Login lub e-mail Hasło   

Całkowanie numeryczne - metoda trapezów

Odnośnik do oryginalnej publikacji: http://www.i-lo.tarnow.pl/edu/inf/alg/ca(...)ex.html
Opisana w poprzednim rozdziale metoda prostokątów nie jest zbyt dokładna, ponieważ pola użytych w niej prostokątów źle odwzorowują pole pod krzywą. Dużo lepszy...
Wyświetlenia: 37.862 Zamieszczono 03/11/2006

Opisana w poprzednim rozdziale metoda prostokątów nie jest zbyt dokładna, ponieważ pola użytych w niej prostokątów źle odwzorowują pole pod krzywą. Dużo lepszym rozwiązaniem jest zastosowanie zamiast nich trapezów o wysokości dx i podstawach równych odpowiednio wartości funkcji w punktach krańcowych.. Sama zasada nie zmienia się.

Przedział całkowania <xp,xk> dzielimy na n+1 równo odległych punktów x0,x1,x2,...,xn. Punkty te wyznaczamy w prosty sposób wg wzoru:

dla i = 0,1,2,...,n

xi = xp +  i (xk - xp)
n

Obliczamy odległość między dwoma sąsiednimi punktami - będzie to wysokość każdego trapezu:

dx =  xk - xp
n

Dla każdego wyznaczonego w ten sposób punktu obliczamy wartość funkcji f(x) w tym punkcie:

dla i = 0,1,2,...,n
fi = f(xi)

Pole pod wykresem funkcji przybliżane jest polami n trapezów. Pole i-tego trapezu obliczamy wg wzoru:

dla i=1,2,...,n

Pi =   fi-1 + fi dx
2

Przybliżona wartość całki jest sumą pól wszystkich otrzymanych w ten sposób trapezów:

s = P1 + P2 + ... + Pn

czyli

Wyprowadzony na końcu wzór jest podstawą przybliżonego wyliczania całki w metodzie trapezów.

 

Obliczymy ręcznie przybliżoną wartość całki oznaczonej z funkcji f(x) = sin(x) w przedziale <0,π>.

Przedział podzielimy na n+1 = 5 punktów:

Odległość między dwoma sąsiednimi punktami wynosi:

Dla każdego z wyznaczonych punktów obliczamy wartość funkcji f(x) = sin(x):

 fo = f (xo) = sin 0   = 0,0000

Obliczamy sumę pól trapezów:

s = dx( f1 + f2 + f3  fo + f4  )
2

s = 0,7854(0.7071+1+0.7071) = 1,8961

Otrzymaliśmy wynik identyczny jak w przypadku metody prostokątów - dlaczego?

Dane wejściowe

xp - początek przedziału całkowania,  xp R
xk - koniec przedziału całkowania,  xk R
n - liczba punktów podziałowych,  n N
f(x) - funkcja rzeczywista, której całkę liczymy

Dane wyjściowe

Wartość całki oznaczonej funkcji f(x) w przedziale <xp,xk>. Wynik jest liczbą rzeczywistą.

Zmienne pomocnicze

s - suma wysokości prostokątów, którą później zamieniamy w wartość całki,  s R
dx - odległość między dwoma sąsiednimi punktami podziałowymi,  dx R
i - licznik punktów podziałowych,  i N

krok 1: Czytaj xp  xk
krok 2: s 0
krok 3:
dx   xk - xp
n
krok 4: Dla i = 1,2,...,n,   s s + f(xp + i dx)
krok 5:
s  (s f(xp) + f(xk)  ) dx
2
krok 6: Pisz s i zakończ algorytm

Po odczytaniu informacji o krańcach xp i xk przedziału całkowania ustawiamy sumę s na 0, obliczamy odległość dx pomiędzy sąsiednimi punktami podziałowymi i ustawiamy ich licznik na 1.

