
p = int(raw_input("Podaj p (2..10) = "))
print
s = raw_input("Podaj liczbe    = ")
print
L = ord(s[1]) - ord("0")
for i in range(1,len(s)):
  c = ord(s[i]) - ord("0")
  L = L * p + c
print "Liczba %s(%d) = %d(10)" % (s, p, L)
print
raw_input("Nacisnij klawisz ENTER...")

type="button"
value="Oblicz wartość liczby"
name="B1">

...

Podsumowanie

Źródło: mgr Jerzy Wałaszek