Rozpoczynamy pętlę iteracyjną, która wykona się (n-1)-razy. Wewnątrz pętli obliczamy i-ty punkt podziałowy oraz wartość funkcji w tym punkcie, którą dodajemy do sumy s.

Po zakończeniu pętli do sumy s dodajemy średnią wartość funkcji na krańcach przedziału i całość przemnażamy przez dx Po tej operacji s zawiera wartość przybliżoną całki. Zwracamy ją użytkownikowi i kończymy algorytm.


   
   
   

Poniższe, przykładowe programy są praktyczną realizacją omawianego w tym rozdziale algorytmu. Zapewne można je napisać bardziej efektywnie. To już twoje zadanie. Dokładny opis stosowanych środowisk programowania znajdziesz we wstępie. Programy przed opublikowaniem w serwisie edukacyjnym zostały dokładnie przetestowane. Jeśli jednak znajdziesz jakąś usterkę (co zawsze może się zdarzyć), to prześlij o niej informację do autora. Pozwoli to ulepszyć nasze artykuły. Będziemy Ci za to wdzięczni.

 
       

Prezentowane poniżej programy wyliczają całkę oznaczoną funkcji f(x) = x2 + 2x. Przedział całkowania jest dzielony na n=1000 punktów. W przedziale <0,1> całka oznaczona ma wartość dokładną równą 4/3 = 1.3333...

Wydruk z uruchomionego programu
Obliczanie  całki oznaczonej
za pomocą metody trapezów
----------------------------
(C)2006 mgr J.Wałaszek I LO

f(x) = x * x + 2 * x

Podaj początek przedziału całkowania

xp = 0

Podaj koniec przedziału całkowania

xk = 1

Wartość całki wynosi : 1,333

KONIEC. Naciśnij dowolny klawisz...
Microsoft Visual Basic 2005 Express Edition

 

Borland
Delphi 7.0
Personal
Edition
//*************************************************
//** Obliczanie całki oznaczonej metodą trapezów **
//** ------------------------------------------- **
//** (C)2004 mgr Jerzy Wałaszek I LO w Tarnowie **
//*************************************************

program int_trapez;

{$APPTYPE CONSOLE}

//*******************************
//** Tutaj definiujemy funkcję **
//*******************************

function f(x : real) : real;
begin
f := x * x + 2 * x;
end;

//********************
//** Program główny **
//********************

const N = 1000; //liczba punktów/trapezów podziałowych

var
xp,xk,s,dx : real;
i : integer;

begin
writeln('Obliczanie calki oznaczonej');
writeln(' za pomoca metody trapezow');
writeln('----------------------------');
writeln('(C)2004 mgr J.Walaszek I LO');
writeln;
writeln('f(x) = x * x + 2 * x');
writeln;
writeln('Podaj poczatek przedzialu calkowania');
writeln;
write('xp = '); readln(xp);
writeln;
writeln('Podaj koniec przedzialu calkowania');
writeln;
write('xk = '); readln(xk);
writeln;
s := 0;
dx := (xk - xp) / N;
for i := 1 to N - 1 do s := s + f(xp + i * dx);
s := (s + (f(xp) + f(xk)) / 2)* dx;
writeln('Wartosc calki wynosi : ',s:8:3);
writeln;
writeln('Nacisnij klawisz Enter...');
readln;
end.
Borland
C++ Builder
6.0
Personal
Edition
//****************************************************
//** Obliczanie całki oznaczonej metodą trapezów **
//** ---------------------------------------------- **
//** (C)2004 mgr Jerzy Wałaszek I LO w Tarnowie **
//****************************************************

#include <iomanip>
#include <iostream>

using namespace std;

//*******************************
//** Tutaj definiujemy funkcję **
//*******************************

double f(double x)
{
return(x * x + 2 * x);
}

//********************
//** Program główny **
//********************

int main()
{
const int N = 1000; //liczba punktów/trapezów podziałowych
double xp,xk,s,dx;
int i;
char c[1];

cout.precision(3); // 3 cyfry po przecinku
cout.setf(ios::fixed); // format stałoprzecinkowy

cout << "Obliczanie calki oznaczonej\n"
" za pomoca metody trapezow\n"
"----------------------------\n"
"(C)2004 mgr J.Walaszek I LO\n\n"
"f(x) = x * x + 2 * x\n\n"
"Podaj poczatek przedzialu calkowania\n\n"
"xp = "
;
cin >> xp;
cout << "\nPodaj koniec przedzialu calkowania\n\n"
"xk = "
;
cin >> xk;
cout << endl;
s = 0;
dx = (xk - xp) / N;
for(i = 1; i < N; i++) s += f(xp + i * dx);
s = (s + (f(xp) + f(xk)) / 2) * dx;
cout << "Wartosc calki wynosi : " << setw(8) << s
<< "\n\nNacisnij klawisz Enter";
cin.getline(c, 1);
cin.getline(c, 1);
}
Microsoft
Visual
Basic 2005
Express
Edition
'****************************************************
'** Obliczanie całki oznaczonej metodą trapezów **
'** ---------------------------------------------- **
'** (C)2006 mgr Jerzy Wałaszek I LO w Tarnowie **
'****************************************************

Module Module1

'*******************************
'** Tutaj definiujemy funkcję **
'*******************************

Public Function f(ByVal x As Double) As Double
Return x * x + 2 * x
End Function

'********************
'** Program główny **
'********************

Sub Main()

Const N = 1000 'liczba punktów/trapezów podziałowych

Dim xp, xk, s, dx As Double
Dim
i As Integer

Console.WriteLine("Obliczanie całki oznaczonej")
Console.WriteLine(" za pomocą metody trapezów")
Console.WriteLine("----------------------------")
Console.WriteLine("(C)2006 mgr J.Wałaszek I LO")
Console.WriteLine()
Console.WriteLine("f(x) = x * x + 2 * x")
Console.WriteLine()
Console.WriteLine("Podaj początek przedziału całkowania")
Console.WriteLine()
Console.Write("xp = ") : xp = Val(Console.ReadLine())
Console.WriteLine()
Console.WriteLine("Podaj koniec przedziału całkowania")
Console.WriteLine()
Console.Write("xk = ") : xk = Val(Console.ReadLine())
Console.WriteLine()
s = 0
dx = (xk - xp) / N
For i = 1 To N - 1 : s += f(xp + i * dx) : Next
s = (s + (f(xp) + f(xk)) / 2) * dx
Console.WriteLine("Wartość całki wynosi : {0,8:F3}", s)

' Gotowe

Console.WriteLine()
Console.WriteLine("KONIEC. Naciśnij dowolny klawisz...")
Console.ReadLine()

End Sub

End Module
Python
# -*- coding: cp1250 -*-
#*************************************************
#** Obliczanie całki oznaczonej metodą trapezów **
#** ------------------------------------------- **
#** (C)2005 mgr Jerzy Wałaszek I LO w Tarnowie **
#*************************************************

#*******************************
#** Tutaj definiujemy funkcję **
#*******************************

def f(x):
return x * x + 2 * x;

#********************
#** Program główny **
#********************

N = 1000 #liczba punktów/trapezów podziałowych

print "Obliczanie calki oznaczonej"
print " za pomoca metody trapezów"
print "---------------------------"
print "(C)2005 mgr J.Walaszek I LO"
print
print
"f(x) = x * x + 2 * x"
print
print
"Podaj poczatek przedzialu calkowania"
print
xp = float(raw_input("xp = "))
print
print
"Podaj koniec przedzialu calkowania"
print
xk = float(raw_input("xk = "))
print
s = 0.
dx = (xk - xp) / N
for i in range(1, N):
s += f(xp + i * dx)
s = (s + (f(xp) + f(xk)) / 2)* dx;
print "Wartosc calki wynosi : %8.3f" % s
print
raw_input
("Koniec - nacisnij klawisz Enter...")
JavaScript
<html>
<head>
<title>
Całkowanie numeryczne metodą trapezów</title>
</head>
<body>
<script language=
"JavaScript">

//****************************************************
//** Obliczanie całki oznaczonej metodą trapezów **
//** ---------------------------------------------- **
//** (C)2004 mgr Jerzy Wałaszek I LO w Tarnowie **
//****************************************************

//*******************************
//** Tutaj definiujemy funkcję **
//*******************************

function f(x)
{
return(x * x + 2 * x);
}

function js_trapez()
{
var N = 1000; //liczba punktów/trapezów podziałowych
var xp,xk,s,dx,i,t;

xp = parseFloat(document.frm_trapez.xp_inp.value);
xk = parseFloat(document.frm_trapez.xk_inp.value);
if(isNaN(xp) || isNaN(xk))
t = "<font color=red><b>Popraw dane wejściowe!</b></font>";
else
{
s = 0;
dx = (xk - xp) / N;
for(i = 1; i < N; i++) s += f(xp + i * dx);
s = (s + (f(xp) + f(xk)) / 2) * dx;
t = Math.floor(s * 1000) / 1000;
};
document.getElementById("t_out").innerHTML = t;
}

</script>

<form method=
"POST"
name="frm_trapez"
style="border: 2px solid #FF9900;
padding-left: 4px;
padding-right: 4px;
padding-top: 1px;
padding-bottom: 1px;
background-color: #FFFFCC"
>
<h2 style=
"text-align: center">
Obliczanie całki oznaczonej<br>
za pomocą metody prostokątów
</h2>
<hr>
<h4 style=
"text-align: center">
(C)2004 mgr Jerzy Wałaszek I LO w Tarnowie
</h4>
<h3 style=
"text-align: center">
Całkowana funkcja:
</h3>
<h4 style=
"text-align: center">
<i>
f(x) = x<sup>2</sup> + 2x</i>
</h4>
<p style=
"text-align: center">
Tutaj określ przedział całkowania
</p>

<p style="text-align: center">
Początek <i>x<sub>p</sub></i> =
<input type="text" name="xp_inp" size="20" value="0">
i koniec <i>x<sub>k</sub> </i>=
<input type="text" name="xk_inp" size="20" value="1">
</p>
<p style=
"text-align: center">
<input onclick=
"js_trapez();" type="button"
value="Oblicz całkę" name="B1">
</p>
<h4 style=
"text-align: center">
Wartość całki wynosi
</h4>
<p id=
"t_out" style="text-align: center">...</p>
</form>
</body>
</html>
 
 
Dokument ten rozpowszechniany jest zgodnie z zasadami licencji
GNU Free Documentation License.

Podobne artykuły


16
komentarze: 5 | wyświetlenia: 9006
9
komentarze: 0 | wyświetlenia: 2784
49
komentarze: 18 | wyświetlenia: 64978
37
komentarze: 9 | wyświetlenia: 28520
11
komentarze: 2 | wyświetlenia: 33152
7
komentarze: 1 | wyświetlenia: 34649
17
komentarze: 4 | wyświetlenia: 14183
15
komentarze: 5 | wyświetlenia: 32761
13
komentarze: 2 | wyświetlenia: 22961
12
komentarze: 2 | wyświetlenia: 18506
12
komentarze: 3 | wyświetlenia: 29779
11
komentarze: 1 | wyświetlenia: 86405
11
komentarze: 1 | wyświetlenia: 10475
10
komentarze: 1 | wyświetlenia: 34971
 
Autor
Artykuł




Brak wiadomości


Dodaj swoją opinię
W trosce o jakość komentarzy wymagamy od użytkowników, aby zalogowali się przed dodaniem komentarza. Jeżeli nie posiadasz jeszcze swojego konta, zarejestruj się. To tylko chwila, a uzyskasz dostęp do dodatkowych możliwości!
 

© 2005-2018 grupa EIOBA. Wrocław, Polska